直線倒立擺線性自抗擾控制器的設計及仿真

于宗艷，韓連濤，王 麗

（1.黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱電氣科學技術有限公司，哈爾濱 150040）

倒立擺是一個典型的高階次、不穩(wěn)定、多變量、強耦合、非線性的欠驅動系統(tǒng)[1]。由于倒立擺的控制與空間飛行器和各類伺服平臺的穩(wěn)定控制有很大的相似性，因此，對倒立擺的研究又具有重要的實際意義。目前已有很多控制方法應用到了倒立擺的控制中[2-6]，如LQR 控制方法、模糊控制方法、預測控制方法、滑模控制方法等，均取得了較好的效果，但也存在一些問題，如需要獲得系統(tǒng)的數學模型、控制精度不高、運算耗時量大及易出現抖振等。

自抗擾控制器（ADRC）其核心思想是將系統(tǒng)模型和外擾作用均當作對系統(tǒng)的擾動而自動估計并給予補償，進而將對象變?yōu)橐粋€簡單的積分串聯型系統(tǒng)，然后通過適當的狀態(tài)誤差反饋實現良好的控制品質[7-11]。ADRC 不依賴于系統(tǒng)的模型，具有算法簡單、超調小、響應速度快、精度高、抗干擾能力強和魯棒性強等特點。

本文針對直線一級倒立擺，采用自抗擾控制技術實現解耦控制的思路，設計了直線一級倒立擺的線性自抗擾控制器，實現了對倒立擺在參考位置的穩(wěn)定控制。本文在線性擴張狀態(tài)觀測器的設計中利用了已知的系統(tǒng)模型信息，進一步提高了觀測器對擾動的跟蹤性能。仿真實驗結果驗證了本文設計的線性自抗擾控制器的有效性、強抗干擾性和魯棒性。

1 線性自抗擾控制

實際中，大量的被控對象可簡化為[12]

式中：w 為外擾。ADRC 的核心思想是使用適合的方法，通過對象的期望輸出r、實際輸出y 以及控制量u 對系統(tǒng)運行過程中的實時作用量a（t）=f（y，，…，y（n-1），w，u，t）進行估計并給予補償，使系統(tǒng)變成積分串聯型系統(tǒng)：

然后對其實現適當的狀態(tài)誤差反饋來達到控制的目的。

以形如系統(tǒng)（1）的二階系統(tǒng)為例，為了實現ADRC的核心功能（估計、補償、反饋控制），二階ADRC 的結構如圖1 所示，現將其各部分作用進行說明。

圖1 ADRC 控制器的結構Fig.1 Frame of ADRC

（1）安排過渡過程裝置。由給定值v0得到過渡過程v1及其微分信號v2。

（2）擴張狀態(tài)觀測器ESO。利用被控對象的輸入、輸出信號u 和y，將被控對象的狀態(tài)信號z1，z2和施加在其上的總和擾動信號z3實時地估計出來。

（3）狀態(tài)誤差的非線性反饋律NF。其中，e1=v1-z1，e2=v2-z2稱為系統(tǒng)的狀態(tài)誤差，而NF 的作用是由e1和e2生成控制律u0。

（4）利用u0和總和擾動的實時估計值z3的補償來確定最終控制信號u。

式中：b0是與補償強弱有關的可調參數。

線性自抗擾控制技術（LADRC）是在ADRC 基礎上提出的[13-14]，從組成部分看，由上述的（2）、（3）和（4）部分組成；從數學形式看，LADRC 用線性配置替代ADRC 中的非線性配置；從控制角度看，LADRC通過ωc和ωo參數化方法，將所有的控制器和觀測器的參數分別轉化為ωc和ωo的函數，進而將困難、復雜的參數調整問題簡單、直觀化，同時也更貼近工程師所熟悉的控制語言，這里的ωc表示反饋控制系統(tǒng)的帶寬，ωo表示觀測器的帶寬。

2 倒立擺的線性自抗擾控制器的設計

直線一級倒立擺系統(tǒng)是由小臺車和倒立擺構成。控制量是伺服電機電樞電壓，被控量是倒立擺的偏角及小臺車位移，直線一級倒立擺示意圖參見文獻[15]。

倒立擺系統(tǒng)的數學模型[16]為

式中：φ 為擺相對于鉛直方向的偏角；x 為小臺車的位移；J 為擺的轉動慣量；m 為擺的質量；L 為擺的質心距節(jié)點的距離；M 為小臺車的質量；b 為小臺車摩擦系數；g 為重力加速度。

記轉動慣量為J=mL2/3，由式（4）可得：

通常的自抗擾控制技術處理的對象是SISO 系統(tǒng)，但是倒立擺系統(tǒng)的輸出由擺的偏角和小臺車位移組成，并且受控于同一伺服電機輸出電壓，同時擺的偏角和小臺車位移之間還相互影響。可見倒立擺系統(tǒng)具有強烈的耦合性。

由于自抗擾控制技術具有內在的解耦功能[17]，本文采用自抗擾控制方法實現解耦控制的思路實現對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。為此，將系統(tǒng)方程（5）改寫為

進一步記為

式中：f1和f2分別為偏角通道和位移通道的總擾動，包括內擾（系統(tǒng)不確定模型）和外擾。

基于式（8）把u 當作輸入，把φ 當作輸出，看成一個單輸入單輸出系統(tǒng)，并將u 和φ 作為偏角通道觀測器的輸入，用觀測器的3 個輸出設計偏角通道控制器，從而完成了u 為輸入φ 為輸出的單變量系統(tǒng)的自抗擾控制器設計。位移通道的自抗擾控制器設計思路同偏角通道。由于倒立擺系統(tǒng)為典型的欠驅動系統(tǒng)，所以將2 個通道的控制器輸出之和作為對象的最終控制量u。倒立擺系統(tǒng)的方案如圖2 所示。

圖2 倒立擺自抗擾控制器結構圖Fig.2 Structure diagram of LADRC for pendulum

LESO1 是擺的偏角通道的觀測器，LESO2 是小臺車位移通道的觀測器；z11，z12為擺的偏角及其微分信號的估計值，z13為對偏角通道的總擾動的實時估計，z21，z22為小臺車位移及其微分的估計值，z23為對小臺車位移通道的總擾動的實時估計；LTD 為對小臺車位移設定值設計的線性跟蹤微分器；v0為輸入的小臺車位移設定值，v1為對v0安排的過渡過程也即小臺車位移設定值的跟蹤值，v2為v0的近似微分值；由于擺的偏角設定值為零度，所以忽略其TD設計；LF1 和LF2 分別為偏角和位移通道狀態(tài)誤差的線性反饋律，均采用PD 控制律；b01和b02近似為系統(tǒng)穩(wěn)定時控制輸入的放大系數的近似值，由于倒立擺系統(tǒng)只有一個控制輸入u，因此，b01必然等于b02。另外，為了提高位移通道總擾動的估計效果，進而實現對小臺車位移的穩(wěn)定控制，本文在位移通道的觀測器設計中利用了位移通道總擾動的導數信息即h，這樣位移通道的觀測器LESO2 的輸入在控制量u 和位移量x 基礎上又增加了一個h。

3 仿真結果

采用的直線一級倒立擺系統(tǒng)的參數為M=1.32 kg；m=0.109 kg；b=0.1 N/m/s；g=9.8 m/s2；L=0.25 m。

根據文獻[13]給出的參數化步驟確定的倒立擺線性自抗擾控制器的各參數設置為r=16；b01=b02=-1.8；ωo1=30；ωo2=80；ωc1=40；ωc2=7；kp1=；kd1=10ωc1；kp2=；kd2=16ωc2。

下文對以下3 種情形分別進行仿真，以實現對倒立擺線性自抗擾控制器的有效性、抗擾性和魯棒性等性能的驗證。

圖3 不加干擾時擺的偏角、小臺車位移響應和控制量變化曲線Fig.3 Response of the pendulum angle cart position and the control viable without disturbance

從圖3 可以看出，當擺桿具有一定的偏角時，自抗擾控制器能夠實現對擺桿的穩(wěn)定控制。在t=25 s給出位移參考指令后，擺的偏角的調節(jié)時間為ts=4 s，穩(wěn)態(tài)誤差為零且超調量很小；小臺車位移經過4 s左右進入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，超調量小且振蕩次數少。說明自抗擾控制器能夠實現在給定位置上倒立擺的穩(wěn)定控制，且響應速度快，超調小，控制準確。

從控制量變化曲線可以看出控制倒立擺由具有一定的偏角到平衡位置所施加的控制信號的能量較大，控制倒立擺由平衡狀態(tài)到給定位置的穩(wěn)定狀態(tài)所需的控制信號能量并不大。

（2）在t=45 s 時對倒立擺施以幅度為2、持續(xù)時間為0.1 s 的脈沖轉矩擾動，其他條件不變進行仿真。擺的偏角、小臺車位移響應和控制量變化曲線如圖4 所示。擺的偏角通道和小臺車位移通道的LESO 對總擾動的跟蹤性能如圖5 所示。

圖4 加擾動時擺的偏角、小臺車位移響應和控制量變化曲線Fig.4 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by adding disturbance

圖5 擺的偏角通道和小臺車位移通道的總擾動及其估計值Fig.5 Total disturbance and its estimation for pendulum angle and cart position channels

從圖4 可以看出，擺桿只需2 s 就能回到平衡狀態(tài)，而小車位移經過5 s 就能進入穩(wěn)態(tài)，且最終能穩(wěn)定在參考位置，說明自抗擾控制器具有良好的抗干擾能力。另外，從控制量變化曲線可以看出為克服擾動所施加的控制信號的能量并不大。

從圖5 可以看出擺的偏角通道和小臺車位移通道的LESO 能夠對總擾動進行很好的估計，進而補償總擾動，最終實現對倒立擺在給定位置上的穩(wěn)定控制，說明LESO 具有很好的總擾動跟蹤性能。

從圖5 還可以看出位移通道的總擾動估計效果好于擺的偏角通道。這是因為本文在位移通道的觀測器設計中利用了位移通道總擾動的導數信息，這也說明如果完全知道或部分知道對象模型信息，可以利用并取得更好的跟蹤效果。

（3）下面來研究當被控對象發(fā)生變化或者系統(tǒng)參數不準確時，自抗擾控制器的控制效果。仿真實驗中改變倒立擺系統(tǒng)的以下3 個參數，即m=0.159，L=0.5，b=0.2，其他參數不變。自抗擾控制參數保持不變，仿真情形同（1）。擺的偏角、小臺車位移響應和控制量變化曲線如圖6 所示。

圖6 對象參數改變時擺的偏角、小臺車位移響應和控制量變化曲線Fig.6 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by changing parameters

從圖6 可以看出，在保持自抗擾控制器參數不變的條件下，改變倒立擺系統(tǒng)的多個參數后，仍能取得很好的控制效果，說明自抗擾控制器對系統(tǒng)參數具有良好的適應性及具有強魯棒性。

4 結語

對倒立擺這種高階、不穩(wěn)定、多變量、強耦合、非線性的欠驅動系統(tǒng)，本文利用自抗擾控制器具有的良好的總擾動跟蹤能力、強魯棒性，采用自抗擾控制方法實現解耦控制的思路，設計了直線一級倒立擺的線性自抗擾控制器，實現了對倒立擺在給定位置的穩(wěn)定控制。

為了提高控制器的控制效果在設計擴張狀態(tài)觀測器時利用了系統(tǒng)已知的模型信息，仿真結果驗證了本文設計的線性自抗擾控制器的有效性，并且進一步驗證了線性自抗擾控制器具有的優(yōu)良的抗干擾能力和強魯棒性。但理論分析及其在更高階倒立擺系統(tǒng)上的應用有待下一步研究。