多態不確定環境下醫藥供應鏈的選址
——路徑模型及最優決策

馮燕茹，林尤武

（1.晉中信息學院，山西 晉中 030800；2.桂林電子科技大學，廣西 桂林 541004）

0 引言

藥品與人們的生命和健康息息相關，醫藥供應鏈中任何短暫的中斷都可能導致嚴重的后果［1］。近年來，隨著COVID-19、埃博拉、SARS和禽流感等幾種致命疾病/病毒的流行，特別是新冠疫情爆發以來，醫藥供應鏈面臨諸多挑戰，如庫存管理、需求信息不確定、庫存短缺以及過期藥品處置等。Zeinab Sazvar［2］綜合考慮了品牌競爭、客戶需求以及過期藥品多樣化的逆向流動，設計了以利潤和社會影響最大、環境影響最小為目標的可持續閉環醫藥供應鏈網絡，提出了混合啟發式算法求解模型。Delfani［3］為完善不確定條件下的醫藥供應鏈網絡，提出了一個新的選址-分配-庫存模型，同時開發了魯棒模糊優化方法用于控制不確定參數對模型的影響。Carlos Francov［4］主要研究了隨機環境下的醫藥供應鏈網絡設計問題，建立了兩個混合整數規劃模型。第一個模型的最優決策使醫院的藥物供應成本和管理成本大幅降低，第二個模型旨在最大限度減少過期藥物的數量。Zandkarimkhani［5］對易腐藥品供應鏈網絡進行了綜合研究，他們以盡量減少需求短缺數量、降低網絡成本為目標，在設施選址、車輛路徑和庫存管理方面為決策者提供了最優方案。

目前國內外關于醫藥供應鏈的研究中，多數文獻或者是單純研究確定性環境下的醫藥供應鏈問題，或者是單一不確定環境（如隨機環境［4-6］或模糊環境［7-13］）下該問題的解決方法，很少有關于多態不確定環境下醫藥供應鏈問題的研究成果。因此，本文主要研究一類醫藥供應鏈網絡設計問題的優化模型，其中需求點的需求量為模糊參數，生產商的生產能力為隨機參數，以總成本和短缺數量最小為優化目標建立多態不確定性優化模型?；谀：赡芏群蜋C會約束規劃方法，推導原模型的確定型等價式，并據此設計尋求滿意醫藥供應鏈方案的交互式算法。

1 數學模型

1.1 問題描述

本文首先以文獻［5］描述的模糊環境下醫藥供應鏈網絡設計問題為參考，結合實際情況合理假設模型參數的不確定性形態，重新建立同時含有模糊參數和隨機參數的多目標優化模型。所研究的問題描述如下：現需要設計一個多產品、多周期的三層醫藥供應鏈網絡；該網絡包括生產商、配送中心和需求點（藥店）；生產商和需求點的位置是預先確定的，但配送中心有多個備選位置，最終位置由模型確定。網絡流向是生產商按照最優數量將藥品送至被選定配送中心，配送中心根據需求點需求量按照最優路徑配送藥品。由于可能面臨因需求增加而導致的短缺，因此在需求點設有倉庫，以便為后續時段存儲藥品。假設每個需求點的需求量都是梯形模糊數，每個生產商的生產能力都是隨機的，且服從正態分布。

1.2 符號說明

（1）集合

m∈{1,…,M}：生產商的集合。

d∈{1,…,D}：配送中心的集合。

i∈{1,…,I}：產品的集合。

c∈{1,…,C}：需求點的集合。

v∈{1,…,V}：車輛的集合。

t∈{1,…,T}：時間段集合。

（2）參數

Pidt：t時段配送中心d對第i種產品的配送能力。

Pv：車輛v的承載量。

Scc′：需求點c和c′之間的距離。

Sdc：配送中心d和需求點c之間的距離。

Fd：開設配送中心d的固定成本。

Fv：購買車輛v的固定成本。

Zit：t時段產品i的單位儲存成本。

hit：t時段對產品i的單位短缺成本。

ξv：v型車輛單位距離的燃料消耗量。

Zimt：t時段從生產商m購買產品i的單位成本。

Qmt：t時段向生產商m訂貨的成本。

Lc：需求點c的時間窗口的下界。

Uc：需求點c的時間窗口的上界（無罰金）。

f：在時間窗之外的時間到達的單位罰金。

?：燃料消耗單位成本。

B：充分大的數。

（3）決策變量

φd：0-1 變量，若開設配送中心d為1，否則為0。

φv：0-1變量，若購買車輛v為1，否則為0。

ηvct：車輛v在t時段到達需求點c的時間。

δict：t時段內需求點c儲存產品i的數量。

ξict：t時段內需求點c產品i的缺貨量。

βict：庫存量（輔助變量）。

qvct：t時段車輛v到達需求點C在懲罰時間窗中的時間數量。

1.3 模型的構建

本文擬考慮兩個目標函數。一個目標是最小化總成本，總成本包括車輛燃料消耗成本、運輸成本、車輛采購成本、需求點的存儲成本、采購成本、訂貨成本、配送中心的建設成本、藥品短缺成本、違反時間窗口的罰款成本。即

第二個目標是最小化藥品短缺數量。即

約束條件：

式（3）表示藥品采購總量不超出生產商的生產能力，式（4）表示藥品配送總量不能超出配送中心的配送能力，式（5）表示車輛實際載重量不得超過其承載量。

式（6）表示每個時間段配送中心的配送總量不超過其采購總量。

式（7）和式（8）則表示車輛有且只能歸屬于一個配送中心。

式（9）表示每個時間段內同一輛車不能重復訪問同一個需求點，但同一個需求點可以由多輛車同時訪問。式（10）表示車輛訪問需求點后必須離開。

式（11）用于消除車輛路徑問題的子回路，式（12）用于計算車輛到達需求點時間的約束，式（13）和式（14）分別是軟時間窗約束和硬時間窗約束，式（15）和式（16）表示將藥品配送至需求點的先決條件是購買車輛和車輛訪問需求點，式（17）和式（18）顯示的是各個時間段的存貨余額，式（19）體現了每個需求點庫存水平和缺貨量之間的關系。

式（20）和式（21）表示建立配送中心是將藥品從生產商運送至需求點的前提條件，式（22）表示必須把車輛分配至建立的配送中心。

2 模型求解

本節提出將不確定環境下的多目標非線性規劃問題轉化為一個等效的單目標確定性線性模型的方法。首先將模型線性化，其次利用機會約束法處理隨機約束，基于模糊可能度處理模糊約束，從而將模型轉化為確定性優化問題，最后利用TH 模糊規劃法將多目標轉化為相應的確定性單目標線性模型。

2.1 模型的線性化

2.2 基于機會約束方法處理隨機約束

其中x∈Rc是決策向量，ɑ∈Rc是給定的系數向量，b是隨機變量，其概率分布函數表示為Fb(·) 。

先敘述隨機變量概率分布函數的定義。

定義1設X是隨機變量，x為任意實數，函數F(x)=Pr(X≤x)稱為X的分布函數，記為FX(·) 。

利用機會約束規劃方法可以將含有隨機變量的約束轉化為確定性約束［14］，可得結論1［15］，根據結論1推導出隨機約束的確定型等價式，即結論2。

結論1給定置信水平1-α(α∈[0,1])，式（28）等價于不等式Pr(ɑT x≤b) ≥1-α。

結論2給定置信水平1-α(α∈[0,1])，式（28）等價于不等式ɑT x≤(α)。

證明 根據結論1，有Pr(ɑT x≤b) ≥1-α。又根據概率的性質，Pr(ɑT x≥b)≤α。

由定義1，知F(ɑT x)=Pr(b≤ɑT x)≤α，即F(ɑT x)≤α?；喓蟮玫降葍r不等式ɑT x≤(α)。

根據結論2，隨機約束（3）轉化為如下確定性約束：

其中α∈[0,1] 。

2.3 基于模糊可能度處理模糊約束

據上所述，模糊約束（17）和（18）轉化為如下確定性約束：

其中，0.5 ≤α1≤1。

2.4 TH模糊規劃法

多目標優化問題的求解方法主要有三大類：先驗、后驗和交互式方法。其中交互式模糊求解方法使決策者能夠根據滿意程度和每個目標函數的優先級選擇最佳解決方案。Torabi 和Hassini［16］結合LH 和MW 算法提出了一種新的交互式算法，稱為TH 法。此方法可以根據決策者的偏好獲得有效的解決方案。本節將用此方法求解轉化后的確定性多目標線性規劃模型，即目標函數是式（2）和式（23），約束條件為式（4）～（16）、（19）、（20）～（22）、（24）～（27）、（29）～（31）。具體步驟如下：

步驟2：根據下式計算每個目標函數的隸屬函數；

步驟3：根據步驟1和2將多目標規劃模型轉化為如下單目標規劃模型：

其中，F(x)是多目標規劃模型的可行域，μh(x)是第h個目標函數的滿意度，λ0是目標函數的最低滿意度，θh是基于決策者的偏好為目標函數設置的權重，γ為補償系數，用以控制目標函數的最低滿意度水平。

步驟4：由決策者確定γ和θh的取值，求解步驟3中的單目標規劃模型。若決策者對所得到的方案滿意，則停止；否則，決策者改變γ和θh的取值，回到步驟3中的模型繼續求解。

3 算例分析

3.1 算例描述

以山西省醫藥供應鏈為例展開分析，旨在設計總成本最低、短缺量最少的醫藥供應鏈網絡。假設該供應鏈網絡中只有2 個生產商，分別是宜昌東陽光長江藥業（m=1）、廣州一品紅制藥（m=2），3個備選配送中心（1 代表長治，2 代表運城，3 代表太原），4 個需求點（1 代表陽泉，2 代表晉中，3 代表臨汾，4 代表大同）?？紤]兩種產品布洛芬緩釋膠囊0.3 g*24 粒（i=1）、磷酸奧司他韋膠囊75 mg*10 粒（i=2）在2 個時間段的配送問題。主要參數見表1-表4。距離和時間參數由百度地圖查詢可得，不再列出。其余參數取值分別為α=0.05，α1=0.6，θ1=0.5，θ2=0.5，γ=0.5。

表1 每個需求點的產品需求數量

表2 生產商、配送中心和車輛能力參數

表3 生產商和配送中心之間的運輸成本

表4 其他參數

圖1 備選配送中心與需求點位置

3.2 結果與分析

使用lingo11.0 求解可得最優解，結果顯示配送中心選址是長治，從廣州一品紅制藥廠采購藥品，選擇第3類型車輛作為運輸工具。每個階段車輛運送藥品數量和最優車輛路徑分別見表5和表6，供應鏈成本構成見表7。

表5 每個階段車輛運送藥品的數量

表6 每個階段車輛路徑

表7 供應鏈網絡成本結構

表7 結果說明，采購成本是供應鏈總成本的重要組成部分，不合理的采購計劃一方面可能造成浪費，另一方面可能增加藥品短缺的風險，導致人的生命健康受到威脅。因此按照模型計算的最優采購數量制定采購計劃不僅可以降低供應鏈網絡總成本，而且有助于實現最優需求管理。

供應鏈成本構成顯示儲存成本為0，短缺成本為8500，說明需求點儲存藥品的成本高于藥品短缺成本，需求點偏向于按預期需求進貨。若偏向于人道主義使命，可以設計短缺成本為0的供應鏈網絡，弊端是造成供應鏈總成本增加，該模型可以計算額外增加的成本，使決策者在供應鏈成本控制和滿足人民群眾用藥需求之間尋求平衡，統籌兼顧。

本文設計的TH模糊規劃方法通過改變γ的值得到不同的解決方案。一個低的γ值意味著該模型試圖找到一個使其權重最大的目標取得更高滿意度的解決方案，而不注重整體滿意度（目標函數的最低滿意度），而更高的γ值表示決策者更注重提高整體滿意度。案例中γ取值為0.5，各個目標函數的權重同為0.5，說明決策者認為每個目標函數的滿意度水平和整體滿意度水平同等重要。因此，此方法能夠根據決策者的偏好靈活地提供不同解決方案供其選擇，獲得最優策略。

4 結語

本文提出的模型和求解算法可以解決更接近現實情況的多態不確定環境下醫藥供應鏈選址-分配-路徑問題，并具有高度的靈活性，使決策者根據偏好獲取最優解決方案。然而，本研究還有很大的改進空間。在下一步的研究中，還可以全面考慮藥品折扣、品牌效應、過期藥品處理等，使得研究更接近現實生活。此外，求解模型可以設計魯棒或分布魯棒優化算法，使得模型解兼具可行性和魯棒性。