對(duì)一道跟多普勒效應(yīng)有關(guān)問(wèn)題的深入剖析

摘" 要：文章對(duì)一道跟多普勒效應(yīng)有關(guān)的題目進(jìn)行分析，剖析人們對(duì)這一問(wèn)題誤解的產(chǎn)生原因；采用取微元進(jìn)行分析的方法，推導(dǎo)人站在公路一側(cè)時(shí)，勻速運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)相對(duì)人的速度與汽車(chē)運(yùn)動(dòng)速度之間的定量關(guān)系；推導(dǎo)汽車(chē)相對(duì)人的速度保持不變時(shí)，汽車(chē)的加速度應(yīng)該滿足的條件；對(duì)聲源沿直線作勻加速運(yùn)動(dòng)，人站在軌跡一側(cè)聽(tīng)到聲源頻率變化范圍進(jìn)行定量分析.

關(guān)鍵詞：多普勒效應(yīng)；聲源；頻率；迎面而來(lái)；背離遠(yuǎn)去

中圖分類號(hào)：G632" ""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）16-0116-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡(jiǎn)介：王偉民（1964—），男，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)物理教學(xué)研究.

多普勒效應(yīng)是快速運(yùn)動(dòng)的物體由于運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致物體發(fā)出的聲音向四周傳播時(shí)，相對(duì)聲源不同位置的空間接收到聲音的頻率不盡相同的現(xiàn)象［1］.當(dāng)汽車(chē)?guó)Q笛從我們身邊快速駛過(guò)，我們可以明顯感覺(jué)到汽車(chē)?guó)Q笛聲音音調(diào)的變化.

1" 一道與多普勒效應(yīng)相關(guān)的題目

例1" 如圖1所示，人站某筆直公路一側(cè)的M處?kù)o止不動(dòng)，一輛汽車(chē)以恒定的速度從右向左勻速駛過(guò)，人聽(tīng)到的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率（" ）.

A.一直是穩(wěn)定的"""" B.變得越來(lái)越高

C.變得越來(lái)越低D.先變高后變低

2" 對(duì)該問(wèn)題的錯(cuò)誤解析及原因剖析

人若站在地面上靜止不動(dòng)，由多普勒效應(yīng)可知，聲源向著人運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到聲音的頻率大于聲源的振動(dòng)頻率，而聲源背離人運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到聲音的頻率小于聲源的振動(dòng)頻率［2］.由于受思維定式的影響，在解答例題1給出的這個(gè)聲學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多老師（包括網(wǎng)上對(duì)該問(wèn)題的解答）認(rèn)為選項(xiàng)D正確，其理由是：汽車(chē)向著人運(yùn)動(dòng)時(shí)，聽(tīng)到聲音的頻率增加了，而背離人運(yùn)動(dòng)時(shí)，聽(tīng)到聲音的頻率減小了.

應(yīng)該說(shuō)，這個(gè)解答錯(cuò)誤的原因是把聲源向著人運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到聲音的頻率大于聲源振動(dòng)頻率的現(xiàn)象，誤解為聽(tīng)到聲音的頻率一直在增加；把聲源背離人運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到聲音的頻率小于聲源振動(dòng)頻率的現(xiàn)象，誤解為聽(tīng)到聲音的頻率一直在減小了.

另外，站在直線公路旁邊的人靜止不動(dòng)，汽車(chē)以恒定的速度從遠(yuǎn)處駛來(lái)，掠過(guò)人之后又遠(yuǎn)離人而去的過(guò)程中，人到汽車(chē)的距離是先減小再增加［3］.所以，人聽(tīng)到汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的響度是先增大后減小，分不清響度與音調(diào)的人，會(huì)誤認(rèn)為聽(tīng)到聲音的音調(diào)（由聽(tīng)到聲音的頻率決定）是先增加后減小.

那么，當(dāng)汽車(chē)按題目所述方式運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到的聲音的頻率究竟如何變化呢？

3" 對(duì)該題目的正確解析

如圖2所示，人位于公路的一側(cè)M點(diǎn)靜止不動(dòng)，汽車(chē)沿公路由右往左勻速行駛，設(shè)人在公路所在直線上的正投影為H，某時(shí)刻汽車(chē)運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)（A在H點(diǎn)的右側(cè)），此時(shí)人和汽車(chē)的連線與汽車(chē)運(yùn)動(dòng)速度的夾角為θ，汽車(chē)再以速度v向前運(yùn)動(dòng)一段微元距離ds后至B點(diǎn)，當(dāng)θ為銳角時(shí)，MAgt;MB，在MA上截取MC=MB，連接BC，在ds很小的情況下，∠BCA≈90°，所以AC=dscosθ.因此，汽車(chē)相對(duì)人的速度為v相對(duì)=vcosθ（注：采用對(duì)汽車(chē)速度進(jìn)行分解的方法也可以得出同樣的結(jié)論），因?yàn)樵讦取剩?，π）范圍內(nèi)，v相對(duì)=vcosθ是單調(diào)減函數(shù)（其中θ=π2時(shí)，即人和汽車(chē)的連線垂直于公路所在的直線時(shí)，v相對(duì)=0，此刻汽車(chē)運(yùn)行到圖2中的H點(diǎn)，這時(shí)人聽(tīng)到汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的頻率剛好等于聲源的振動(dòng)頻率）.因此，當(dāng)汽車(chē)在H點(diǎn)右側(cè)向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，汽車(chē)相對(duì)人做減速運(yùn)動(dòng)，人聽(tīng)到的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的頻率逐漸減小.而汽車(chē)在H點(diǎn)左側(cè)向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，汽車(chē)相對(duì)人做加速運(yùn)動(dòng)，人聽(tīng)到的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的頻率依然逐漸減小.所以，本題的正確選項(xiàng)是C.

4" 人聽(tīng)到聲源頻率不變時(shí)汽車(chē)加速度應(yīng)滿足的條件

我們不禁要問(wèn)，如果汽車(chē)在平直公路上作變速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車(chē)加速度滿足什么條件時(shí)，可以使得站在公路旁邊的人聽(tīng)到汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)聲音的頻率保持恒定不變呢？

例2" 如圖3所示，人站在距離某筆直公路h的M處?kù)o止不動(dòng)，一輛汽車(chē)在公路上從距離人很遠(yuǎn)的地方沿公路加速駛來(lái)，假設(shè)汽車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中人跟汽車(chē)的連線與汽車(chē)運(yùn)動(dòng)速度的夾角為θ（注：θ是變量），已知汽車(chē)到人的距離為2 h時(shí)，汽車(chē)速度為v0，若汽車(chē)行駛過(guò)程中人聽(tīng)到的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率恒定不變，試確定汽車(chē)加速度與θ的關(guān)系式.

解析" 由例1的分析可知，在某個(gè)位置，若汽車(chē)相對(duì)路面運(yùn)行的速度為v，則汽車(chē)相對(duì)人的速度大小為v相對(duì)=vcosθ，所以v=v相對(duì)cosθ，要使人聽(tīng)到的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率恒定不變，必須使汽車(chē)相對(duì)人的速度v相對(duì)保持不變，由題目條件可知v相對(duì)=32v0，所以

v=3v02cosθ，因此，汽車(chē)的加速度為a=v′=3v0sinθ2cos2θ.

所以，汽車(chē)加速度與θ的關(guān)系式為a=3v0sinθ2cos2θ.

因?yàn)棣取?時(shí)，sinθ→1，cosθ→0，此時(shí)汽車(chē)的加速度a→∞，這是現(xiàn)實(shí)生活中不可能發(fā)生的事情.所以，實(shí)際問(wèn)題中，要使路旁靜止的人能夠在汽車(chē)行駛過(guò)程中的某個(gè)階段聽(tīng)到汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的聲音頻率恒定不變，汽車(chē)到人在公路所在直線上正投影的距離必須足夠遠(yuǎn)，因?yàn)橹挥羞@樣，才可以保證π2-θ足夠大.

例3" 如圖4所示，一發(fā)聲體沿直線L從A點(diǎn)開(kāi)始向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，聲源的初速度為v0=1 m/s，加速度a=1 m/s2，某人站在到直線L的距離為1 m的M點(diǎn)靜止不動(dòng)，H是人在直線L上的正投影，初始狀況下MH=1 m，MA=17 m，試確定人在什么時(shí)間范圍內(nèi)聽(tīng)到聲源聲音的頻率逐漸減小？

分析" 聲源是在沿直線做加速運(yùn)動(dòng)，如果人耳剛好位于聲源運(yùn)動(dòng)軌跡的直線上（比如人耳在圖4的H點(diǎn)），當(dāng)聲源迎面而來(lái)時(shí)，人聽(tīng)到聲源聲音的頻率逐漸增大；當(dāng)聲源背離人遠(yuǎn)去時(shí)，人聽(tīng)到聲源聲音的頻率逐漸減小，聲源運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)人聽(tīng)到的聲音的頻率最大.聲源在直線L上到人的距離非常遠(yuǎn)時(shí)，人站在L旁聽(tīng)到聲音頻率的變化效果跟人耳在直線L上聽(tīng)到運(yùn)動(dòng)聲源聲音頻率變化的效果是一樣的.當(dāng)加速運(yùn)動(dòng)的聲源距離人較近時(shí)，隨著人跟聲源的連線與聲源運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角不斷增大，聲源相對(duì)人的速度不會(huì)一直增加，肯定會(huì)有逐漸減小的過(guò)程，因?yàn)楫?dāng)聲源運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，即便聲源是加速運(yùn)動(dòng)的，但聲源相對(duì)人的速度為零［4］.聲源沿其運(yùn)動(dòng)軌跡向著人運(yùn)動(dòng)時(shí)，聲源相對(duì)人的速度不斷減小的過(guò)程也就是人聽(tīng)到聲源頻率逐漸減小的過(guò)程，當(dāng)聲源越過(guò)H點(diǎn)繼續(xù)向左加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，人聽(tīng)到聲音的頻率一直在減小，所以，我們只要能夠確定聲源在到達(dá)H點(diǎn)之前，在什么位置之后，聲源相對(duì)人的速度在減小即可.

解析" 如圖5所示，設(shè)從初始狀態(tài)計(jì)時(shí)，t s之后發(fā)聲體運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)∠MBH=θ，則HB=17-t-12t2（長(zhǎng)度單位：m），所以tanθ=117-t-t2/2.t s后聲源的運(yùn)動(dòng)速度為v=t+1.

先推導(dǎo)聲源相對(duì)人速度不變時(shí)（此時(shí)人聽(tīng)到聲源聲音的頻率不變），聲源的加速度應(yīng)滿足的條件.

由v=v相對(duì)cosθ可得a=v′=v相對(duì)sinθcos2θ=vtanθ，因此，當(dāng)聲源的實(shí)際加速度小于vtanθ時(shí)，人聽(tīng)到聲源聲音的頻率逐漸增大.故有：

t+117-t-t2/2gt;1，

整理得t2+4t-32gt;0.

解得tgt;4或tlt;-8.考慮到時(shí)間只能取正數(shù)，所以，取tgt;4.而t=4 s時(shí)，聲源運(yùn)動(dòng)的距離為：s=v0t+12at2=12 m.人聽(tīng)到聲源聲音頻率由增加變?yōu)闇p小的“拐點(diǎn)”是在H點(diǎn)的右側(cè)（距離H點(diǎn)5 m遠(yuǎn)），這一點(diǎn)不同于人耳位于聲源運(yùn)動(dòng)軌跡上聽(tīng)到聲音頻率由增加變?yōu)闇p小的“拐點(diǎn)”是在H點(diǎn)的情形.

所以，從聲源開(kāi)始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)，0～4 s時(shí)間內(nèi)人聽(tīng)到聲音的頻率逐漸增加，4 s時(shí)，聽(tīng)到聲音的頻率達(dá)到最大，之后人聽(tīng)到聲音的頻率一直逐漸減小.當(dāng)然，當(dāng)聲源背離人遠(yuǎn)去且速度加速至接近聲速時(shí)，人耳接收到聲源的頻率如果低于20 Hz，聲音將演變?yōu)榇温暎硕鷮⒏兄坏铰曇袅?

5" 結(jié)束語(yǔ)

由此可見(jiàn)，聲源沿直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，如果人耳位于聲源運(yùn)動(dòng)的軌跡上，聲源勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，不論聲源是迎面而來(lái)，還是背離人遠(yuǎn)去，人耳聽(tīng)到聲音的頻率保持不變，只不過(guò)人聽(tīng)到的迎面而來(lái)聲音的頻率，大于人聽(tīng)到的背離而去聲音的頻率；聲源加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，耳朵聽(tīng)到迎面而來(lái)的聲源聲音的頻率逐漸增加，聽(tīng)到背離遠(yuǎn)去聲音的頻率逐漸減小.如果人耳不是在聲源運(yùn)動(dòng)的軌跡上，而是在軌跡的一側(cè)，那么，聲源從遠(yuǎn)處沿其運(yùn)動(dòng)軌跡掠過(guò)人耳之后并遠(yuǎn)去，如果聲源作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則人耳聽(tīng)到的聲音的頻率一直在減小，如果聲源作加速運(yùn)動(dòng)，人耳聽(tīng)到的聲音的頻率是先增大后減小.但是聽(tīng)到聲音頻率由增大變?yōu)闇p小的“拐點(diǎn)”不是在人于聲源軌跡的正投影點(diǎn)，而是在這一點(diǎn)的前面.

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［責(zé)任編輯：李" 璟］