把握知識聯系，提高課堂效率

曹曉瑞

在初中，學生已經學習了圓的相關概念、與圓有關的位置關系及圓中的計算問題等知識，但當時并沒有對相關定理進行嚴格的證明，學生缺乏對知識過程的理解，更不能很好的領悟知識產生的背景及發生發展過程。為此，人教A版高中數學選修系列4-1將“幾何證明選講”單列作為一個專題進行研究，其中就包括圓的相關知識的研究學習，可見其重要性。

進入高中，學生的思維水平和理解能力有了很大的提升，因次，有必要通過這部分知識的學習將我們在初中階段沒有深入弄明白的問題和不知道來龍去脈的問題加以解決，進一步提升自己提出問題和解決問題的能力。

參照新課標大綱，筆者認為人教A版高中數學選修系列4-1模塊知識具有以下幾點顯著特征：注重證明，強調過程，突出思想，加強探究。這是結合高中階段學生的特點和接受能力，讓學習數學的嚴謹性成為提高同學們邏輯推理技能、以及思維能力的有效途徑，為學生解決以后的學習和生活中的問題打下堅實的基礎，從而提高自己提出問題和解決問題的能力。同時也領悟了數學思想方法，跟隨書中的觀察，思考，探究等，大膽探究問題，拓展了自己的知識和視野。

了解了這些特點，那么本教材的教學方法就有了一個思路。我們不妨從初高中知識的聯系入手，結合大綱要求，讓學生學好本專題。為此，從學生的認知規律抓起，把握初、高中知識聯系，方能提高課堂效率。因次，使學生很快的熟悉本部分知識，重拾以前的理論，讓他們覺得似曾相識，而又不乏興趣，是本專題學好的前提和關鍵。

為此，我們有必要研究一下初高中關于這一部分知識的聯系，好做到有的放矢。我們以華師大版初中教材為例來討論一下這個問題。華師大版教材把圓這一部分放在了九年級下冊第28章，結構如下：28.1圓的認識；28.2與圓有關的位置關系；28.3圓中的計算問題。中考考綱對此部分的要求是1、理解圓的有關概念和性質。2、掌握點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關系及其性質。3、掌握弧長、扇形面積計算公式。

而高中人教A版教材把圓的知識作為一個專題單獨列了出來，放在了選修4-1。共分為五節來安排的：一，圓周角定理；二，圓內接四邊形的性質與判定定理；三，圓的切線的性質及判定定理；四，弦切角的性質；五，與圓有關的比例線段。高考考綱對此部分的要求是1、會證明并應用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理.2、會證明并應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.

對比中高招考綱，對與圓相關知識的考察不難發現初中對本部分的介紹重在對相關概念名詞的介紹和了解，而高中則是對這些知識的深入探究，更注重知識的來龍去脈和聯系性、應用性。當然，有了初中對圓的相關知識的了解，高中對圓的相關性質的學習才有了一個基礎。因此，初高中知識是一脈相承的，教學時應注重聯系，強化應用，這樣學生才可能容易接受，從而掌握牢固。

因此，從學生的認知水平出發，尊重教材的設計思路，把握好初高中知識的聯系，深刻領會知識間的銜接是設計好一節課，上好一節課的前提和基礎。為此，筆者把自己的一些想法和理解用一節課的設計來做一展示，下面就是人教A版高中數學選修系列4-1《弦切角的性質》這一節課的設計，希望能和各位同仁做一交流，。

一、課前預習設計

（一）教材自學 自學課本選修4-1 P32—P34內容

1.提問：什么樣的角是圓周角？（聯系初中所學知識，喚起學生對知識的親切感和興趣，并為下面學習弦切角做好鋪墊！）

2.圓周角∠CAB，讓射線AC繞點A旋轉，產生無數個圓周角，當AC繞點A旋轉至與圓相切時，停止旋轉，得∠BAE.（圖7-132）

思考：這時∠BAE還是圓周角嗎？為什么？歸納總結出弦切角的特點：

（1）頂點在圓周上； （2）一邊與圓相交； （3）一邊與圓相切.

（二）目標提取

1.你認為本節課我們主要應完成哪些任務？

2.能否做一個簡單概括？（結合預習，在初中知識的基礎上我們還有哪些知識沒有弄明白？展示目標）

（1）理解弦切角的概念；

（2）掌握弦切角定理及推論，并會運用它們解決有關問題；

（3）理解化歸和分類討論的數學思想方法以及完全歸納的證明方法.

（注：學習目標的展示應簡潔，以知識目標為主，其他的目標應落實到教學過程中。另外，目標應作為預習的一個風向標，學生通過預習不僅要了解本節要學習什么以及需要那些知識準備。更重要的是通過預習弄清楚了自己的需求，也就有了本節課的重點和難點了。）

（三）明確重、難點

你認為哪些知識是本節課的重點、難點？（不同的學生可能有不同的難點，在教學中可分層次教學，有的放矢）

重點：弦切角定理及其應用

難點：弦切角定理的證明

二、課堂教學設計

（一）定向、誘導

1. 弦切角定義：

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

2.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由： （圖7-133）

由此發現，弦切角可分為三類：

（1）圓心在角的外部； （2）圓心在角的一邊上； （3）圓心在角的內部.

3、那么弦切角都有哪些性質呢？（提出問題學生思考）

（二）自學、探究

1.當弦切角一邊通過圓心時，（如圖7-135）

（1）弦切角∠CAB是多少度？為什么？

（2）∠CAB所夾弧所對的圓周角∠D是多少度？為什么？

（3）此時，弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關系？

觀察圖形，不難發現，此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.

2.以A為端點.旋轉AC邊，使弦切角增大或減小，觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關系，猜想：弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.（圖7-134）

（三）討論、解疑

1.回憶聯想，成果展示：

（1）圓周角定理的證明采用了什么方法？

（2）既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢？

2.前面證明了特殊情況，下面考慮圓心在弦切角的外部和內部兩種情況.討論：怎樣將一般情況的證明轉化為特殊情況。如7-136（1），圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結PQ，則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠AP.

如圖7-136（2），圓心O在∠CAB內，作⊙O的直徑AQ，連結PQ，

則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC. 你能寫出完整的證明過程嗎？

（注：學生討論、給出觀點、達成一致，最終寫出完整過程并展示。）

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.

3.看書并思考：課本上關于定理的證明與我們現在的證明方法有何異同？

（四）反饋、總結

1.課本 例1（學生自學，需要時教師點撥）

2.思路點撥：思路一：要證∠BAC=∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD=∠B.（圖7-139）

證明：（學生自己完成證明）

思路二：連結OC，由切線性質，可得OC∥AD，于是有∠1=∠3，又由于∠1=∠2，可證得結論.（圖7-140）

思路三：過C作CF⊥AB，交⊙O于F，連結AF.由垂徑定理可知∠1=∠3，又根據弦切角定理有∠2=∠1，于是∠2=∠3，進而可證明結論成立.（圖7-141）

3.小結

①知識收獲

②方法收獲

③思維收獲

總結：① 在證明弦切角定理時，我們是從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程，逐步學會用運動變化的觀點觀察問題，進而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認識規律.（讓學生通過回顧，總結，得出如7-144的結構圖）

②學習了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦切角進行分類和如何進行分類. ③弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.

（注：小結可讓學生暢談收獲，與他人共分享，從學習中獲得成就和樂趣。）

三、課后鞏固設計

（一）練習

必做：1.課本P34 1

2.如圖7-142，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC=56°，則∠ECA= 度. （口答）

3.AB切⊙O于A點，圓周被AC所分成的優弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣弧的弦切角∠BAC= .

選作：創設計對應訓練

（二）作業

必做：課本 P34 2

選作：如圖7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB=AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？為什么？分析，由于AB和AC分別是兩個弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧，而AB和AC.連結B，C，易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.（通過此題你能得出什么結論呢？）

推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.

（三）課后筆記及糾錯

（注：練習和作業的設計應因材施教，針對不同的學生應有不同的要求，必要時可以分層次備選適量的題。）

這節課筆者在A、B兩個層次的班級進行了教學，從教學效果上來看，學生反應都不錯，課堂氣氛活躍、和諧，不同的學生在自己已有的基礎上都有不同程度的收獲，學有所獲。而且，學生的學是主動的有目的的，一節課下來收獲不小，成就感油然而生。

值得一提的是，本節課從初高中知識的聯系入手，讓學生能循序漸進，充分參與，學有所用，使學生真正成為課堂的主人，這是值得肯定和堅持的，可見，把握知識聯系方能備出一節好課，從而提高課堂效率。筆者認為這也是我們每個老師今后課堂教學應該注意和完善的一個方向。

說明：設計中括弧中的黑體字部分是筆者的所思所做，在學生的學案中是不出現的。

參考文獻：

[1]人教A版數學選修4-1幾何證明選講

[2]華東師大版數學九年級下冊