基于合作博弈的多部件設(shè)備非完美維修策略優(yōu)化

劉育玲

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué)管理學(xué)院, 西安 710010)

有限資源下的設(shè)備維修策略優(yōu)化問(wèn)題是近年來(lái)工業(yè)界和學(xué)術(shù)界共同關(guān)注的重要課題,即在設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中,維修策略的制定往往受到維修期限、備件庫(kù)存、維修工具、維修人員、維修成本等維修資源的約束[1]。因此,在分析設(shè)備組成結(jié)構(gòu)及部件運(yùn)行健康狀態(tài)的基礎(chǔ)上,研究如何合理地分配有限的維修資源,使得設(shè)備滿足下一階段任務(wù)的性能要求或最大化設(shè)備的可靠性指標(biāo)是非常必要的。

在工程應(yīng)用中,維修工作會(huì)受到維修資源的限制,往往不太可能對(duì)所有需要維修的部件進(jìn)行所有可行的維修活動(dòng)。因此,維修決策者必須根據(jù)下一階段任務(wù)的需求對(duì)整個(gè)系統(tǒng)以及資源進(jìn)行權(quán)衡,選擇設(shè)備其中一部分部件進(jìn)行維修活動(dòng),這種維修策略稱為“選擇性維修策略”[2]。Hesabi等[3]提出選擇性維修的框架,并通過(guò)并-串聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)建了其選擇性維修決策模型。Xu等[4]構(gòu)建了并行系統(tǒng)的選擇性維修模型,并通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)其維修策略進(jìn)行了優(yōu)化。與傳統(tǒng)粗放的維修決策相比,選擇性維修能夠?qū)⒂邢薜木S修資源用于亟待修理的損傷件或性能退化部件,以最小的維修支出獲取最大對(duì)的效益,對(duì)實(shí)現(xiàn)精確維修、提高維修決策的合理性和科學(xué)性、提升設(shè)備完成任務(wù)的概率具有重要的作用[5]。

在設(shè)備選擇性維修的策略下,同一個(gè)設(shè)備的不同部件可以選擇不同的維修方式。部件的維修方式根據(jù)其維修效果可以分為三類(lèi):完美維修[6]、最小維修[7]、非完美維修[8]。完美維修指通過(guò)更換操作將部件的性能恢復(fù)到全新?tīng)顟B(tài),即理想的修復(fù)如新,完美維修一般會(huì)產(chǎn)生巨額的維修成本。最小維修是對(duì)出現(xiàn)故障的設(shè)備進(jìn)行最小程度的恢復(fù)。非完美維修是指設(shè)備維修后系統(tǒng)性能雖有所改善,但未能恢復(fù)到全新?tīng)顟B(tài),而是介于當(dāng)前狀態(tài)和新?tīng)顟B(tài)之間的某個(gè)狀態(tài),也稱為“修復(fù)如舊”,非完美維修的費(fèi)用一般要低于完美維修[9]。由于非完美維修更加符合工程中實(shí)際的維修情形,非完美維修得到了學(xué)者們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注和研究,并提出了包括虛擬役齡模型[10]、改善因子模型[11]、Kijima模型[12]、沖擊模型[13]等眾多非完美維修的描述模型。

考慮設(shè)備的每個(gè)部件有多個(gè)可選的非完美維修級(jí)別時(shí),就會(huì)形成多部件設(shè)備非完美維修決策問(wèn)題[14]。非完美維修決策中的優(yōu)化變量一般是各個(gè)部件對(duì)應(yīng)的維修級(jí)別,設(shè)備往往是由多個(gè)關(guān)鍵部件通過(guò)一定的結(jié)構(gòu)方式組成的,對(duì)應(yīng)的非完美維修決策模型復(fù)雜,其維修策略的優(yōu)化方法是維修決策領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[15]。目前非完美維修策略優(yōu)化常用的方法有:解析法[16]、蒙特卡洛仿真方法[17]、枚舉法[18]、遺傳算法等[19-20]。其中解析法和枚舉法只適合于設(shè)備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單或非完美維修級(jí)別少的情形;蒙特卡洛仿真方法計(jì)算所需的時(shí)間長(zhǎng),且對(duì)于復(fù)雜維修問(wèn)題只能給出近似的估計(jì)結(jié)果;遺傳算法存在對(duì)初始條件敏感且尋優(yōu)效率低的不足。對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、部件數(shù)量多的設(shè)備,抑或隨著非完美維修級(jí)別的增加,設(shè)備非完美維修策略空間呈指數(shù)形式增加,加大了設(shè)備系統(tǒng)維修策略尋優(yōu)的難度。因此如何用合理有效的建模和優(yōu)化方法,解決非完美維修條件下多部件系統(tǒng)的維修決策優(yōu)化,是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。近年來(lái),博弈論等啟發(fā)式方法在維修決策中得到了學(xué)者們的關(guān)注[21],Feng等[22]、Yang等[23]通過(guò)構(gòu)建博弈場(chǎng)景將博弈論應(yīng)用于設(shè)備完美維修策略優(yōu)化問(wèn)題的求解中。

現(xiàn)以設(shè)備可靠性為基礎(chǔ),選擇各部件的非完美維修級(jí)別為優(yōu)化變量,以多部件設(shè)備的維修時(shí)間及任務(wù)可靠性為約束條件,以設(shè)備總維修費(fèi)用最低為目標(biāo)構(gòu)建設(shè)備維修策略優(yōu)化問(wèn)題模型。進(jìn)而針對(duì)該維修策略優(yōu)化模型建立相應(yīng)的合作博弈場(chǎng)景,并提出基于合作博弈理論的維修策略優(yōu)化方法,實(shí)現(xiàn)設(shè)備各部件維修級(jí)別的優(yōu)選,并通過(guò)算例分析及與遺傳算法等的對(duì)比對(duì)所提出的方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 多部件非完美維修模型建立

1.1 部件非完美維修混合模型基礎(chǔ)

學(xué)者Kijima等[12]首次提出的兩種預(yù)防維修模型,是后續(xù)學(xué)者研究非完美維修模型的基礎(chǔ)。第一種是故障強(qiáng)度調(diào)整模型,如果假設(shè)部件在維修前的故障強(qiáng)度為h(t),則經(jīng)過(guò)維修后部件的故障強(qiáng)度函數(shù)表示為ah(t),其中t≥0表示每次維修后的計(jì)時(shí),a≥1為故障強(qiáng)度調(diào)節(jié)因子。第二種是役齡改善模型,如果假設(shè)維修前部件的役齡為t,則維修后部件的役齡為bt,其中0≤b≤1為役齡改善因子。

Lin等[24]在上述兩種預(yù)防維修模型的基礎(chǔ)上,提出了部件非完美維修的混合模型。假設(shè)部件在維修前的故障強(qiáng)度函數(shù)為h(t),累積使用壽命為t1,則維修后部件的故障強(qiáng)度表示為g(t)=ah(bt1+t),t≥0,其中,故障強(qiáng)度調(diào)節(jié)因子滿足a≥1,役齡改善因子滿足0≤b≤1。可以看到,當(dāng)a=1時(shí),非完美維修混合模型將與役齡改善模型相同;當(dāng)b=0時(shí),非完美維修混合模型將退化為單一的故障強(qiáng)度調(diào)整模型。非完美維修混合模型同時(shí)考慮了維修對(duì)故障強(qiáng)度函數(shù)及役齡的影響,在描述非完美維修建模中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。

1.2 以降低費(fèi)用為目標(biāo)的多部件非完美維修模型構(gòu)建

考慮一臺(tái)由m個(gè)關(guān)鍵部件串聯(lián)構(gòu)成的設(shè)備,各個(gè)關(guān)鍵部件可表示為Si(i=1,2,…,m),如圖1所示。設(shè)各部件在維修前的故障強(qiáng)度函數(shù)為hi(t),并滿足威布爾分布,表達(dá)式為

hi(t)=βitαi-1,i=1,2,…,m

(1)

式(1)中:αi、βi分別為各部件故障強(qiáng)度威布爾分布參數(shù)并滿足αi>0、βi>0。

基于部件非完美維修混合模型理論,非完美維修后部件的故障強(qiáng)度函數(shù)更新為

gi[li(k),xi,t]=a[li(k)]hi{b[li(k)]xi+t}

(2)

圖1 多部件設(shè)備非完美維修模型Fig.1 Imperfect maintenance model of equipment with multiple parts

式(2)中:xi為部件Si維修前的役齡;t為部件Si維修后的計(jì)時(shí);li(k)為部件Si的維修等級(jí),k=0,1,…,N。役齡改善因子可以通過(guò)維修費(fèi)用進(jìn)行評(píng)估,如果用Ci[li(k)]表示部件Si在維修等級(jí)li(k)下的維修費(fèi)用,則役齡因子可以通過(guò)式(3)評(píng)估。

b[li(k)]=1-{Ci[li(k)]/Ci[li(N)]}z

(3)

式(3)中:Ci[li(k)]為部件維修費(fèi)用,并滿足Ci[li(k)]≤Ci[li(k+1)]和Ci[li(0)]=0,Ci[li(N)]是部件更換如新的費(fèi)用;z為關(guān)聯(lián)部件維修費(fèi)用與役齡改善因子的尺度參數(shù)。工程實(shí)踐中,不同的維修等級(jí)將會(huì)使得部件獲得不同的維修效果,例如,對(duì)于機(jī)械部件而言,常見(jiàn)的非完美維修包括潤(rùn)滑、打磨、局部修復(fù)等維修活動(dòng)。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)不同維修活動(dòng)及其維修效果的描述,采用li(k)=k來(lái)表征部件的維修等級(jí)。部件的維修等級(jí)及對(duì)應(yīng)的維修活動(dòng)的劃分與該部件的維修資源等因素有關(guān),因此不同的部件的維修等級(jí)及對(duì)應(yīng)的維修活動(dòng)往往并不相同。研究中為了便于設(shè)備維修建模,假設(shè)各關(guān)鍵部件的維修等級(jí)均包含N+1級(jí)非完美維修,其中l(wèi)i(0)代表不對(duì)部件進(jìn)行任何維修活動(dòng),而li(N)代表對(duì)部件更換如新。

考慮設(shè)備維修后下一輪任務(wù)的時(shí)長(zhǎng)為T(mén)m,則部件維修后執(zhí)行下一輪任務(wù)期間累積的故障強(qiáng)度可以通過(guò)gi[li(k),xi,t]的積分獲得。積分公式為

(4)

由此,各個(gè)關(guān)鍵部件通過(guò)非完美維修后能安全完成下一輪任務(wù)的可靠性可以計(jì)算為

(5)

考慮到圖1中設(shè)備的各個(gè)關(guān)鍵部件是串聯(lián)的關(guān)系,因此維修后設(shè)備的可靠性為

(6)

多部件設(shè)備的維修策略優(yōu)化研究中,主要考慮的設(shè)備維修指標(biāo)包括設(shè)備維修后可靠性、維修費(fèi)用及維修時(shí)間。為了建模方便,假設(shè)各部件隨著非完美維修等級(jí)的提高,維修時(shí)間及維修費(fèi)用都在增加,同時(shí)維修后的可靠性也會(huì)提高。另一方面,設(shè)備待維修的各個(gè)關(guān)鍵部件在設(shè)備維修點(diǎn)可以同時(shí)進(jìn)行維修。由此,設(shè)備的維修費(fèi)用可以表示為

(7)

設(shè)部件Si在非完美維修等級(jí)li(k)下的維修時(shí)間為T(mén)i[li(k)]且滿足Ti[li(0)]=0,考慮到在維修點(diǎn)各部件是同時(shí)進(jìn)行維修的,因此設(shè)備的維修時(shí)間由待維修部件中最大的維修時(shí)間來(lái)決定。表達(dá)式為

T=max{Ti[li(k)],i=1,2,…,m}

(8)

選擇設(shè)備各個(gè)部件的非完美維修等級(jí)為優(yōu)化變量,進(jìn)而以降低費(fèi)用為目標(biāo)構(gòu)建維修策略優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。已知設(shè)備的準(zhǔn)許維修時(shí)長(zhǎng)及下一輪任務(wù)的最低可靠性要求,通過(guò)設(shè)備各部件維修等級(jí)的選擇使得設(shè)備的總體維修費(fèi)用最低。因此,以維修費(fèi)用降低為目標(biāo)的設(shè)備維修策略優(yōu)化問(wèn)題可以表述為

(9)

式(9)中:ΔT為任務(wù)準(zhǔn)備期時(shí)長(zhǎng),即準(zhǔn)許設(shè)備維修的時(shí)長(zhǎng);Rreq為下一輪任務(wù)執(zhí)行期間設(shè)備安全運(yùn)行的最低可靠性。

2 基于合作博弈的設(shè)備非完美維修策略優(yōu)化方法

2.1 博弈場(chǎng)景建立

多部件設(shè)備非完美維修策略優(yōu)化過(guò)程在特定的場(chǎng)景下可以看作一個(gè)博弈過(guò)程。考慮由多個(gè)部件或者子系統(tǒng)串聯(lián)組成的復(fù)雜設(shè)備,假設(shè)每個(gè)部件或子系統(tǒng)都存在相應(yīng)的負(fù)責(zé)人,對(duì)于每個(gè)部件負(fù)責(zé)人而言都是希望自己管理的部件能夠得到維修從而達(dá)到更好的運(yùn)行狀態(tài)。然而,在設(shè)備任務(wù)最低可靠性要求及有限的維修資源約束下,不同部件的負(fù)責(zé)人決定所負(fù)責(zé)部件的維修級(jí)別事實(shí)上將是一個(gè)相互博弈的過(guò)程,本節(jié)構(gòu)建的博弈場(chǎng)景如圖2所示。

圖2 多部件設(shè)備非完美維修策略優(yōu)化的博弈場(chǎng)景Fig.2 Game scenario for the maintenance strategy optimization of multi-parts equipment

由于所考慮的設(shè)備多部件之間是串聯(lián)的方式,維修約束條件(包括設(shè)備可靠性、維修時(shí)間等)和整體收益(設(shè)備總的維修費(fèi)用相關(guān))是在設(shè)備層面定義的,因此單個(gè)部件采用過(guò)高的維修等級(jí)對(duì)于整體收益是不利的,各個(gè)參與者之間只能通過(guò)相互合作的方式才能取得最優(yōu)的整體收益。因此所構(gòu)造的設(shè)備非完美維修決策的博弈場(chǎng)景是合作博弈模式,通過(guò)設(shè)置每輪博弈中各參與者的策略空間構(gòu)造、收益及博弈規(guī)則,能夠使每輪博弈中設(shè)備維修方案的更新是朝著優(yōu)化目標(biāo)的方向進(jìn)行,這將構(gòu)成多部件設(shè)備非完美維修決策的博弈框架,具體包括以下兩個(gè)階段。

(1)以滿足設(shè)備可靠性要求為目標(biāo)的博弈階段。第一階段合作博弈的主要目標(biāo)是提高設(shè)備維修后的可靠性,因此當(dāng)設(shè)備的可靠性不能滿足任務(wù)可靠性要求時(shí),設(shè)備的各部件對(duì)應(yīng)的負(fù)責(zé)人一直將處于第一階段合作博弈中。各個(gè)參與者每輪博弈中將根據(jù)負(fù)責(zé)部件的原維修方案制定新一輪博弈中的維修方案,各參與者的收益定義為新的維修方案較原維修方案的改變引起的部件可靠性改變量與維修費(fèi)用改變量的比值,直觀反映了新的維修方案的性價(jià)比。每輪博弈中最大收益對(duì)應(yīng)的部件采用新的維修方案,而其他部件則保持原維修方案。設(shè)備的可靠性將隨著博弈的不斷進(jìn)行得到提高直至滿足設(shè)備的可靠性要求。

(2)以降低維修費(fèi)用為目標(biāo)的博弈階段。第二階段合作博弈的主要目標(biāo)是對(duì)第一階段獲取的設(shè)備維修方案的進(jìn)一步優(yōu)化來(lái)降低維修費(fèi)用。每輪博弈中各部件負(fù)責(zé)人根據(jù)原維修方案按照降低維修等級(jí)的方向制定本輪博弈中的維修方案,在滿足維修資源和可靠性約束條件的方案中選擇設(shè)備維修費(fèi)用最低的方案為本輪輸出方案,博弈到達(dá)平衡狀態(tài)后設(shè)備的維修費(fèi)用將為最低維修費(fèi)用。

2.2 基于合作博弈的設(shè)備非完美維修策略優(yōu)化方法

對(duì)于一個(gè)由m個(gè)部件組成、每個(gè)部件共N+1種非完美維修等級(jí)的設(shè)備,各部件維修策略的組合共有(N+1)m種,且維修策略組合數(shù)量隨部件或維修等級(jí)的增加呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)特征,為設(shè)備維修策略的優(yōu)化選取增加了難度。本節(jié)將博弈理論引入到設(shè)備的非完美維修策略優(yōu)化模型求解中,通過(guò)設(shè)計(jì)各部件負(fù)責(zé)人在每輪博弈中的策略空間及收益函數(shù),使得各部件維修方案通過(guò)每輪的合作博弈朝著全局優(yōu)化的方向進(jìn)行。

2.2.1 第一階段合作博弈:以滿足可靠性要求為目標(biāo)的策略優(yōu)化

當(dāng)設(shè)備的可靠性不能滿足任務(wù)可靠性要求時(shí),各部件負(fù)責(zé)人作為博弈的參與者每輪博弈中將根據(jù)部件上一輪的維修方案制定新一輪博弈中的維修方案,使得設(shè)備的可靠性不斷提高。第一階段合作博弈優(yōu)化算法的主要步驟可以總結(jié)為以下過(guò)程。

(10)

(3)計(jì)算部件策略空間中各維修方案下的維修可靠性、費(fèi)用及時(shí)間,并表示為

(11)

(12)

(5)確定每輪博弈中部件的優(yōu)選維修方案。對(duì)于每個(gè)部件,從其策略空間中選擇滿足時(shí)間約束條件,且收益最大的維修方案作為部件的優(yōu)選維修方案。如果策略空間中新產(chǎn)生的維修方案不滿足時(shí)間約束條件,則選擇原維修方案作為本輪的優(yōu)選維修方案。

(13)

2.2.2 第二階段合作博弈:以降低維修費(fèi)用為目標(biāo)的策略優(yōu)化

第一段合作博弈本質(zhì)上是沿著單位新增維修費(fèi)用獲得最大可靠性增量的方向進(jìn)行優(yōu)化的,獲取的維修方案存在的問(wèn)題在于:由于優(yōu)化中每步都是沿著單位成本的可靠性增量最大化的方向進(jìn)行的,使得優(yōu)化中最后一步獲取的可靠性增量大于任務(wù)可靠性需要,從而增加了額外的維修成本。因此,對(duì)于第一階段合作博弈優(yōu)化后的維修方案,還需要以降低維修費(fèi)用為目標(biāo)對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化,即第二階段合作博弈,包括以下主要步驟。

(14)

(15)

(16)

本節(jié)提出的基于合作博弈的優(yōu)化算法依據(jù)策略空間的構(gòu)造分兩個(gè)環(huán)節(jié):第一個(gè)環(huán)節(jié)中沿著維修性價(jià)比(部件可靠性增量與維修成本增量的比值)最大化的方向進(jìn)行優(yōu)化,旨在獲得設(shè)備維修方案的一個(gè)次優(yōu)解;第二個(gè)環(huán)節(jié)的博弈則沿著最大化降低維修費(fèi)用的方向構(gòu)造策略空間和優(yōu)選維修方案,是對(duì)第一階段獲取的維修方案的進(jìn)一步優(yōu)化。

3 仿真算例驗(yàn)證及對(duì)比分析

3.1 算例驗(yàn)證

3.1.1 設(shè)備維修算例模型及參數(shù)

考慮一臺(tái)由10個(gè)關(guān)鍵部件Pi(i=1,2,…,10),通過(guò)串聯(lián)形式組成的設(shè)備,每個(gè)部件維修前的役齡為xi,假設(shè)各個(gè)部件故障強(qiáng)度函數(shù)滿足威布爾分布且分布參數(shù)分別為αi和βi。將不同維修等級(jí)下的維修費(fèi)用Ci(li)和維修時(shí)間Ti(li)進(jìn)行簡(jiǎn)化,為

Ci(li)=Ra(li)CR,i

(17)

Ti(li)=Ra(li)TR,i

(18)

式中:CR,i為部件i完全更換如新需要的費(fèi)用;TRi是其完全更換如新需要的維修時(shí)間;Ra(li)是非完美維修等級(jí)下部件維修費(fèi)用及維修時(shí)間與完美維修下的比例系數(shù),設(shè)備各個(gè)關(guān)鍵部件的維修參數(shù)見(jiàn)表1。考慮每個(gè)部件都有7種維修等級(jí),即li=0,1,…,6,其中l(wèi)i=0代表對(duì)部件不進(jìn)行任何維修,而li=6代表對(duì)部件更換如新。部件非完美維修混合表征模型中尺度因子選為z=0.8,表2給出了設(shè)備不同維修等級(jí)下對(duì)應(yīng)的Ra(li)和a(li)。

選取下一個(gè)任務(wù)的執(zhí)行時(shí)長(zhǎng)為T(mén)m=0.4,任務(wù)準(zhǔn)備期時(shí)長(zhǎng)為T(mén)lim=10,設(shè)備執(zhí)行任務(wù)需要最低的可靠性為Rreq=0.9。需要對(duì)設(shè)備各部件是否維修及維修的等級(jí)進(jìn)行優(yōu)化,使得在滿足維修用時(shí)不超過(guò)任務(wù)期準(zhǔn)備時(shí)長(zhǎng)Tlim、維修后設(shè)備可靠性不低于Rreq的前提下設(shè)備整體的維修費(fèi)用能夠最低。

表1 各部件維修前役齡及故障強(qiáng)度參數(shù)Table 1 Variable values of the enlistment age and hazard rate function distribution of the equipment parts

表2 非完美維修等級(jí)下混合表征模型參數(shù)Table 2 Parameters of the hybrid model of imperfect maintenance

3.1.2 基于合作博弈理論的求解結(jié)果

基于設(shè)備各部件的參數(shù),計(jì)算得到的不進(jìn)行維修時(shí)設(shè)備的可靠性為0.608 1,不能滿足任務(wù)的可靠性要求,因此進(jìn)一步通過(guò)提出的合作博弈優(yōu)化算法對(duì)維修策略進(jìn)行優(yōu)化。圖3和圖4分別為每輪博弈中輸出的維修方案下設(shè)備的可靠性及維修費(fèi)用。

可以看到,維修方案的優(yōu)化共經(jīng)歷了18輪合作博弈。第一輪合作博弈中設(shè)備的初始維修方案為li=0(i=1,2,…,10),第一階段博弈優(yōu)化是以提高設(shè)備可靠性為目標(biāo)、以單位維修費(fèi)用增量下可靠性增量最大化為優(yōu)化路徑的,經(jīng)過(guò)12輪博弈后設(shè)備可靠性達(dá)到了任務(wù)要求。此時(shí),設(shè)備的可靠性和維修費(fèi)用分別為R12=0.902 2和C12=90.117,對(duì)應(yīng)的維修方案為

圖3 每輪博弈中維修方案下設(shè)備的可靠性(Tlim=10)Fig.3 Equipment reliability under each game round (Tlim=10)

L12=[0 0 2 0 4 0 2 3 1 0]

(19)

此時(shí)維修方案對(duì)應(yīng)的維修時(shí)間為T(mén)=9,滿足維修時(shí)間約束條件。第二階段博弈共持續(xù)了6輪,可以看到,博弈過(guò)程中每輪的維修費(fèi)用及設(shè)備可靠性均保持不變,因而所獲得的維修方案L12是設(shè)備優(yōu)化后的維修方案。

為進(jìn)一步測(cè)試所提出方法的有效性,將任務(wù)準(zhǔn)備期允許時(shí)長(zhǎng)更改為T(mén)lim=8,設(shè)備維修模型中其他參數(shù)均保持不變。采用基于合作博弈的優(yōu)化算法,每輪博弈中設(shè)備的可靠性及維修費(fèi)用分別如圖5和圖6所示。

可以看到,維修方案的優(yōu)化共經(jīng)過(guò)19輪合作博弈。第一階段共經(jīng)過(guò)13輪合作博弈,此時(shí)設(shè)備的可靠性、維修費(fèi)用及維修時(shí)間分別為R13=0.902 1、C13=97.4、T13=7,對(duì)應(yīng)的維修方案為

L13=[0 0 3 1 3 0 1 3 2 0]

(20)

第二階段經(jīng)過(guò)6輪合作博弈后達(dá)到終止條件,優(yōu)化后的設(shè)備可靠性、維修費(fèi)用及維修時(shí)間依次為R19=0.900 1、C19=95.6、T19=7,經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的設(shè)備維修方案為

圖4 每輪博弈中維修方案下設(shè)備的維修費(fèi)用(Tlim=10)Fig.4 Maintenance cost under each game round (Tlim=10)

圖5 每輪博弈中維修方案下設(shè)備的可靠性(Tlim=8)Fig.5 Equipment reliability under each game round (Tlim=8)

圖6 每輪博弈中維修方案下設(shè)備的維修費(fèi)用(Tlim=8)Fig.6 Maintenance cost under each game round (Tlim=8)

L19=[0 0 3 1 3 0 1 3 1 0]

(21)

這是由于第一階段合作博弈算法是沿著單位維修費(fèi)用增量下的可靠性增量最大化的方向進(jìn)行優(yōu)化的,往往優(yōu)化的最后一步可能會(huì)造成設(shè)備可靠性的盈余。因此,第二階段合作博弈的就是通過(guò)對(duì)盈余的可靠性的削減來(lái)達(dá)到維修費(fèi)用降低的目標(biāo)。

3.2 與遺傳算法和粒子群算法結(jié)果對(duì)比

3.2.1 算例對(duì)比驗(yàn)證

(22)

可以看到:經(jīng)過(guò)遺傳算法優(yōu)化得到的設(shè)備維修方案能夠滿足維修時(shí)間及可靠性的約束條件;然而,通過(guò)合作博弈優(yōu)化算法取得的設(shè)備維修費(fèi)用要低于遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果。針對(duì)這個(gè)算例,進(jìn)一步采用粒子群算法進(jìn)行求解。經(jīng)過(guò)粒子群算法優(yōu)化后的設(shè)備維修方案為L(zhǎng)pso=[1 0 2 1 4 0 0 2 2 0],對(duì)應(yīng)的維修后可靠性、費(fèi)用及時(shí)間分別計(jì)算為Rpso=0.900 1、Cpso=102.15、Tpso=9。可以看到,粒子群算法優(yōu)化結(jié)果的維修費(fèi)用要高于合作博弈方法及遺傳算法。

(23)

可以看到:該算例中遺傳算法與提出的合作博弈優(yōu)化算法取得了相同的優(yōu)化結(jié)果。進(jìn)一步采用粒子群算法進(jìn)行求解,優(yōu)化后的設(shè)備維修方案為L(zhǎng)pso=[1 0 3 1 3 0 1 3 1 0],該維修方案對(duì)應(yīng)的維修后設(shè)備可靠性、維修費(fèi)用及維修時(shí)間分別為Rpso=0.9043、Cpso=104.6、Tpso=7。可以看到,粒子群算法優(yōu)化結(jié)果雖然能夠滿足維修費(fèi)用及時(shí)間約束條件,然后其維修費(fèi)用要高于合作博弈算法及遺傳算法。由上述算例對(duì)比可以看到:所提出的合作博弈優(yōu)化方法得到的設(shè)備維修方案整體上優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法;遺傳算法對(duì)初始值敏感、易收斂到局部極值點(diǎn);粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果均不如合作博弈算法及遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果。

3.2.2 不同參數(shù)下對(duì)比分析

在不同參數(shù)下對(duì)比合作博弈優(yōu)化算法與遺傳算法在維修策略優(yōu)化精度及求解效率上的差別。選擇與表1及表2相同的設(shè)備參數(shù),設(shè)備維修允許最大時(shí)長(zhǎng)恒定為T(mén)lim=10,設(shè)備最低的可靠性要求Rreq選擇在區(qū)間[0.8, 0.96]上并以0.02為間隔進(jìn)行變化,對(duì)于每一個(gè)Rreq,分別通過(guò)合作博弈優(yōu)化算法與遺傳算法對(duì)維修方案進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)對(duì)比兩種方法的優(yōu)化結(jié)果,發(fā)現(xiàn)兩種方法優(yōu)化后的維修方案均能滿足設(shè)備可靠性及維修時(shí)間約束條件。圖7和圖8分別給出設(shè)備維修費(fèi)用及優(yōu)化算法花費(fèi)時(shí)間的對(duì)比。

圖7表明提出的合作博弈優(yōu)化算法在不同的可靠性要求下獲取的設(shè)備維修費(fèi)用不高于遺傳算法、且在部分可靠性要求下明顯低于遺傳算法優(yōu)化后的維修費(fèi)用,表明合作博弈優(yōu)化算法對(duì)設(shè)備非完美維修模型一的求解具有較好的準(zhǔn)確度。另一方面,圖8顯式不同的任務(wù)可靠性要求下維修策略采用合作博弈進(jìn)行優(yōu)化花費(fèi)的時(shí)間約為0.75 s,而通過(guò)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化的花費(fèi)時(shí)間則比合作博弈高出至少一個(gè)數(shù)量級(jí),表明所提出的合作博弈優(yōu)化算法較遺傳算法能顯著地提高計(jì)算效率。

圖7 不同Rreq下合作博弈與遺傳算法優(yōu)化后 維修費(fèi)用對(duì)比Fig.7 Maintenance cost comparison between cooperative game and genetic algorithm under defferent Rreq

圖8 不同Rreq下合作博弈與遺傳算法所用時(shí)間對(duì)比Fig.8 Calculation time comparison between cooperative game and genetic algorithm under different Rreq

4 結(jié)論

針對(duì)有限資源下多部件設(shè)備的非完美維修策略優(yōu)化問(wèn)題,本文提出了基于合作博弈理論的維修策略優(yōu)化方法。該方法將設(shè)備各個(gè)部件的負(fù)責(zé)人視為博弈的參與者,每輪博弈中各部件負(fù)責(zé)人根據(jù)上一輪的輸出維修方案及部件狀態(tài)來(lái)決定本輪的輸出策略,因而通過(guò)設(shè)置不同狀態(tài)參與者的策略空間及收益函數(shù),可以通過(guò)多輪動(dòng)態(tài)博弈獲得全局最優(yōu)的維修方案。

為了驗(yàn)證本文提出的合作博弈優(yōu)化算法的有效性,通過(guò)仿真算例進(jìn)行了測(cè)試,并與遺傳算法和粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比研究結(jié)果表明合作博弈算法優(yōu)化后維修策略整體上優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法的結(jié)果,且能夠克服遺傳算法對(duì)初始條件敏感、易收斂到局部最優(yōu)值的缺點(diǎn)。此外,合作博弈優(yōu)化算法的耗時(shí)較遺傳算法要低至少一個(gè)數(shù)量級(jí),表明所提出的合作博弈優(yōu)化算法能夠顯著地改善多部件設(shè)備非完美維修策略的優(yōu)化效率。本研究可以為當(dāng)前有限資源下的設(shè)備維修策略優(yōu)化提供新思路。