基于冷原子的非平衡量子多體物理研究

翟薈

(清華大學(xué)高等研究院,北京 100084)

1 非平衡量子多體物理是當(dāng)前物理學(xué)研究的一個重要機遇和挑戰(zhàn)

物理學(xué)中對非平衡物理的研究有著悠久的歷史.過去我們在非平衡物理的研究中所取得的成就,很大一部分是關(guān)于經(jīng)典體系的,例如發(fā)展出經(jīng)典混沌、自組織等重要的物理概念.而對于量子系統(tǒng)的非平衡物理,很多研究是針對光學(xué)腔、量子點、電子電離等自由度比較少的量子系統(tǒng).因為自由度比較小,最常用的方法是數(shù)值求解量子多體運動方程,但這種研究方法很難推廣到量子多體系統(tǒng).

物理學(xué)中對量子多體物理的研究在過去的一個世紀(jì)里也取得了輝煌的成就.我們對量子多體物理的研究,大多數(shù)情況下關(guān)注于平衡態(tài)性質(zhì),特別是低能平衡態(tài)以及平衡態(tài)附近的線性響應(yīng)區(qū)域的關(guān)聯(lián)、對稱性和拓?fù)涞刃?yīng).除了強關(guān)聯(lián)等少數(shù)方面以外,已經(jīng)有相當(dāng)完善且普適的理論框架,例如對稱性破缺、重正化群、拓?fù)浞诸惖?已經(jīng)發(fā)展出很多行之有效的理論方法,既包括各種低能場論和平均場近似等解析方法,又包括蒙特卡羅、密度矩陣重正化群和張量網(wǎng)絡(luò)等數(shù)值方法;絕大部分理論的預(yù)言都已經(jīng)被大量的實驗所證實.

相比之下,將非平衡物理和量子多體物理結(jié)合起來,研究量子多體物質(zhì)遠(yuǎn)離平衡物理時的物理效應(yīng),雖然也有一些進展,但相對于經(jīng)典非平衡物理和平衡態(tài)量子多體物理的成就來說,還有很大值得探索的空間.針對遠(yuǎn)離平衡的量子多體系統(tǒng),發(fā)展行之有效的理論方法、建立普適完善的理論框架、形成理論實驗相互印證的體系,還有很長的路要走,也是當(dāng)前物理學(xué)留給我們這一代物理人的一個重要機遇.

非平衡量子多體物理問題是當(dāng)前物理學(xué)多個分支的共性問題.下文會重點談到,研究非平衡量子多體物理是當(dāng)前冷原子物理的核心問題之一.此外,隨著近年來超快光學(xué)的發(fā)展,將超快激光作用在凝聚態(tài)材料上,在短時間內(nèi)就將電子體系激發(fā)到了很高能量的非平衡態(tài).又如,核物理研究中的相對論重離子碰撞,也是關(guān)于致密核物質(zhì)的非平衡現(xiàn)象.在量子信息的研究中,我們也關(guān)心量子信息在多體系統(tǒng)中的擴散、傳輸和提取等動力學(xué)過程.在引力的量子效應(yīng)的研究中,人們關(guān)注的比較多的也是一些非平衡過程,例如信息在落入黑洞以后為何丟失,信息能否穿過蟲洞等.這些研究對基礎(chǔ)物理學(xué)的發(fā)展都具有重要的意義.

對非平衡量子多體物理的研究也是發(fā)展未來量子科技不可或缺的基礎(chǔ).對未來量子科技的期待,不滿足于被動地利用量子效應(yīng),而是要去主動地去操控量子效應(yīng).在大多數(shù)情況下,比如在量子計算過程中,未來的量子器件都需要集成大量的量子比特,而且這些量子比特之間需要有相互耦合.也就是說,這樣的量子器件必定是一個量子多體系統(tǒng).而對這些量子器件的操控,就是通過調(diào)節(jié)外界參數(shù)來改變量子態(tài)的狀態(tài),這不可避免地涉及多體量子態(tài)的非平衡過程.此外,絕大部分量子系統(tǒng)在長時間演化下都會達到熱平衡,從而失去局域信息;量子系統(tǒng)也都不可避免地和外界環(huán)境有耦合而造成耗散.因此,研究量子物質(zhì)如何響應(yīng)這些動力學(xué)過程,對量子器件的設(shè)計非常重要.

2 冷原子物理的發(fā)展為非平衡量子物理的研究提供了理想平臺

近年來,冷原子物理的發(fā)展為研究非平衡量子物質(zhì)提供了一個非常理想的平臺.第一,冷原子體系的特征能標(biāo)比較低.比如,一個超冷費米原子氣體的特征費米能量只有幾千赫茲,很容易就能把這個系統(tǒng)激發(fā)到一個能量相對于費米能來說很高的激發(fā)態(tài).第二,冷原子體系的特征響應(yīng)時間一般是毫秒量級,因此,在微秒尺度上操控冷原子系統(tǒng),就已經(jīng)是超快過程了,從而比較容易實現(xiàn)對系統(tǒng)的超快控制和測量.第三,冷原子體系相對比較干凈,不存在內(nèi)核電子和聲子等自由度的干擾,實驗系統(tǒng)的建模比較清楚,有利于實驗和理論定量地比較.第四,冷原子系統(tǒng)多種多樣的操控手段,可以精確地制備不同的多體態(tài),也可以實現(xiàn)各種多樣的非平衡過程.離子阱、超導(dǎo)量子計算、核磁和金剛石色心等人工量子體系在很多方面也同樣具有優(yōu)勢.

結(jié)合這些實驗平臺的發(fā)展,近年來已經(jīng)發(fā)現(xiàn)諸多新的非平衡物理現(xiàn)象.例如,針對量子多體系統(tǒng)中的熱化現(xiàn)象,近十多年來的研究先后發(fā)現(xiàn)了多體局域化(many-body localization)[1,2]、多體傷疤態(tài)(many-body scar state)[3]等違反熱化的新現(xiàn)象,豐富了對量子統(tǒng)計的認(rèn)知.又如,如果以一個固定的頻率去驅(qū)動一個量子多體系統(tǒng),有一類系統(tǒng)會以該驅(qū)動頻率一半的頻率給出穩(wěn)定的響應(yīng).這一現(xiàn)象被稱為離散時間晶體(discrete time crystal)[4].正因為冷原子等物理系統(tǒng)的這些優(yōu)勢,關(guān)于多體局域化、量子多體傷疤態(tài)和離散時間晶體的實驗工作,絕大多數(shù)都是在冷原子、離子阱和超導(dǎo)量子計算等實驗平臺上開展的.

結(jié)合冷原子物理近年來的發(fā)展,我認(rèn)為具體研究內(nèi)容將著眼于以下五類典型的非平衡過程及其相應(yīng)的物理問題.

1)孤立系統(tǒng)的熱化(thermalization)過程.一個一般的量子多體態(tài)演化足夠長時間以后能達到熱平衡,這是量子統(tǒng)計的基礎(chǔ)假設(shè).這里核心的物理問題,一方面是關(guān)注多體局域化、多體傷疤態(tài)等違反熱化的例子;另一方面也關(guān)注在熱化過程中,量子信息如何從局域擴散到整體.

2)和環(huán)境耦合導(dǎo)致的耗散(dissipation)過程.任何系統(tǒng)都不可避免地和環(huán)境有耦合.一般系統(tǒng)中很難明確地知道實際的耗散的形式和強度,而冷原子體系中可以可控地加入耗散,其形式和強度都比較明確,因而有利于理論和實驗的定量比較.這里我們著重關(guān)注量子多體系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)和拓?fù)涞刃?yīng)是如何被耗散所影響的.

3)系統(tǒng)參數(shù)掃描(ramping)導(dǎo)致的非絕熱過程.當(dāng)絕熱地調(diào)節(jié)參數(shù)時,系統(tǒng)處于瞬時本征態(tài),這種絕熱動力學(xué)能反映出系統(tǒng)的拓?fù)洹㈥P(guān)聯(lián)等性質(zhì).冷原子實驗上可以準(zhǔn)確地控制參數(shù)變化的速率,從絕熱過渡到非絕熱,從而在更廣泛的動力學(xué)過程中研究拓?fù)浜完P(guān)聯(lián)效應(yīng).

4)系統(tǒng)參數(shù)跳變導(dǎo)致的淬火(quench)過程.冷原子體系的很多參數(shù)都是通過光和原子相互作用來控制.光的調(diào)控速度可以遠(yuǎn)快于原子系統(tǒng)的響應(yīng)速度,因而可以實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的瞬間改變,從而使系統(tǒng)處于非常遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài).過去我們對普適性的研究,大多集中在低能量的平衡態(tài),這里我們可以探索在高能量遠(yuǎn)離平衡過程中的普適性.

5)周期驅(qū)動(periodic driving)過程.由于冷原子體系的特征能標(biāo)一般是千赫茲范圍,所以可以比較容易地實現(xiàn)高頻驅(qū)動,使驅(qū)動的頻率比系統(tǒng)的特征能標(biāo)大.在這種高頻驅(qū)動的區(qū)域中,也比較容易體現(xiàn)出周期驅(qū)動問題的普適行為.

利用冷原子等人工量子系統(tǒng)的上述優(yōu)勢,研究上述各種動力學(xué)過程中的量子多體物理,將理論和實驗定量地結(jié)合起來,重點是提煉出具有普適性的物理規(guī)律,有可能推廣到凝聚態(tài)物質(zhì)、核物質(zhì)等其他物理系統(tǒng)的非平衡過程,這是基于冷原子體系研究非平衡多體物理的任務(wù)和目標(biāo).

最后,結(jié)合我們課題組在這方面的研究,給出3 個有代表性的例子,使讀者對這方面的研究有更具體的了解.

例1利用動力學(xué)方法制備和探測拓?fù)湫再|(zhì)

著名理論物理學(xué)家Haldane[5]于20 世紀(jì)80年代提出了一個可以表現(xiàn)出拓?fù)湫再|(zhì)的理想模型,后來成為研究拓?fù)湮锢碜罨A(chǔ)的模型之一.Haldane 在提出這一模型時,也認(rèn)為這個理想模型不太可能被直接物理實現(xiàn).他寫道:“While the particular model presented here is unlikely to be directly physically realizable,…”[5].而冷原子光晶格的發(fā)展使實現(xiàn)這一模型成為可能,但是,要實現(xiàn)Haldane 模型所要求的特殊的長程躍遷還是很困難的.我們課題組[6]于2014年提出了利用周期驅(qū)動的動力學(xué)方案來實現(xiàn)這一模型的方法.其中最基本的想法就是利用高頻驅(qū)動,Floquet 理論可以給出這個系統(tǒng)的一個等效哈密頓量.我們發(fā)現(xiàn),只要設(shè)計合適的驅(qū)動方式,等效哈密頓量就可以出現(xiàn)Haldane 模型所要求的長程躍遷.同年,蘇黎世理工實驗組[7]采用同樣的方案實現(xiàn)了這一模型,并觀察到這個模型中存在拓?fù)湎嘧兊淖C據(jù).2016年諾貝爾獎授予Haldane 時,專門引述了這個實驗作為支撐.

基于這一進展,進一步可以提出的問題是,在冷原子中實現(xiàn)拓?fù)淠Ｐ?能否揭示此前尚未發(fā)現(xiàn)的新拓?fù)湫?yīng)? 此前,在凝聚態(tài)體系中,拓?fù)湫?yīng)主要集中在平衡態(tài)的能帶結(jié)構(gòu)和近平衡態(tài)的輸運行為.而我們結(jié)合上述冷原子體系的特點,將研究聚焦在拓?fù)湮锢碓谶h(yuǎn)離平衡的動力學(xué)中的效應(yīng).特別是,冷原子體系中的拓?fù)淠Ｐ褪峭ㄟ^光晶格產(chǎn)生的,調(diào)節(jié)光場的時間可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于原子運動的時間,因而就可以研究在遠(yuǎn)離平衡的淬火動力學(xué)中的拓?fù)湫?yīng).我們提出并證明,通過觀測動力學(xué)過程中可觀測量軌跡的“纏繞數(shù)”,可以表征哈密頓量的拓?fù)鋽?shù)[8].這就可以突破此前拓?fù)湫?yīng)研究的框架.之后,漢堡大學(xué)實驗組按照這個建議,實驗證實了這一理論 (如圖1 所示).他們同時指出,這揭示了基態(tài)拓?fù)浜瓦h(yuǎn)離平衡動力學(xué)之間的一個精彩的聯(lián)系[9].最近,中國科技大學(xué)的實驗組還基于這個非平衡效應(yīng),在實驗上測量出了Chern-Simons不變量的量子化.

圖1 兩種不同拓?fù)涞目捎^測量的軌跡,“纏繞數(shù)”分別是0 (a)和1(b),分別對應(yīng)平庸和非平庸的哈密頓量拓?fù)鋄8];(c)漢堡大學(xué)實驗測量的動力學(xué)軌跡,以及對應(yīng)的拓?fù)鋽?shù)和相應(yīng)的平衡態(tài)能帶[9]Fig.1.Trajectories of a physics observable during unitary evolution under two topologically difference Hamiltonians,the linking numbers are zero (a)or one (b),corresponding to topologically trivial and nontrivial Hamiltonians,respectively[8];(c)the dynamical trajectories measured by the Hamburg University group,and the corresponding topological number and equilibrium band structure of the Hamiltonian[9].

例2利用動力學(xué)方法測量量子多體關(guān)聯(lián)

線性響應(yīng)理論是探測量子體系關(guān)聯(lián)效應(yīng)的基礎(chǔ).我們熟悉的各種實驗,比如各種輸運實驗、角分辨光電子譜和中子散射等,都是通過對一個物理系統(tǒng)施加不同形式的擾動,然后觀測物理系統(tǒng)對這些擾動的響應(yīng).這里重要的是這些擾動相對于系統(tǒng)的特征能量尺度來說可以被看成一種微擾.線性響應(yīng)理論就是把這種對微擾的響應(yīng)和物理系統(tǒng)內(nèi)稟的關(guān)聯(lián)函數(shù)聯(lián)系起來,建立這一聯(lián)系的一個重要公式被稱為Kubo Formula.

我們結(jié)合上述動力學(xué)過程,拓展了線性響應(yīng)理論的內(nèi)容.例如,考慮耗散作為一種對物理系統(tǒng)的微擾,研究了物理系統(tǒng)對耗散過程的響應(yīng).因為此前各類實驗中所施加的擾動都可以由厄米算符所描述,而描述耗散過程的是非厄米算符,所以我們將這種線性響應(yīng)稱為“非厄米線性響應(yīng)理論”[10].我們給出了推廣的Kubo Formula,發(fā)現(xiàn)這類線性響應(yīng)可以測量和此前不同的關(guān)聯(lián)函數(shù),特別是可以給出量子臨界態(tài)的“反常維度”[10].要在實驗上實現(xiàn)基于“非厄米線性響應(yīng)”的測量,就需要明確地控制耗散的形式和強度.如上所述,這正是冷原子體系中可以做到的.清華大學(xué)實驗組[11]在一維玻色原子氣體中檢驗了這一理論,并利用該方法首次測量出了該系統(tǒng)單體譜函數(shù)的“反常維度”(如圖2 所示).又如,在掃描系統(tǒng)參數(shù)的動力學(xué)過程中,因為有限的掃描速度會造成對絕熱過程的偏離,我們發(fā)現(xiàn)這種對絕熱過程的偏離也可看成一種線性響應(yīng),可以用來探測系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)效應(yīng).這種聯(lián)系也被清華大學(xué)實驗組[12]在光晶格體系中觀測到.這兩種新的線性響應(yīng)理論的共同特點,就是對量子多體系統(tǒng)是否有長壽命的準(zhǔn)粒子激發(fā)非常敏感.換句話說,如果一個系統(tǒng)不具有長壽命的準(zhǔn)粒子激發(fā),這兩種線性響應(yīng)就會給出明顯不同的信號.這成為這兩種新的基于動力學(xué)過程的線性響應(yīng)理論的重要特點.

圖2 (a)理論預(yù)言在一維玻色氣體中,加入耗散以后,粒子數(shù)的損失隨著時間增長,服從亞指數(shù)函數(shù)的形式,插圖是亞指數(shù)函數(shù)的指數(shù)隨著相互作用的變化,可以體現(xiàn)系統(tǒng)的“反常維度”[10];(b)清華實驗組測量的一維玻色氣體中,加入耗散以后粒子數(shù)的減少,滿足亞指數(shù)函數(shù)形式.不同曲線是不同的相互作用參數(shù),其給出的擬合指數(shù)是不一樣的,可以從中測得系統(tǒng)的“反常維度”及其隨相互作用的強度的變化[11]Fig.2.(a)Theoretical predication for one-dimensional Bose gas,the decay of particle number obeys a stretched exponential behavior when adding dissipation.The inset shows how the exponent of the stretched exponential function changes as the interaction parameter varies,revealing the anomalous dimension of the system[10].(b)The experimental results from the Tsinghua University group,the observed atom number obeys a stretched exponential form.Different curves correspond to different interaction parameters and the fitting yields different exponents,from which one can measure how the anomalous dimension changes as the interaction parameter varies [11].

例3規(guī)范理論中的量子熱化

規(guī)范理論是描述基本粒子相互作用的基石,而量子多體系統(tǒng)中演生出的規(guī)范理論,也成為描述眾多凝聚態(tài)強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的有力工具.近年來,冷原子系統(tǒng)也出現(xiàn)了呈現(xiàn)演生規(guī)范對稱性的物理系統(tǒng).一個系統(tǒng)是里德伯原子陣列.自從2017年哈佛大學(xué)[13]的實驗以來,國內(nèi)外有很多實驗組已經(jīng)或正在開展這方面的實驗.另一個是基于雙周期光晶格的玻色子模型.這方面最重要的實驗進展是2020年由中國科技大學(xué)實驗組[14]完成的.有趣的是,這兩個體系在一維時演生出來的都是U(1)格點規(guī)范理論,是相互等價的,其連續(xù)極限對應(yīng)Schwinger 模型[15].這個模型存在一個量子相變點,在這兩個系統(tǒng)的實驗中都已經(jīng)被觀測到[13,14].

另一方面,一個孤立的多體系統(tǒng)如何達到熱平衡一直是統(tǒng)計物理研究所關(guān)注的核心問題之一.量子多體系統(tǒng)如何達到熱平衡的基本假設(shè)是本征態(tài)熱化假說[1,2].而針對量子熱化的研究,一個重要的方向就是找出違反本征態(tài)熱化假說的例子,其中最為人們熟知的就是可積系統(tǒng)和多體局域化系統(tǒng)[1,2].而在規(guī)范模型中,由于規(guī)范對稱性對希爾伯特空間的約束,使得這些體系中量子多體態(tài)的熱化會表現(xiàn)出更為豐富的行為[3].我們的工作[16]指出,在這個格點規(guī)范模型中,量子熱化和量子相變是存在關(guān)聯(lián)的.量子熱化關(guān)注的一般是高能量激發(fā)態(tài)的性質(zhì),而量子相變是基態(tài)以及基態(tài)附近低能物理的性質(zhì),一般說來,這兩者沒有必然的聯(lián)系.而在這個模型中,這兩者之所以有關(guān)聯(lián),是因為它們都植根于該模型背后的規(guī)范結(jié)構(gòu).要在實驗上證實這一點,一方面需要精準(zhǔn)地制備和操控量子態(tài),并保證動力學(xué)演化過程中的局域規(guī)范對稱性;另一方面需要精確地測量基態(tài)和動力學(xué)演化過程中物理量的變化.中國科技大學(xué)實驗組在冷原子體系的實驗?zāi)芰偃瘟诉@兩方面的要求.最近,我們課題組和中國科技大學(xué)實驗組[17]合作的實驗工作就證實了量子熱化和量子相變相關(guān)性的理論預(yù)言 (如圖3 所示).

圖3 (a)理論預(yù)言在一維U(1)格點規(guī)范模型中,可觀測量對熱化的偏離和系統(tǒng)中物質(zhì)場質(zhì)量m 之間的關(guān)系,只有在m=0.655附近的相變點,才出現(xiàn)完全的熱化[16];(b)實驗結(jié)合有限尺度變換得到的平衡態(tài)相變點的位置[17];(c)實驗測量動力學(xué)過程中長時間物理量的值(數(shù)據(jù)點),和預(yù)期的熱化值(實線)的比較[17];(b)和(c)的對比驗證了完全熱化只在相變點附近發(fā)生Fig.3.(a)Theoretical prediction for one-dimensional U(1)lattice gauge theory,the deviation from thermalization and the mass of matter field are related,the system fully thermalizes only around m=0.655 at the phase transition point[16];(b)experimental determination of the phase transition point with the help of finite size scaling[17];(c)experimental measurement of long time saturation value (data points)of the physical observable,compared with the expected thermalization value (solid line)[17];the comparison between (b)and (c)show full thermalization takes place only around the quantum critical point.

從上述3 個例子中可以看到,基于冷原子的非平衡量子多體物理的研究,可以突破拓?fù)湮锢硌芯康囊延锌蚣?發(fā)展新的測量量子多體關(guān)聯(lián)的方法,豐富規(guī)范理論研究的內(nèi)涵.這些結(jié)論都事關(guān)量子多體系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論,而冷原子系統(tǒng)的實驗?zāi)芰κ惯@方面的理論能得到實驗的定量檢驗.這樣理論和實驗相結(jié)合的基礎(chǔ)研究可以極大地促進非平衡量子多體物理的發(fā)展.