利用多元表征引領學生體悟計算的一致性

顧銘杰

【摘 要】蘇教版數學五年級上冊“小數乘小數”一課中并未充分體現基于“計數單位”的“數的運算”一致性。因此，在進行數的運算的教學設計中，需要加入“計數單位”的感知與理解，避免知識之間的支離破碎。

【關鍵詞】小數乘小數 多元表征 計數單位

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在“數與運算”中要體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。蘇教版數學五年級上冊“小數乘小數”一課，對于小數乘小數的算法更多的是基于積的變化規律進行合情推理，缺少了一些演繹推理的過程與思考。學生在此過程中能夠體悟到小數與整數的聯系，但在將來學習分數乘法并感受數的運算本質上的一致性時尚且缺少足夠的知識積累。因此，在本課教學設計時教師加入了一些對于“計數單位”的認識與感知，以便將來為學生溝通整數、分數和小數計算的一致性奠定基礎。教學設計如下。

一、課前預學，精準把握學情

課前學生自主嘗試完成預學題：

圖1是小明房間的平面圖。你能算出他的房間面積是多少平方米嗎？

我的算式：

我的計算方法：

對照預學題的完成情況，與組內同學交流，說一說自己在解決這個問題的過程中是如何思考的。

【思考】數學知識之間的聯系是緊密的，預學可以讓學生自主建構此聯系。小數乘小數的認知基礎是整數乘整數，在本單元學習過程中，學生已在一定程度上體會并感知到了小數與整數計算之間的聯系，有了小數加減法的學習基礎，有一些學生能在知識遷移中依托經驗和感受完成小數乘小數的計算。預學題的反饋可以幫助教師把握學生真實的認知起點。

二、多元表征，深入理解算理

根據學生的預學內容，挑選合適的教學素材進行展示（如圖2、圖3、圖4、圖5）：

以上是一些學生完成的預學單，觀察、對比后，對于這些不同的得數，你有什么想說的呢？

【思考】通過4份不同練習的對比，可以培養學生用審視的眼光看待問題，在此過程中，學生也可以體會到同樣的問題甚至同一個算式可以用不同的方法求解。

預設一：根據估算的情況，可以把3.8×2.8看成4×3，結果應該比12小，所以算得的結果超過12的肯定算錯了。

預設二：圖5中的答案雖然是錯的，但思路是對的，可以把3.8米和2.8米分別轉化成38分米和28分米。最后的結果1064平方分米可以轉化成10.64平方米。

預設三：圖3中的做法有一定的道理，但沒有把得數加起來。

看來同學們都比較認可圖4中的方法，誰也是這樣做的？說一說你們是怎么想的。

304是怎么來的？（是由8×38得到的。）

76呢？（是由38×2算出來的。）這個76表示的應該是760。

這樣算出來的積是1064，為什么最后的積變成了10.64呢？

把3.8和2.8看成38和28時分別乘了10，算得的結果就乘了100，要得出3.8×2.8的結果，就要將1064除以100，所以是10.64。

為什么算得的積不是小數點對齊？

【思考】挑選部分學生說明自己的思考過程，讓另一部分對豎式還沒有足夠認知的學生也能清晰地認識到豎式這樣書寫的原因，特別是讓學生在此過程中體悟小數點不是以“小數點對齊”的原因。

我們再來看看圖3中的做法，有的同學提到了結果要加起來，但是這兩個數的結果相加也不是10.64，到底是怎么回事呢？我們一起結合圖6來看一下。

把3.8分割成3和0.8，把2.8分割成2和0.8，3×2在圖中什么位置，你能指出來嗎？0.8×0.8在圖中什么位置呢？觀察，3×2的結果加上0.8×0.8的結果就是3.8×2.8的結果嗎？

……

還有哪部分是這個同學未考慮到的？

3×0.8和2×0.8。把這部分一起加上，才是3.8×2.8的真正結果。

其實，剛才的豎式我們同樣可以用這幅圖來表示，想一想，3.8×0.8在圖中什么位置？3.8×2又在圖中的什么位置？

它們合起來的結果就是3.8×2.8的結果。

【思考】正如吳正憲、劉勁苓、劉克臣老師主編的《小學數學教學基本概念解讀》中“運算能力”一節所描述的一樣，“運用直觀模型來理解兩位數乘兩位數算理，在圖與式的勾連中，讓學生深入理解算理，體會兩位數乘兩位數的本質：乘法意義和乘法分配律”。文章描寫的只是兩位數乘兩位數，而這樣的思考方式同樣適用于小數乘小數。適用于整數乘法的點子圖在小數乘法中并不能得到完全體現，因此在設計中采用了長方形面積這一基本乘法模型。通過讓學生去指、說，把抽象的算理具體化、形象化，幫助學生建立起豎式和直觀圖之間的聯系，在“數形結合”的過程中，加深對知識的理解，同時彰顯出幾何直觀的好處，在潛移默化中引導學生產生幾何直觀的意識。利用豎式、實際意義、圖示等多元的表征，引領學生對算理的認識逐步走向深入。

圖6中只是把兩個小數按整數和小數的組成分了分，如果按照小數的組成來分呢？

3.8可以看作多少個0.1？（38個）2.8可以看作多少個0.1？（28個）按照這樣的分法會出現怎樣的情況呢？

38在哪里？28呢？這時總共有多少個小格子呢？（見圖7）

1064個小格子。這樣的一豎條或者一橫條是指0.1，這樣的小格子應該有多少呢？

所以3.8×2.8的結果是1064個0.01。

再來看豎式。

觀察圖7，再看看上面的算式。想一想，3.8×2.8究竟是怎樣計算的？

3.8×2.8＝（38×0.1）×（2.8×0.1）＝（38×28）×（0.1×0.1）＝1064×0.01＝10.64。

學習整數乘法時，計數單位都是1，通過畫圖的方式，我們發現0.1與0.1這兩個計數單位相乘時，會產生更小的計數單位，就是0.01。

小數乘小數與整數乘法本質是相通的，都是個數與個數相乘，計數單位與計數單位相乘。不同的是，整數乘法的計數單位相乘后仍然是1，而小數乘小數時會產生新的計數單位。

【思考】學生在經歷了估算、單位換算、積的變化規律等過程后，對于小數乘小數可以經由整數乘整數的方法進行合情推理，對結果也有了一定的認知判斷，再通過直觀感知小數乘小數的計算同樣是基于計數單位進行的，以此建構起小數乘法與整數乘法計算的一致性認識。對于小數乘法中兩個計數單位相乘會產生新的計數單位這一點，學生尚且缺乏分數乘法的認知基礎，有一定的認知難度，通過圖形的細分，直觀感受到0.1被分成了更細小的計數單位。根據之前的學習經驗，五年級學生能夠認識到新的計數單位是0.01。最后通過完整的演繹推理過程，將3.8×2.8的小數計算以更為科學的方式進行完整體現，同時更好地體現了新課標對數的運算一致性的要求。

三、明確算理，完整構建新知

通過圖形、豎式、估算等方式，我們得出了3.8×2.8的結果，如果再給一個小數乘小數，你還會算嗎？

試一試：4.15×3.5。

指名板演：說一說你是怎么做的。

剛才我們是把小數點對齊的，這一次還是小數點對齊嗎？

既然我們在計算小數乘小數時，是把它當成整數乘法進行計算的，就應該將末尾對齊。

觀察乘積的末尾，這個小數部分的數位和什么有關？

想一想，這個算式會產生什么新的計數單位呢？你能用這樣的橫式形式來表示它的計算過程嗎？

4.15×3.5＝（415×0.01）×（35×0.1）＝（415×35）× （0.01×0.1）＝14525×0.001＝14.525。

觀察這兩個小數乘小數的豎式計算，小數乘小數，應該如何計算呢？

先把小數乘小數看作整數乘整數進行計算。計算完成后，看乘數中一共有幾位小數，就從乘得的積的右邊起數出幾位，點上小數點。

從右往左起數幾位，其實就是確定新的計數單位的過程。

出示8.7×0.9、72.9×0.04、16.5×1.5的豎式。猜一猜，小數點應該分別點在得數的哪里呢？這幾個算式新的計數單位分別是什么呢？

出示：0.64×7.5，2.05×3.6。先猜一猜得數有幾位小數，再算一算。

這幾個算式都是兩位小數乘一位小數，我們只能根據乘數中所有的小數位數去移動小數點，而不能直接說是幾位小數，因為移動小數點后，可能還有積末尾有0的情況。

剛才的說法里面還得補充一下：先把小數乘小數看作整數乘整數進行計算。計算完成后，看乘數中一共有幾位小數，就從乘得的積的右邊起向左數幾位，點上小數點。如果積的末尾有0，再根據小數的性質進行化簡。

【思考】在鞏固練習的環節，繼續讓學生嘗試著用橫式的方法去感知小數乘小數計算時新的計數單位產生的過程，進一步明晰算理。同時，在此過程中也給學習能力不強、對小數乘法算理認識不夠到位的學生提供恰當的學習抓手：完整經歷從初步認識小數乘小數可以用整數乘整數的方法計算到積的小數點位置確定，再到化簡末尾的0的過程，建構起小數乘小數的豎式模型，借由算法的認識逐步向算理過渡。

通過今天的學習，你們對小數乘小數有了哪些認識？誰來說一說？

四、拓展延伸，勾連知識聯系

出示：某超市里每千克奶糖16.8元。用10元買0.7千克奶糖，夠不夠？

對于這個問題，你想到了哪些解決辦法？你是怎么想的？根據不同的數量關系式，可以用不同的方法來解決問題。猜一猜，小數除法的計數單位又會有怎樣的變化呢？在后面的課堂我們再來研究。

【思考】聯系的觀點是深度學習的一個重要環節，通過這個問題，學生在回答出不同的方法后，思維的閘門也由此打開，學生在再一次感受一題多解的過程中，也借由數量關系感受到了除法是乘法的逆運算，列出的算式盡管目前不是很好的方法，但這也為后續學習小數的除法做了鋪墊。

小學生的認知特點更偏重于合情推理，但要使學習走向深度，更好培養學生的推理意識和推理能力，仍有必要進行演繹推理的訓練。小數乘小數的學習，可以通過演繹推理，讓學生更加明晰小數乘法的算理，便于學生在將來學習分數乘法時溝通運算的一致性。