真假辨析，發展學生核心素養

周志寬

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：通過數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.筆者下面以一道初中幾何命題的真假辨析為例，結合“一般觀念”，談談一線數學教師在教學中該如何貫徹新課程理念，在“三會”中發展學生數學核心素養.

1 問題呈現

滬科版數學教材八年級（上）第14章，在三角形全等判定方法的探究中，“SSA”即兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等是假命題，可以舉如下反例：

如圖1，在△ABC中，作BD=BA交AC于點D，但△ABC與△DBC不全等.

在什么情況下，兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形會全等呢？

已知在△ABC與△A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，試探究滿足什么條件△ABC與△A₁B₁C₁全等？

2 問題探究

探究1：若∠C=∠C₁=90°，△ABC與△A₁B₁C₁一定全等嗎？

方法一：通過平移，兩個三角形可拼成一個等腰三角形，可得一銳角相等，再運用“AAS”可證.說明這兩個三角形均為直角三角形時，它們一定全等.

證明：在平面內移動△ABC，使點B和點B₁、點C和點C₁重合，點A和點A₁在B₁C₁的兩側，如圖2.

由∠A₁C₁A=∠A₁C₁B₁+∠ACB=90°+90°=180°，可知A₁，C，A三點在同一條直線上.

又B₁A=B₁A₁，所以∠A=∠A₁.

方法二：根據勾股定理在直角三角形中由兩邊相等可證第三邊相等，再用“SSS”可證.

結論1：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（“HL”）.

探究2：若∠C=∠C₁＜90°，△ABC與△A₁B₁C₁全等嗎？

類似于圖1，同樣可構造不全等的兩個三角形作為反例，則△ABC與△A₁B₁C₁不一定全等.

探究3：若△ABC與△A₁B₁C₁均為銳角三角形，兩三角形一定全等嗎？

分析：如圖3，過點B，B₁分別作BD⊥CA于點D，B₁D₁⊥C₁A₁于點D₁，可證△BCD≌B₁C₁D₁，得BD=B₁D₁；再證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁，得∠A=∠A₁，可證△ABC≌△A₁B₁C₁.則兩三角形一定全等.

證明：過點B，B₁分別作BD⊥CA于點D，B₁D₁⊥C₁A₁于點D₁.則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°.

在△BDC與△B₁D₁C₁中，

∴△BDC≌B₁D₁C₁（AAS）.

∴BD=B₁D₁.

易證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁（HL）.

∴∠A=∠A₁.

在△ABC與△A₁B₁C₁中，

∴△ABC≌△A₁B₁C₁（AAS）.

結論2：兩邊及其中一邊的對角（對角是銳角）分別相等的兩個三角形不一定全等，但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個銳角三角形一定全等.

探究4：若△ABC與△A₁B₁C₁均為鈍角三角形，兩個三角形一定全等嗎？

不一定全等.反例：如圖4，△ABA₁中，∠ABA₁=90°，且BA=BA₁，延長AA₁至點C，連接BC.則△CBA與△C₁B₁A₁均為鈍角三角形.

探究5：若∠C=∠C₁＞90°，△ABC與△A₁B₁C₁一定全等嗎？

如圖5，過點B，B₁分別作BD⊥CA交AC的延長線于點D，B₁D₁⊥C₁A₁交A₁C₁的延長線于點D₁，可證△BCD≌B₁C₁D₁，得BD=B₁D₁.用“HL”再證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁，得∠A=∠A₁，即可證△ABC≌△A₁B₁C₁.

證明：過點B，B₁分別作BD⊥CA交AC的

延長線于點D，

B₁D₁⊥C₁A₁交A₁C₁的延長線

于點D₁，則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°.

∵∠ACB+∠BCD=180°，

∠A₁C₁B₁+∠B₁C₁D₁=180°，

∠ACB=∠A₁C₁B₁，

∴∠BCD=∠B₁C₁D₁.

易證△BCD≌△B₁C₁D₁.

∴BD=B₁D₁.

在Rt△ABD與Rt△A₁B₁D₁中，

∵AB=A₁B₁，

BD=B₁D₁，

∴Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁（HL）.

∴∠A=∠A₁.

在△ABC與△A₁B₁C₁中，

∵∠A=∠A₁，

∠ACB=∠A₁C₁B₁，

AB=A₁B₁，

∴△ABC≌△A₁B₁C₁（AAS）.

結論3：兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個鈍角三角形不一定全等，但對角是鈍角時，對應的兩個三角形一定全等.

3 延伸應用

在△ABC中，過∠BAC角平分線上任意一點P，分別作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若BE=CF，試判斷AB一定等于AC嗎？并說明理由.

分析：解決該問題的關鍵是畫圖.需考慮點E，F在AB，AC上的位置及點P與△ABC的位置關系.借助幾何畫板探究，當點E，F同時在AB，AC上或同時在其延長線上，AB一定等于AC.如圖6，其中點P位于BC上（左一），通過兩次證全等即可，此種情況最特殊，證明最簡單；后三種情況連接PB，PC可以轉化，同理可證.

當點E，F不同時在AB，AC上或不同時在其延長線上，AB一定不等于AC，如圖7.

綜上，AB不一定不等于AC.

4 研究感悟

4.1 會用數學的眼光觀察現實世界

由探究可知，“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題；若對角是直角或鈍角，則兩個三角形一定全等，若對角是銳角則不一定全等；若在直角三角形或銳角三角形中，則兩個三角形一定全等，若在鈍角三角形中則不一定全等.這幾個命題，真真假假，教學中只有讓學生親身體驗，經歷分析和比較的過程，感悟共性，分辨差異，才能看清問題的本質，形成合適的類，通過幾何直觀提升抽象能力，會用數學的眼光觀察現實世界.

4.2 會用數學的思維思考現實世界

在解決問題的過程中，真命題的證明都運用了“一般觀念”中分類、轉化、由特殊到一般的數學思想，充分利用已有元素探究兩個三角形中其他元素是否唯一確定.以上問題情境充分運用“一般觀念”引導學生經歷幾何命題發現、猜想、證明的過程，感悟歸納推理和演繹推理的傳遞性，會用數學的思維思考現實世界.

4.3 會用數學的語言表達現實世界

從問題呈現、猜想、證明、歸納體現出研究數學問題的基本套路.對于兩個假命題，均舉反例說明；對于真命題，運用演繹推理予以嚴密論證，體現了嚴謹的科學精神.通過引導學生經歷針對圖形性質、關系、變化確立幾何命題的過程，體會數學命題中條件和結論的表述，會借助圖形分析條件與結論之間的邏輯聯系，感悟數學表達的準確性和嚴謹性，發展模型觀念，會用數學的語言表達現實世界.

中國科學院院士張景中在《走進教育數學》中指出，數學教育工作者應致力于“把數學解題變容易”的研究.因此，盡可能在教學中尋求更通用、更有力的解題方法，以“一般觀念”引領，借助現代信息技術，為學生提供有章可循的解決問題的途徑，“把數學變容易”，真正實現減負增效.