含干摩擦耗散結構的非線性模態分析方法研究

王相乾

(南京航空航天大學 能源與動力學院,江蘇 南京 210016)

0 引言

干摩擦阻尼以其不受溫度限制、結構簡單、減振效果明顯的特點而廣泛應用于摩擦葉片、空間結構等機械結構中[1],以達到減振目的。含干摩擦結構的模態特性,即模態頻率和由干摩擦現象引起的模態阻尼比,是結構動力學設計工作中的重要關注點。然而,干摩擦導致的強非線性耗散特性,給含干摩擦結構的模態特性預測和分析帶來了困難。

為了求解非線性模態, ROSENBERG[2]提出非線性正則模態(nonlinear normal mode,NNM)的概念,將非線性模態定義為非線性無阻尼自治系統的同步周期振動。基于非線性正則模態的定義,衍生出多種解析計算方法,如多尺度法、正規形法等。然而這些方法各有不同的適用范圍,且計算效率低,很難應用于實際復雜結構,因此需利用數值求解方法計算各種非線性結構的非線性模態。基于非線性正則模態的定義,SLATER[3]通過Runge-Kutta 法,首次通過數值方法求解非線性模態。隨后,LEE等[4]通過打靶法,提出了更高效穩定的非線性模態求解方法。

前人的研究主要針對保守系統的非線性模態。對于含干摩擦耗散特性的結構,其在初始擾動作用下的自由振動并不具備周期性特征。故而上述非線性正則模態的定義并不適用含干摩擦耗散因素的結構。KRACK[5]通過人為引入負阻尼項用于補償由于干摩擦非線性所致的能量耗散,將非線性正則模態理論拓展應用于非線性耗散系統,由此形成了阻尼非線性模態(damped nonlinear normal mode, dNNM)的概念。基于非線性模態理論的發展,國外已經開始著眼于基于非線性模態對結構動力學分析與設計的應用基礎研究,而國內這方面的研究比較少見。

本文以含干摩擦梁結構為例,基于阻尼非線性模態的定義,建立了含干摩擦耗散結構的非線性模態高效數值分析方法體系,并提出了通過模態應變能法對非線性模態阻尼比計算結果進行驗證的技術途徑。

1 理論方法

本文以圖1所示含干摩擦單元的簡單梁元模型為研究對象(其中Ω為激振頻率),開展含干摩擦耗散特性結構的非線性模態分析方法研究。該模型由7個梁單元構成,干摩擦力由庫侖摩擦定律確定,如圖2所示。其主要參數見表1。

表1 模型參數

圖1 帶干摩擦單元的梁結構

圖2 干摩擦力遲滯回線

1.1 含干摩擦非線性耗散系統的阻尼非線性模態

非線性模態(NNM)定義與線性系統類似。它被定義為非線性保守系統在不考慮外力和黏性阻尼力作用時,因受到初始擾動而產生的周期性自由振動。其動力學方程如下:

(1)

式中:M和K代表系統的質量矩陣和剛度矩陣;u代表系統位移;t代表時間;fnl(u,t)代表不具有能量耗散性的非線性力,例如由于幾何非線性所致的彈性恢復力u3。

(2)

式中:Cd=-2ωζM,代表與質量矩陣相關的負比例阻尼矩陣,其中ω和ζ分別代表非線性模態頻率與非線性模態阻尼比。

由此,針對含干摩擦非線性耗散系統的阻尼非線性模態(dNNMs)振動可定義為方程(2)所描述的非線性系統在初始擾動作用下的周期性自由振動。可以看出,基于此方法不僅可以計算得到系統的非線性模態頻率,還可以直接得到系統模態阻尼比的變化。通過模態阻尼比可以定量評估接觸非線性的阻尼能力,為其減振設計提供指引。

1.2 阻尼非線性模態仿真分析方法

為了更好地量化非線性耗散系統的能量相關性,通過引入新的參數模態幅值a,方程(2)的周期性位移響應可以表示為u(t)=aΨ(t),將其展開為傅里葉級數形式:

(3)

式中:Nh表示截取的諧波階次;上標c代表余弦項;上標s代表正弦項。將式(3)中的傅里葉系數歸結為向量形式:

Ψ=[Ψ0,Ψc1,Ψs1,…,Ψck,Ψsk]

(4)

并定義系數轉換矩陣

T(t)=[I,cosωtI,sinωtI,…,coskωtI,sinkωtI]

(5)

式中I為Nd×Nd維單位矩陣,其中Nd為自由度數目。

位移解(式(3))可以改寫為

u(t)=aT(t)Ψ

(6)

引入頻域求導算子:

(7)

則系統的速度和加速度可以表示為

(8)

同理干摩擦力ffric(u,t)的傅里葉形式為

ffric(u,t)=T(t)·Ffric

(9)

式中Ffric為干摩擦力對應的傅里葉系數向量,可通過時-頻域轉換技術獲取[6]。

將式(6)—式(9)代入式(2),并通過伽遼金法積分消去與時間項相關的T(t),得到由傅里葉系數向量表示的諧波平衡代數方程

P(ω,ζ)Ψ+Ffric(aΨ)=0

(10)

式中:P(ω,ζ)=a(ω2NM?2+ωNC?+NK);NC是分塊對角矩陣,NC=blkdiag(Cd,Cd,…),NM和NK的形式與NC相同。

綜上,針對計算含干摩擦非線性耗散系統的阻尼非線性模態轉化為下列非線性代數方程的求解問題:

(11)

上述方程可通過牛頓拉夫遜法迭代求解。a起延拓參數的作用,可通過弧長延拓技術高效地追蹤獲取對應其他模態振幅下的阻尼非線性模態振動。迭代求解過程中,可采用作者前期提出的雅可比矩陣快速計算方法[7],大幅提高上述非線性代數方程組的求解速度。

1.3 基于模態應變能法的模態阻尼比計算

由于阻尼非線性模態的解可以作為穩態受迫響應被激發,因此系統非線性模態阻尼比也可以從受迫響應結果中得到。在一個完整振動周期內的耗散能量Efric可以通過摩擦力對接觸界面上的相對位移的功計算。

(12)

當結構最大振動幅值為A時,整個結構的應變能為

(13)

式中φj和ωr,j為第j階模態振型和固有頻率。

由于模態阻尼比常被定義為每弧度所耗散的能量與系統總能量的比值,即經歷穩態振動udNNM(Ωt)的非線性結構的耗散能Efric與最大應變能Ej的比值[8]。因此當最大振動幅值為A時,模態阻尼比ζmse,j的計算如下:

(14)

第j階模態下整個結構的模態應變能Ej(aj)可以直接從ANSYS模態分析結果中獲取。因此,當最大振動幅值為A、對應的模態幅值為aj時,模態阻尼比ζmse,j(A)也可以由下式獲得:

(15)

通過式(14)或式(15)能夠評估由于摩擦非線性引起的非線性模態阻尼比ζmse,j,同時可以用于檢驗由阻尼非線性數值計算方法得到的非線性模態阻尼比ζj的準確性。

2 結果和討論

2.1 非線性模態分析

將本文建立的非線性模態仿真計算方法應用于圖1描述的梁模型,對其進行阻尼非線性模態分析。對應底層線性結構第一彎曲模態梁尖端節點處的非線性模態特性如圖3和圖4所示。具有非線性模態頻率ω和位移幅值的單個dNNM表示為圖3中頻率-幅值曲線上的一個點,并繪制了單個dNNM中不同節點u(t)的周期運動。

圖3 非線性模態頻率

圖4 非線性模態阻尼比

由圖3和圖4可以看出,當系統處于低幅值時,由于干摩擦單元保持黏滯狀態,產生的摩擦力幾乎不影響結構的模態特性。因此非線性模態頻率與非線性模態阻尼比處于線性階段,非線性模態阻尼比處于極低水平。隨著幅值的增加,干摩擦單元發生黏滑過渡現象,不斷增長的摩擦力導致頻率-幅值變化曲線出現剛度軟化特征。非線性模態頻率急劇下降并顯著提高系統的阻尼性能。需要注意的是,最大模態阻尼比是在中間幅值水平上產生的,最大約為1.5%,這意味著當干摩擦單元處于部分滑動時獲得最大的摩擦阻尼性能。當幅值持續增大,系統非線性模態頻率趨于收斂,非線性模態阻尼比逐漸回落。

2.2 非線性模態與強迫振動響應之間的關聯

系統的骨架曲線能夠描述非線性系統的頻率-能量相關性。骨架曲線是系統在不同激振力作用下,不同幅頻曲線的響應峰值相連得到的曲線。圖5描述了系統在不同激振力下(fi+1>fi,i=1,…,3)的幅頻特性曲線。

圖5 不同激振力下的幅頻曲線

由圖5觀察到非線性模態數值計算方法得到的系統幅值-頻率曲線即為骨架線。通過非線性模態幅值-頻率曲線可以準確預測系統在不同水平激振力作用下響應峰值的變化軌跡,避免了繁瑣耗時的強迫響應計算。

2.3 非線性模態阻尼比的檢驗

在強迫振動響應的基礎上,根據1.3節介紹的模態應變能方法,即式(15)得到非線性模態阻尼比ζmse(用MSE表示)與位移幅值的變化關系,可以用來評估非線性系統的非線性模態阻尼比ζmse,同時可以用來檢驗阻尼非線性模態(dNNM)計算得到的模態阻尼比ζ。圖6描述了分別通過模態應變能法和阻尼非線性模態計算方法得到的模態阻尼比與位移幅值的變化關系。由圖6觀察到,ζ和ζmse之間存在良好一致性。因此,充分證明了本文所建立的阻尼非線性模態分析方法在評估干摩擦阻尼能力方面的有效性。

圖6 不同方法下的模態阻尼比變化

3 結語

本文基于阻尼非線性模態理論,綜合采用多諧波平衡法、雅克比矩陣快速計算方法等先進數值仿真技術,建立了干摩擦耗散特性結構的非線性模態高效仿真分析方法,為擴展到實際工程結構奠定基礎,具有很好的應用價值。主要結論如下:

1)實現了含干摩擦梁結構的非線性模態分析,揭示其非線性模態頻率與非線性模態阻尼比隨振幅增長的變化規律,并將非線性模態與強迫振動響應聯系,驗證了系統在共振區域的響應可以通過非線性模態近似,避免了強迫振動響應的計算;

2)提出了通過模態應變能法對非線性模態阻尼比計算結果進行驗證的技術途徑,進而驗證了本文建立的非線性模態數值仿真計算方法可以有效評估系統的阻尼能力,為后期干摩擦裝置的設計和優化提供指導。