利用多元表征引領(lǐng)學(xué)生體悟計(jì)算的一致性

顧銘杰

【摘 要】蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”一課中并未充分體現(xiàn)基于“計(jì)數(shù)單位”的“數(shù)的運(yùn)算”一致性。因此，在進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要加入“計(jì)數(shù)單位”的感知與理解，避免知識之間的支離破碎。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)乘小數(shù) 多元表征 計(jì)數(shù)單位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在“數(shù)與運(yùn)算”中要體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識。蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”一課，對于小數(shù)乘小數(shù)的算法更多的是基于積的變化規(guī)律進(jìn)行合情推理，缺少了一些演繹推理的過程與思考。學(xué)生在此過程中能夠體悟到小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，但在將來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法并感受數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性時(shí)尚且缺少足夠的知識積累。因此，在本課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師加入了一些對于“計(jì)數(shù)單位”的認(rèn)識與感知，以便將來為學(xué)生溝通整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)計(jì)算的一致性奠定基礎(chǔ)。教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

一、課前預(yù)學(xué)，精準(zhǔn)把握學(xué)情

課前學(xué)生自主嘗試完成預(yù)學(xué)題：

圖1是小明房間的平面圖。你能算出他的房間面積是多少平方米嗎？

我的算式：

我的計(jì)算方法：

對照預(yù)學(xué)題的完成情況，與組內(nèi)同學(xué)交流，說一說自己在解決這個(gè)問題的過程中是如何思考的。

【思考】數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系是緊密的，預(yù)學(xué)可以讓學(xué)生自主建構(gòu)此聯(lián)系。小數(shù)乘小數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)是整數(shù)乘整數(shù)，在本單元學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已在一定程度上體會并感知到了小數(shù)與整數(shù)計(jì)算之間的聯(lián)系，有了小數(shù)加減法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，有一些學(xué)生能在知識遷移中依托經(jīng)驗(yàn)和感受完成小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算。預(yù)學(xué)題的反饋可以幫助教師把握學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)。

二、多元表征，深入理解算理

根據(jù)學(xué)生的預(yù)學(xué)內(nèi)容，挑選合適的教學(xué)素材進(jìn)行展示（如圖2、圖3、圖4、圖5）：

以上是一些學(xué)生完成的預(yù)學(xué)單，觀察、對比后，對于這些不同的得數(shù)，你有什么想說的呢？

【思考】通過4份不同練習(xí)的對比，可以培養(yǎng)學(xué)生用審視的眼光看待問題，在此過程中，學(xué)生也可以體會到同樣的問題甚至同一個(gè)算式可以用不同的方法求解。

預(yù)設(shè)一：根據(jù)估算的情況，可以把3.8×2.8看成4×3，結(jié)果應(yīng)該比12小，所以算得的結(jié)果超過12的肯定算錯(cuò)了。

預(yù)設(shè)二：圖5中的答案雖然是錯(cuò)的，但思路是對的，可以把3.8米和2.8米分別轉(zhuǎn)化成38分米和28分米。最后的結(jié)果1064平方分米可以轉(zhuǎn)化成10.64平方米。

預(yù)設(shè)三：圖3中的做法有一定的道理，但沒有把得數(shù)加起來。

看來同學(xué)們都比較認(rèn)可圖4中的方法，誰也是這樣做的？說一說你們是怎么想的。

304是怎么來的？（是由8×38得到的。）

76呢？（是由38×2算出來的。）這個(gè)76表示的應(yīng)該是760。

這樣算出來的積是1064，為什么最后的積變成了10.64呢？

把3.8和2.8看成38和28時(shí)分別乘了10，算得的結(jié)果就乘了100，要得出3.8×2.8的結(jié)果，就要將1064除以100，所以是10.64。

為什么算得的積不是小數(shù)點(diǎn)對齊？

【思考】挑選部分學(xué)生說明自己的思考過程，讓另一部分對豎式還沒有足夠認(rèn)知的學(xué)生也能清晰地認(rèn)識到豎式這樣書寫的原因，特別是讓學(xué)生在此過程中體悟小數(shù)點(diǎn)不是以“小數(shù)點(diǎn)對齊”的原因。

我們再來看看圖3中的做法，有的同學(xué)提到了結(jié)果要加起來，但是這兩個(gè)數(shù)的結(jié)果相加也不是10.64，到底是怎么回事呢？我們一起結(jié)合圖6來看一下。

把3.8分割成3和0.8，把2.8分割成2和0.8，3×2在圖中什么位置，你能指出來嗎？0.8×0.8在圖中什么位置呢？觀察，3×2的結(jié)果加上0.8×0.8的結(jié)果就是3.8×2.8的結(jié)果嗎？

……

還有哪部分是這個(gè)同學(xué)未考慮到的？

3×0.8和2×0.8。把這部分一起加上，才是3.8×2.8的真正結(jié)果。

其實(shí)，剛才的豎式我們同樣可以用這幅圖來表示，想一想，3.8×0.8在圖中什么位置？3.8×2又在圖中的什么位置？

它們合起來的結(jié)果就是3.8×2.8的結(jié)果。

【思考】正如吳正憲、劉勁苓、劉克臣老師主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀》中“運(yùn)算能力”一節(jié)所描述的一樣，“運(yùn)用直觀模型來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理，在圖與式的勾連中，讓學(xué)生深入理解算理，體會兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質(zhì)：乘法意義和乘法分配律”。文章描寫的只是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，而這樣的思考方式同樣適用于小數(shù)乘小數(shù)。適用于整數(shù)乘法的點(diǎn)子圖在小數(shù)乘法中并不能得到完全體現(xiàn)，因此在設(shè)計(jì)中采用了長方形面積這一基本乘法模型。通過讓學(xué)生去指、說，把抽象的算理具體化、形象化，幫助學(xué)生建立起豎式和直觀圖之間的聯(lián)系，在“數(shù)形結(jié)合”的過程中，加深對知識的理解，同時(shí)彰顯出幾何直觀的好處，在潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生幾何直觀的意識。利用豎式、實(shí)際意義、圖示等多元的表征，引領(lǐng)學(xué)生對算理的認(rèn)識逐步走向深入。

圖6中只是把兩個(gè)小數(shù)按整數(shù)和小數(shù)的組成分了分，如果按照小數(shù)的組成來分呢？

3.8可以看作多少個(gè)0.1？（38個(gè)）2.8可以看作多少個(gè)0.1？（28個(gè)）按照這樣的分法會出現(xiàn)怎樣的情況呢？

38在哪里？28呢？這時(shí)總共有多少個(gè)小格子呢？（見圖7）

1064個(gè)小格子。這樣的一豎條或者一橫條是指0.1，這樣的小格子應(yīng)該有多少呢？

所以3.8×2.8的結(jié)果是1064個(gè)0.01。

再來看豎式。

觀察圖7，再看看上面的算式。想一想，3.8×2.8究竟是怎樣計(jì)算的？

3.8×2.8＝（38×0.1）×（2.8×0.1）＝（38×28）×（0.1×0.1）＝1064×0.01＝10.64。

學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時(shí)，計(jì)數(shù)單位都是1，通過畫圖的方式，我們發(fā)現(xiàn)0.1與0.1這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位相乘時(shí)，會產(chǎn)生更小的計(jì)數(shù)單位，就是0.01。

小數(shù)乘小數(shù)與整數(shù)乘法本質(zhì)是相通的，都是個(gè)數(shù)與個(gè)數(shù)相乘，計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘。不同的是，整數(shù)乘法的計(jì)數(shù)單位相乘后仍然是1，而小數(shù)乘小數(shù)時(shí)會產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位。

【思考】學(xué)生在經(jīng)歷了估算、單位換算、積的變化規(guī)律等過程后，對于小數(shù)乘小數(shù)可以經(jīng)由整數(shù)乘整數(shù)的方法進(jìn)行合情推理，對結(jié)果也有了一定的認(rèn)知判斷，再通過直觀感知小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算同樣是基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行的，以此建構(gòu)起小數(shù)乘法與整數(shù)乘法計(jì)算的一致性認(rèn)識。對于小數(shù)乘法中兩個(gè)計(jì)數(shù)單位相乘會產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位這一點(diǎn)，學(xué)生尚且缺乏分?jǐn)?shù)乘法的認(rèn)知基礎(chǔ)，有一定的認(rèn)知難度，通過圖形的細(xì)分，直觀感受到0.1被分成了更細(xì)小的計(jì)數(shù)單位。根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，五年級學(xué)生能夠認(rèn)識到新的計(jì)數(shù)單位是0.01。最后通過完整的演繹推理過程，將3.8×2.8的小數(shù)計(jì)算以更為科學(xué)的方式進(jìn)行完整體現(xiàn)，同時(shí)更好地體現(xiàn)了新課標(biāo)對數(shù)的運(yùn)算一致性的要求。

三、明確算理，完整構(gòu)建新知

通過圖形、豎式、估算等方式，我們得出了3.8×2.8的結(jié)果，如果再給一個(gè)小數(shù)乘小數(shù)，你還會算嗎？

試一試：4.15×3.5。

指名板演：說一說你是怎么做的。

剛才我們是把小數(shù)點(diǎn)對齊的，這一次還是小數(shù)點(diǎn)對齊嗎？

既然我們在計(jì)算小數(shù)乘小數(shù)時(shí)，是把它當(dāng)成整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算的，就應(yīng)該將末尾對齊。

觀察乘積的末尾，這個(gè)小數(shù)部分的數(shù)位和什么有關(guān)？

想一想，這個(gè)算式會產(chǎn)生什么新的計(jì)數(shù)單位呢？你能用這樣的橫式形式來表示它的計(jì)算過程嗎？

4.15×3.5＝（415×0.01）×（35×0.1）＝（415×35）× （0.01×0.1）＝14525×0.001＝14.525。

觀察這兩個(gè)小數(shù)乘小數(shù)的豎式計(jì)算，小數(shù)乘小數(shù)，應(yīng)該如何計(jì)算呢？

先把小數(shù)乘小數(shù)看作整數(shù)乘整數(shù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算完成后，看乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從乘得的積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

從右往左起數(shù)幾位，其實(shí)就是確定新的計(jì)數(shù)單位的過程。

出示8.7×0.9、72.9×0.04、16.5×1.5的豎式。猜一猜，小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該分別點(diǎn)在得數(shù)的哪里呢？這幾個(gè)算式新的計(jì)數(shù)單位分別是什么呢？

出示：0.64×7.5，2.05×3.6。先猜一猜得數(shù)有幾位小數(shù)，再算一算。

這幾個(gè)算式都是兩位小數(shù)乘一位小數(shù)，我們只能根據(jù)乘數(shù)中所有的小數(shù)位數(shù)去移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，而不能直接說是幾位小數(shù)，因?yàn)橐苿?dòng)小數(shù)點(diǎn)后，可能還有積末尾有0的情況。

剛才的說法里面還得補(bǔ)充一下：先把小數(shù)乘小數(shù)看作整數(shù)乘整數(shù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算完成后，看乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從乘得的積的右邊起向左數(shù)幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。如果積的末尾有0，再根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡。

【思考】在鞏固練習(xí)的環(huán)節(jié)，繼續(xù)讓學(xué)生嘗試著用橫式的方法去感知小數(shù)乘小數(shù)計(jì)算時(shí)新的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的過程，進(jìn)一步明晰算理。同時(shí)，在此過程中也給學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)、對小數(shù)乘法算理認(rèn)識不夠到位的學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)抓手：完整經(jīng)歷從初步認(rèn)識小數(shù)乘小數(shù)可以用整數(shù)乘整數(shù)的方法計(jì)算到積的小數(shù)點(diǎn)位置確定，再到化簡末尾的0的過程，建構(gòu)起小數(shù)乘小數(shù)的豎式模型，借由算法的認(rèn)識逐步向算理過渡。

通過今天的學(xué)習(xí)，你們對小數(shù)乘小數(shù)有了哪些認(rèn)識？誰來說一說？

四、拓展延伸，勾連知識聯(lián)系

出示：某超市里每千克奶糖16.8元。用10元買0.7千克奶糖，夠不夠？

對于這個(gè)問題，你想到了哪些解決辦法？你是怎么想的？根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系式，可以用不同的方法來解決問題。猜一猜，小數(shù)除法的計(jì)數(shù)單位又會有怎樣的變化呢？在后面的課堂我們再來研究。

【思考】聯(lián)系的觀點(diǎn)是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，通過這個(gè)問題，學(xué)生在回答出不同的方法后，思維的閘門也由此打開，學(xué)生在再一次感受一題多解的過程中，也借由數(shù)量關(guān)系感受到了除法是乘法的逆運(yùn)算，列出的算式盡管目前不是很好的方法，但這也為后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的除法做了鋪墊。

小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)更偏重于合情推理，但要使學(xué)習(xí)走向深度，更好培養(yǎng)學(xué)生的推理意識和推理能力，仍有必要進(jìn)行演繹推理的訓(xùn)練。小數(shù)乘小數(shù)的學(xué)習(xí)，可以通過演繹推理，讓學(xué)生更加明晰小數(shù)乘法的算理，便于學(xué)生在將來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)溝通運(yùn)算的一致性。