“四維四步”：基于思維可視化的小學計算深度學習范式

【作者簡介】張慧，一級教師，中山市優秀教師，中山市東區學科帶頭人，主要研究方向為小學計算教學。

【基金項目】中山市教育科研2020年度青年項目立項課題“基于思維可視化的小學計算深度學習研究”（C2020014）

【課堂聚焦·課堂新探】

【摘 要】計算是小學數學重要的學習內容，比較抽象。在小學計算學習中，教師要借助思維可視化手段，將抽象的計算表象化，使計算學習過程外顯。“四維四步”是計算深度學習的思維可視化模型，包含了計算學習算、析、辨、結四個過程和動作可視化、圖像可視化、語言可視化、符號可視化四種策略。四個維度的思維可視化策略對應計算學習的四個過程，但不一一對應。教師可以利用四維思維可視化策略在計算學習過程中的整體性、階段性和交融性等特征，幫助學生達到計算深度學習。

【關鍵詞】“四維四步”；思維可視化；小學計算；數與運算

計算內容占據小學數學學習內容的大部分，是小學數學學習的重要內容，比較抽象。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022版）》）多次提及數與運算的一致性，旨在將小學計算知識結構化，這也是計算深度學習的最高層次。然而計算學習的過程較為抽象，學生大多以計算結果正誤的形式體現計算學習的效果，而不能體現計算過程，更不能將抽象的計算思維呈現、梳理和闡明。因此，計算的學習過程需要可視化的手段來體現，從而幫助學生達到計算深度學習。

一、小學計算深度學習與思維可視化

馬云鵬等指出，深度學習過程著眼于學生對所學內容的整體理解，促進學生的知識建構和方法遷移，并有助于學生高級思維的發展，讓學生在解決問題的過程中提高核心素養。［1］計算深度學習是指學生在計數單位累加和減少的這一核心知識主線引領下能夠總結算法，通透算理，理解計算的本質，建立計算知識的結構體系，從而形成以計數單位為核心的計算大觀念。計算深度學習重在學生主動參與學習活動、明理悟法和構建以計數單位為知識主線的計算知識結構體系。小學生的思維發展是從形象思維逐步過渡到抽象思維的。而計算的深度學習是不可見的，憑借計算結果的正誤不能夠體現其計算思維層次。因此，要想讓學生更加清楚地理解和表征計算，教師需要引導學生借助不同的表征方式，將計算學習的過程外顯，使得計算學習過程化、可視化。

二、“四維四步”：計算深度學習的思維可視化模型建構

“四維四步”計算深度學習的思維可視化模型以二維表格的形式呈現（見表1）。從學生的計算學習過程角度出發，思維可視化策略有動作可視化、圖像可視化、語言可視化和符號可視化四個維度。這四個維度不僅是學生計算思維的四種體現，也是計算思維的發展過程。動作、圖像可視化的階段中，學生的計算思維較為具體和直觀，而語言可視化將隱性的思考過程顯性化，最后在符號可視化中完成計算思維的抽象過程。計算學習過程可以分為四個步驟：算——遷移舊知探究新知；析——幾何直觀解析算理；辨——正誤對比鞏固模型；結——構建知識結構體系。算是學生獨立遷移舊知嘗試計算，初步探索計算的過程；析是學生借助幾何直觀深入解析算理，將分解的計算過程與幾何直觀一一對應的過程；辨是對比與化錯的過程，教師借助學生在計算學習中出現的錯誤引發問題，讓學生在逐步化錯中進一步明理悟法；結是對于新知學習過程的總結，是引導學生從理性層面總結算理算法，構建計算知識結構體系的過程。

由表1可知，思維可視化策略與計算學習過程對應起來，但并不是每一種可視化的策略都能適合計算學習的每一步。算的過程較為抽象，是符號可視化。析的過程一定要具體，可以借助動作、圖像和語言可視化中的一種或幾種。辨的過程需要借助語言講清道理，讓辨析的過程得以外顯。結要以計算模型、算法總結、計算知識結構體系等形式呈現，屬于符號可視化，抽象程度較高。

三、計算思維可視化的四維策略分類

在考慮了思維可視化類別后，教師可以借助思維可視化的手段，通過直觀操作、借助圖示和數學語言描述等方式，讓學生經歷從直觀到抽象，借助動作、圖像、語言等形式表達算理的過程，進而感悟數與運算的一致性（如圖1）。

1.動作可視化

皮亞杰認為，認識起源于動作，認識是從動作開始的，動作在兒童的智力和認知發展中起著重要的作用。［2］肢體動作是兒童最初學習計算的輔助手段，幼兒園甚至剛進入小學的學生喜歡通過數手指來計算加減法，其實是將抽象的計算轉化為肢體動作來解答。如學生在最初計算5+4時，會先伸出5根手指，再伸出4根手指，通過數數得出5+4=9。在此過程中，學生借助數手指將抽象的計算加法的過程外顯，借助肢體動作將最基礎的數學內容與最原始的計數方法相結合。動作可視化的過程在小學階段主要集中于一、二年級，其能夠幫助學生突破最基礎的10以內加減法或5以內的乘法等內容，是學生數感形成的必經之路。

2.圖像可視化

皮亞杰將人的認知發展分為四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。大部分小學生的思維處于具體運算階段，這個階段的學生在物體之上進行運算，也就是要借助一些具體的實物、圖示、結構化的學具等進行運算。圖像可視化是小學階段計算學習最常用的方法，從小學一年級的5以內加法開始就一直伴隨著學生。因此，在小學計算的學習中，圖像可視化是一個十分重要的手段。借助具體的圖像，學生將抽象的計算過程與直觀的表象相結合，實現數形結合。在數形結合的計算學習中，抽象的數與直觀的圖具有一致性，抽象的數能夠讓圖像所表示的計算過程更簡潔，豐富的圖像能夠讓抽象的數更加具體、可視。

3.語言可視化

在小學計算學習過程中，學生不僅要會算，會借助動作或圖像來表征計算，還要能夠描述計算的過程，用數學語言解析算理、概括算法。語言可視化是指對計算過程進行描述、分析、比較、推理和概括，即學生在學習計算的過程中，要借助語言將計算過程、分析算理、比較方法、數學推理和算法概括等過程描述出來，使思維過程得以外顯。對于小學生來說，用數學語言表達比較困難，需要經過長期的訓練。學生在訓練中逐步養成用數學語言表達和交流計算的習慣，從而提升用數學語言表達數學思考過程的能力。

4.符號可視化

按照布魯納的表征理論，數學對象的第三個表征階段是符號性表征。［3］數學符號是數學的語言，它能夠將數學學習與思考的過程描述出來。在小學計算學習中，符號可視化主要體現為計算的橫式模型建構、豎式模型建構和數與運算的一致性表達。符號可視化較為抽象，大多是對于計算原理、方法、規律的描述。在符號可視化的過程中，學生在橫式與豎式模型建構過程中，借助計數單位這一數學符號對計算過程進行說理，感悟數是對于具體數量的抽象，從而體驗數學符號的簡潔性。

四、四維思維可視化策略的特點

基于數與運算一致性的小學計算思維可視化策略是一個整體，其中動作、圖像和語言的發展隨著學生年級的升高，使用頻率有所變化，而符號可視化的思維層次較高。動作可視化、圖像可視化和語言可視化能使抽象的計算思維具體化，讓學生借助肢體動作、圖像和語言等方式來表征計算，使得計算過程清晰呈現，抽象的算理外顯。符號可視化的過程是借助計數單位來將具體的可視化過程進一步數學化。學生借助計數單位這一數學符號深入計算的本質，感悟計算與計數單位的個數的聯系。在計算教學的過程中，教師要打破原有的著重教算法的常規教學觀念，從計算思維可視化的角度重構學生課堂學習策略，讓學生在課堂中經歷遷移舊知探究計算，借助幾何直觀分析算理，對比正誤計算方法鞏固模型和構建知識結構體系的學習過程。

1.整體性

基于一致性的小學計算思維可視化策略具有整體性。在計算學習過程中，語言可視化通常用來描述動作可視化和圖像可視化的過程，將實踐過程表述出來。符號可視化是對動作可視化、圖像可視化和語言可視化進行抽象。此外，小學計算思維可視化策略的整體性還體現為小學一年級至六年級的計算學習都離不開這四種方法，它們與整體的計算相關聯，貫穿于小學計算學習的全過程。在計算學習中，教師需要引導學生用可視化的手段將抽象的計算具體化，幫助學生理解計算的算理、算法和本質。

2.階段性

《課標（2022版）》指出，核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。［4］《課標（2022版）》將小學數學學習分為三個學段，一、二年級為第一學段，三、四年級為第二學段，五、六年級為第三學段。隨著年齡的增加，學段的升高，學生的知識儲備、抽象能力、理解能力、計算能力都有所提升。因此，對于第一學段的學生來說，動作可視化過程尤其重要，學生需要親身感知和參與計算的全過程。第二學段的學生普遍借助圖像可視化來分析計算，借助圖像呈現計算步驟，從而提升總結。第三學段的學生的抽象能力較強，學生在感悟出計算的本質后可以脫離幾何直觀，借助計數單位來描述計算，發展符號化能力。

3.交融性

四維思維可視化策略的使用具有交融性。雖然動作可視化、圖像可視化、語言可視化和符號可視化都指向計算的本質，但這四種可視化路徑不是順向而行，而是反復交融的。學生可以借助語言可視化描述圖像可視化的過程，也可以在語言可視化中逐漸歸納、形成符號可視化。如此，通過多種表征來促進對計算的深度理解。此外，算、析、辨、結的過程也不是按順序進行的。在課堂學習中，學生可以先進行計算嘗試，再進行算理分析，也可以先進行算理分析，再進行計算嘗試。

五、小學計算深度學習的四步模型

算、析、辨、結是小學計算學習的基礎環節，這四個環節在學習活動中的安排沒有固定的順序。學生可以根據不同的內容，反復調用四個環節來學習新內容（如圖2）。

1.算——遷移舊知探究新知

算是符號可視化的過程，貫穿于每一節計算課。原有教學模式中，教師一般引入新課后就借助模型引導學生應用學具操作推導計算方法。這種方式其實沒有關注到學生原有學習經驗，學生沒辦法主動進行知識遷移。實際上，在每一個計算新知識學習前，學生都有一定的知識與經驗基礎，這些經驗能夠給學生的計算學習帶來正遷移或負遷移。教師可以直接或進行改組后幫助學生進行新知識學習，使他們更快地接受新知。如在學習“表內乘法”前，學生已經有了相同加數連加的學習經驗，教師可以引導學生理解乘法是加法的簡便運算，促進學生對乘法意義的建構；在學習“除法豎式”前，學生已經學習了加法、減法和乘法的豎式計算，但除法豎式與前面的學習不同，教師應引導學生建構除法豎式模型，幫助學生進一步鞏固和區分除法豎式。初步探索算的過程就是遷移舊知、構建新知的過程，這里的遷移不僅是算法的套用，更是對新算理的推理。

2.析——幾何直觀解析算理

析是借助動作可視化、圖像可視化與語言可視化來解釋符號可視化的過程。以往的計算學習中，學生只學習算的方法，忽視了說理，更沒有結合幾何直觀等手段來說理。目前的小學計算學習，學生應將算法與算理的學習相結合，借助算理來明晰算法，實現以理馭法。分析計算過程是學生說算理的重要環節，教師可以引導學生從計數單位、四則運算的意義、運算之間的關系等角度來理解計算。如在“兩位數乘兩位數”的學習中，學生可以借助點子圖、格子圖來分析乘法豎式中的幾個一、幾個十和幾個百；在“小數加減法”的學習中，教師可以借助“米、分米、厘米”或“元、角、分”等設置生活情境，引導學生理解相同單位上的數相加減的道理。借助幾何直觀，學生更容易描述計算，形成計算思維的語言可視化。

3.辨——正誤對比鞏固模型

辨的過程要借助語言可視化，比較抽象，一般需要正誤方法的對比分析。由于抽象程度較高，學生對于模型的建構普遍比較困難，通常都是記住模型，而不理解每一步計算的具體含義，因此會出現學過一段時間后就忘記怎樣計算的情況。深度學習不是死記硬背，而是透析知識本質的學習。因此，學生可以在辨析中深入分析計算算理與算法，以理馭法，讓模型的建構更加牢固。如在教學“小數位數不同的小數加減法”中，教師可以出示末尾對齊的豎式與小數點對齊的豎式，讓學生在辨析中說理，使學生明白不同的計數單位不能相加減。如此，在正誤對比中，學生可以將簡單的計算過程進行深入說理。辨的過程分布于計算學習的全過程，學生可以在初次計算后通過對比發現不同，也可以在說理過程中逐漸對錯誤方法進行調整，還可以在建構正確模型后再與錯誤方法做對比，鞏固模型建構。

4.結——構建知識結構體系

數學學習本質上是一個從具體到抽象的過程。在小學階段，學生經歷了從借助具體的動作、實物、幾何直觀等來描述計算，到借助抽象的計數單位來計算的過程。因此，每節課中，學生都要對計算知識體系進行總結與延伸。對于小學階段的“數與運算”主題，學生需要在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。如在小數除法復習課中，學生要借助計數單位來分析小數除法的通法、通理，并勾連整數除法，建構統一豎式模型進行說理。雖然分數除法與小數除法、整數除法的外在形式不同，但學生在學習的過程中也要從計數單位（分數單位）的角度出發，理解分數除法也是分數單位的細分，與整數除法、小數除法的道理一樣，從而建構除法計算的知識結構體系。小學計算教學中，教師要以計數單位為抓手總結計算，讓學生感悟數與運算的一致性，理解所有計算實際都是計算計數單位的個數，從而感悟不同計算的一致性。

一致性的小學計算學習指向計算本質的滲透，計算思維可視化能夠促進學生對計算本質的理解，為學生剖析算理、感悟計算的本質提供腳手架。因此，在教學中，教師要轉變原有教學觀念，合理運用思維可視化策略，將抽象的計算思維過程具體化、顯性化，促使學生在可視化手段下提升數學核心素養，發展數學關鍵能力。

參考文獻：

［1］馬云鵬. 深度學習：走向核心素養（學科教學指南·小學數學）［M］. 北京：教育科學出版社，2019.

［2］皮亞杰. 皮亞杰教育論著選［M］. 盧濬，選譯. 2版. 北京：人民教育出版社，2015.

［3］義務教育數學課程標準修訂組. 義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯：羅小熒）