基于卡爾曼濾波的高精度溫度脈動(dòng)儀設(shè)計(jì)

黎一宏，常帥，張恒，步宏坤

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

光學(xué)湍流效應(yīng)是制約空間激光通信發(fā)展的重要因素，由于大氣湍流造成折射率的隨機(jī)起伏會(huì)影響空間激光通信的質(zhì)量，因此研究并測(cè)量大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)是研究光波傳輸?shù)闹匾h(huán)節(jié)［1-2］。國(guó)內(nèi)外都對(duì)大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)的測(cè)量進(jìn)行了大量的探索。 研究表明，大氣湍流對(duì)光波在大氣傳輸?shù)挠绊懼饕怯捎跍囟鹊钠鸱鸬摹囟让}動(dòng)儀通過(guò)對(duì)空間兩點(diǎn)的微溫脈動(dòng)量實(shí)時(shí)測(cè)量，反演大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)，是一種較為常用的大氣湍流強(qiáng)度測(cè)量?jī)x器［3-4］。溫度脈動(dòng)儀探測(cè)的微溫脈動(dòng)量變化量小，頻率高，現(xiàn)有的溫度脈動(dòng)儀設(shè)備對(duì)高頻溫度脈動(dòng)信號(hào)采集時(shí)，噪音較大。 現(xiàn)采用卡爾曼濾波原理對(duì)采集到的溫度脈動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波處理，減小信號(hào)的噪音毛刺，提高設(shè)備的測(cè)量精度，并使用溫度脈動(dòng)儀對(duì)長(zhǎng)春地區(qū)大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)進(jìn)行測(cè)量。

1 實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)備研制

1.1 溫度脈動(dòng)儀測(cè)量原理及設(shè)備研制

科爾莫戈羅夫（Kolmogorov）的“2/3”定律認(rèn)為：在湍流的慣性區(qū)內(nèi)，兩點(diǎn)間的折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)只與兩點(diǎn)間距離的2/3 次方有關(guān)，與兩點(diǎn)的位置和相對(duì)方向無(wú)關(guān)。 在此定律基礎(chǔ)上，可推導(dǎo)出折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)的計(jì)算公式如下：

由公式（1）和公式（2）可知，當(dāng)氣壓P、溫度T、距離r和溫度差的系綜平均值為已知量時(shí)，可計(jì)算得出折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)為。氣壓P和溫度T可通過(guò)氣壓傳感器和溫度傳感器獲得，使用米尺和游標(biāo)卡尺等工具可以精確地測(cè)得距離r，溫度差的系綜平均值需要對(duì)溫度脈動(dòng)儀測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行反演計(jì)算獲得。由于溫度差的系綜平均值不能被直接測(cè)量，則需要一個(gè)能夠反映其特征的可測(cè)量值來(lái)代替。溫度脈動(dòng)儀采用直徑25 μm、電阻值為50 Ω 的鉑絲作為傳感器（兩個(gè)鉑絲探頭的電阻差值不大于標(biāo)準(zhǔn)值的0.4%），感應(yīng)大氣湍流慣性區(qū)內(nèi)空間兩點(diǎn)溫度的細(xì)微差異，將表示大氣狀態(tài)的物理量溫度差轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的電信號(hào)電壓差。鉑絲的電阻值隨溫度變化的公式為：

由此得出：

式中，R0為T0下的電阻值，單位為Ω；α為電阻溫度系數(shù)，單位為K-1；Tω為鉑絲實(shí)際溫度；T0為鉑絲標(biāo)定時(shí)的溫度。

鉑絲的溫度系數(shù)為（3.908 3×10-3）（ppm/℃），因此根據(jù)公式（4），50 Ω 的鉑絲電阻在發(fā)生1 ℃的溫度變化時(shí)，其阻值變化為：

1 Ω 的電阻變化經(jīng)過(guò)溫度脈動(dòng)儀測(cè)溫電路的放大，最終引起的電壓變化為5.2 V，因此可以推出當(dāng)鉑絲電阻探頭發(fā)生1 ℃的溫度變化時(shí)，最終引起電路上的電壓變化為：

因此溫度脈動(dòng)儀的溫度引起電壓改變的系數(shù)為：

由此關(guān)系可以利用鉑絲電阻的電壓變化反演溫度的脈動(dòng)變化。

本文采用的溫度脈動(dòng)儀設(shè)計(jì)方案使用四線制測(cè)量電阻法，對(duì)鉑絲電阻的阻值進(jìn)行測(cè)量，最大限度消除導(dǎo)線電阻引入的誤差，使用2.3 mA的恒流源對(duì)用于探測(cè)溫度脈動(dòng)的鉑絲電阻通電，電阻流過(guò)的電流極低，減小了電流增溫效應(yīng)對(duì)測(cè)量的影響。采用24 位低噪音ADC 采集芯片采集電壓值，ADC 采集芯片的采集頻率最高可達(dá)到100 Hz，滿足對(duì)高頻溫度脈動(dòng)量的測(cè)量需求，經(jīng)過(guò)單片機(jī)將數(shù)據(jù)輸出，溫度脈動(dòng)儀的電子學(xué)框圖如圖1 所示。

圖1 溫度脈動(dòng)儀電子學(xué)框圖

鉑絲探頭受到溫度脈動(dòng)電阻值發(fā)生變化，兩探頭上的電阻結(jié)果測(cè)溫電路差分放大后由ADC采集模塊準(zhǔn)確采集探頭上的電壓差值，傳入信號(hào)處理模塊。信號(hào)處理模塊主要由兩塊單片機(jī)組成，使用一塊STM32F103 單片機(jī)接收ADC 模塊采集出的數(shù)據(jù)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)做濾波算法處理后發(fā)送到一塊STM32F407 單片機(jī)上，STM32F407單片機(jī)收集采集到的濾波后的電壓差值數(shù)據(jù)與BME680 傳感器傳輸來(lái)的氣象數(shù)據(jù)，一并通過(guò)串口輸出到上位機(jī)，同時(shí)控制OLED 顯示屏實(shí)時(shí)顯示數(shù)據(jù)，上位機(jī)通過(guò)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行反演檢測(cè)大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)。

1.2 基于卡爾曼濾波的溫度脈動(dòng)儀改進(jìn)設(shè)計(jì)

卡爾曼濾波的原理包括兩個(gè)主要過(guò)程：預(yù)估與校正。預(yù)估過(guò)程主要是利用時(shí)間更新方程建立對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的先驗(yàn)估計(jì)，及時(shí)向前推算當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估計(jì)的值，以便為下一個(gè)時(shí)間狀態(tài)構(gòu)造先驗(yàn)估計(jì)值。校正過(guò)程負(fù)責(zé)反饋，利用測(cè)量更新方程在預(yù)估過(guò)程的先驗(yàn)估計(jì)值及當(dāng)前測(cè)量變量的基礎(chǔ)上建立起對(duì)當(dāng)前狀態(tài)改進(jìn)的后驗(yàn)估計(jì)。 這個(gè)過(guò)程稱之為預(yù)估-校正過(guò)程，對(duì)應(yīng)的估計(jì)算法稱為預(yù)估-校正算法［8-9］。以下給出卡爾曼濾波的時(shí)間更新方程和狀態(tài)更新方程。

時(shí)間更新方程：

狀態(tài)更新方程：

式中，Xk為系統(tǒng)狀態(tài)變量；Uk是系統(tǒng)外部輸入；A是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B是系統(tǒng)輸入控制矩陣；是先驗(yàn)估計(jì)的預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣；k為算法的迭代次數(shù)；Q是控制過(guò)程噪音的協(xié)方差矩陣；Gk是卡爾曼增益；H是觀測(cè)矩陣；R為觀測(cè)噪音的協(xié)方差矩陣；Zk為觀測(cè)值；I為單位矩陣。

大氣湍流的擾動(dòng)頻率很高，通常可以達(dá)到上百赫茲，而溫度脈動(dòng)引起大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)變化是一個(gè)緩慢的過(guò)程，因此在采集溫度脈動(dòng)信號(hào)時(shí)可采用卡爾曼濾波的思路，利用上一個(gè)采樣周期的系統(tǒng)狀態(tài)定義為預(yù)估的當(dāng)前狀態(tài)，結(jié)合測(cè)溫電路采集到的當(dāng)前周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)組合得到系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。在對(duì)溫度脈動(dòng)進(jìn)行高頻采集的同時(shí)降低由于硬件或環(huán)境異常擾動(dòng)造成的噪音。由于是對(duì)采集到的單變量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，所以矩陣的維數(shù)都為1。在溫度脈動(dòng)儀信號(hào)處理模塊中的STM32F103 單片機(jī)上建立卡爾曼濾波算法模型，對(duì)采集到的電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。 首先定義卡爾曼濾波結(jié)構(gòu)體包含：上次估算協(xié)方差Pk- 1，當(dāng)前估算協(xié)方差Pk，卡爾曼濾波器輸出Out，卡爾曼增益G，過(guò)程噪音協(xié)方差Q，觀測(cè)噪音協(xié)方差R，并將估算協(xié)方差、過(guò)程噪音協(xié)方差、觀測(cè)噪音協(xié)方差參數(shù)初始化。ADC 芯片采集的電壓數(shù)據(jù)為Input，進(jìn)入卡爾曼濾波循環(huán)，根據(jù)公式（5）～（9）的卡爾曼濾波原理，設(shè)計(jì)溫度脈動(dòng)儀的卡爾曼濾波模型：

預(yù)測(cè)協(xié)方差方程：

卡爾曼增益方程：

更新最優(yōu)值方程：

更新預(yù)測(cè)協(xié)方差方程：

數(shù)據(jù)進(jìn)入卡爾曼濾波循環(huán)后，將上一時(shí)刻輸出值數(shù)據(jù)作為當(dāng)前時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，使用卡爾曼增益進(jìn)行加權(quán)計(jì)算后得到這一時(shí)刻的狀態(tài)變量最優(yōu)值后，輸出經(jīng)過(guò)計(jì)算的數(shù)據(jù)得到濾波后的電壓值，將電路噪音進(jìn)行濾波，同時(shí)可以減小外界異常干擾造成電壓值不穩(wěn)定而形成的毛刺。

圖2 為STM32F103 單片機(jī)的工作流程圖。在系統(tǒng)開(kāi)機(jī)后，首先其內(nèi)部進(jìn)行初始化工作，主要針對(duì)ADC 模塊的工作模式進(jìn)行配置，使其能夠保障轉(zhuǎn)換精度的同時(shí)，較快速地采集鉑絲探頭兩端的電壓信號(hào)。之后該單片機(jī)進(jìn)入循環(huán)工作狀態(tài)，讀取ADC 模塊輸出的電壓數(shù)據(jù)，在單片機(jī)內(nèi)寫(xiě)入利用卡爾曼濾波算法對(duì)采集得到的信號(hào)進(jìn)行迭代濾波，將上一次的輸出值作為下一次循環(huán)的預(yù)測(cè)值進(jìn)行數(shù)據(jù)迭代，對(duì)采集到的電壓信號(hào)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算后得到當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)值，降低電壓信號(hào)內(nèi)的噪聲信息，提高采集精度，之后單片機(jī)將最優(yōu)值數(shù)據(jù)輸出，通過(guò)串口發(fā)送至STM32F407 內(nèi)核單片機(jī)中，進(jìn)行后續(xù)處理。

圖2 溫度脈動(dòng)儀STM32F103 單片機(jī)工作流程圖

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.1 卡爾曼濾波器濾波效果

為驗(yàn)證卡爾曼濾波降低溫度脈動(dòng)儀噪音的效果，現(xiàn)將溫度脈動(dòng)儀中測(cè)溫電路采集到的電壓原始數(shù)據(jù)單獨(dú)導(dǎo)出到上位機(jī)上的卡爾曼濾波程序中，需要手動(dòng)調(diào)節(jié)卡爾曼濾波參數(shù)：過(guò)程噪聲協(xié)方差Q，觀測(cè)噪聲協(xié)方差R，得到好的濾波效果后，將卡爾曼濾波器的初始值燒錄到單片機(jī)中，使溫度脈動(dòng)儀在采集電壓后立即濾波，簡(jiǎn)化后續(xù)的數(shù)據(jù)處理。原始電壓數(shù)據(jù)經(jīng)濾波后的對(duì)比如圖3 所示。

圖3 卡爾曼濾波器的電壓濾波效果

由此可見(jiàn)經(jīng)過(guò)濾波后的電壓數(shù)據(jù)在變化趨勢(shì)上符合原始數(shù)據(jù)的同時(shí)，極大減少了數(shù)據(jù)中的毛刺噪音，極大提高了數(shù)據(jù)的可靠程度，在后續(xù)通過(guò)電壓反演溫度脈動(dòng)變化時(shí)，極大提升數(shù)據(jù)的精度。

2.2 溫度脈動(dòng)儀噪音測(cè)試

為進(jìn)一步研究卡爾曼濾波對(duì)溫度脈動(dòng)儀精度的提升，對(duì)溫度脈動(dòng)儀進(jìn)行噪音測(cè)試。 現(xiàn)將兩個(gè)精密的50 Ω 定值電阻替換掉原來(lái)的鉑絲傳感器探頭安裝到溫度脈動(dòng)儀的探測(cè)天線兩端，記錄下原始的電壓數(shù)據(jù)，然后將通過(guò)卡爾曼濾波器后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對(duì)比，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 溫度脈動(dòng)儀噪音對(duì)比

使用定值電阻替代傳感器探頭，兩端的電壓差值應(yīng)該恒定無(wú)變化，電壓差值應(yīng)該呈現(xiàn)一條平穩(wěn)的直線，此情況下可以對(duì)溫度脈動(dòng)儀的噪音進(jìn)行測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)前經(jīng)過(guò)精密電阻計(jì)測(cè)得兩精密定值電阻的電阻值之差為0.011 Ω，此阻值差值經(jīng)過(guò)溫度脈動(dòng)儀測(cè)溫電路差分放大后帶來(lái)的電壓差值為0.059 V，因此噪音測(cè)試時(shí)電壓差值始終有0.059 V 左右的輸出。結(jié)果對(duì)比可知，在添加濾波算法前溫度脈動(dòng)儀的原始數(shù)據(jù)噪音在0.002 V范圍內(nèi)，噪音總體的毛刺還是比較突出；經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波后，噪音控制在0.001 V 以內(nèi)，噪音降低50%，消除數(shù)據(jù)中的毛刺噪音，濾波效果極好。按照本文中溫度脈動(dòng)儀測(cè)量電壓和探測(cè)溫度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，改進(jìn)后溫度脈動(dòng)儀的噪音對(duì)應(yīng)的溫度脈動(dòng)在0.001 K 范圍內(nèi)。根據(jù)公式（1）和公式（2）的大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)計(jì)算公式，0.001 K 的溫度脈動(dòng)噪音計(jì)算為大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)為10-18m-2/3量級(jí)，處于溫度脈動(dòng)儀的測(cè)量下限，遠(yuǎn)小于正常測(cè)量時(shí)大氣湍流數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響極低，提高了設(shè)備的測(cè)量準(zhǔn)確性。

2.3 溫度脈動(dòng)儀大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)

使用改進(jìn)后的溫度脈動(dòng)儀在長(zhǎng)春地區(qū)搭建大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)測(cè)量平臺(tái)，地理位置為長(zhǎng)春市南關(guān)區(qū)生態(tài)大街6666 號(hào)創(chuàng)業(yè)服務(wù)中心西附樓。測(cè)量點(diǎn)在四樓天臺(tái)，海拔212 m，經(jīng)度125.39，緯度43.78。溫度脈動(dòng)儀搭載在距下墊面1 m 的水泥臺(tái)座上，下墊面環(huán)境為人工塑料草皮。 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖5 所示，溫度脈動(dòng)儀放置在天臺(tái)邊緣，四周開(kāi)闊無(wú)遮擋，無(wú)高熱輻射源或強(qiáng)電磁場(chǎng)輻射源，由于長(zhǎng)春冬季天氣寒冷，實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地有積雪覆蓋。

圖5 溫度脈動(dòng)儀實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6 所示，溫度脈動(dòng)儀在觀測(cè)點(diǎn)成功繪制大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)在一整天的變化曲線。12 月23 日長(zhǎng)春地區(qū)的日出時(shí)間為7 點(diǎn)10分，日中時(shí)間為11 點(diǎn)37 分，日落時(shí)間為16 點(diǎn)05分。 在日出之前溫度脈動(dòng)量較低，大氣湍流較弱，大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)在10-14m-2/3附近波動(dòng)，7點(diǎn)鐘日出以后，溫度脈動(dòng)量開(kāi)始增加，大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)開(kāi)始升高，在日中前的11 點(diǎn)附近達(dá)到一個(gè)峰值，最高達(dá)到5 × 10-13m-2/3，然后在日中時(shí)溫度脈動(dòng)量較為平穩(wěn)，大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)有所回落，到10-13m-2/3附近波動(dòng)，在日中過(guò)后13點(diǎn)30 分時(shí)又迎來(lái)一個(gè)回升，達(dá)到5 × 10-13m-2/3。 之后便逐漸降低，在日落以后大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)回到當(dāng)日低點(diǎn)，在10-14m-2/3附近波動(dòng)。

圖6 大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)測(cè)量結(jié)果

3 結(jié)論

本文提出了一種使用卡爾曼濾波算法，提高溫度脈動(dòng)儀測(cè)量準(zhǔn)確性的方案。經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波后溫度脈動(dòng)儀采集的電壓值更加平穩(wěn)準(zhǔn)確，設(shè)備的測(cè)量噪音能夠控制在0.001 K 以內(nèi)，噪音對(duì)大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)的影響量級(jí)為10-18m-2/3，遠(yuǎn)低于正常測(cè)量的數(shù)據(jù)，對(duì)大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)的測(cè)量影響極低，提高了溫度脈動(dòng)儀的測(cè)量準(zhǔn)確度。利用研制的溫度脈動(dòng)儀對(duì)長(zhǎng)春地區(qū)冬季的大氣湍流進(jìn)行全天監(jiān)測(cè)，成功繪制大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)特性曲線，長(zhǎng)春冬季大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)在10-12m-2/3～10-15m-2/3之間波動(dòng)，在日落后日出前，大氣湍流較弱，折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)在10-14m-2/3附近波動(dòng)，日出后受太陽(yáng)輻射影響，溫度脈動(dòng)量變大，光學(xué)湍流較強(qiáng)，折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)在10-13m-2/3附近波動(dòng)，最高達(dá)到5 × 10-13m-2/3。全天變化趨勢(shì)與先前的研究結(jié)果［10-11］具有很好的一致性。