齒根裂紋擴展對輪齒時變嚙合剛度變化關(guān)系的分析

周新濤，張文亭，吳玉文，周錦濤

（1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院機械工程學院，陜西 咸陽 712000；2.西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安 710048；3.西安弘迪安瑞智能科技有限公司研發(fā)中心，西安 710000）

齒輪作為機械傳動系統(tǒng)的重要組成單元，傳動系統(tǒng)在運行過程中，齒輪輪齒的健康狀態(tài)直接影響整臺機械的工作效率[1-2]。經(jīng)大量研究與統(tǒng)計，齒輪在循環(huán)彎曲應(yīng)力和應(yīng)力集中等條件下，齒輪的失效形式主要表現(xiàn)為齒輪的齒面點蝕、輪齒磨損、齒根裂紋和齒面膠合等故障現(xiàn)象[3-5]。在上述齒輪故障中，輪齒的齒根裂紋占據(jù)40%的比重，其是齒輪故障的主要表現(xiàn)形式[6-7]。當輪齒故障發(fā)生時，輕則導(dǎo)致停機，影響生產(chǎn)效率，重則引起重大經(jīng)濟損失，甚至是出現(xiàn)人身傷亡等重大事故[8-9]。

當齒根裂紋產(chǎn)生后，新裂紋會進一步延伸或擴展，將會導(dǎo)致輪齒斷裂。根據(jù)不同狀態(tài)的齒根裂紋對齒輪的嚙合剛度帶來較大影響，使齒輪系統(tǒng)的傳動特性和傳動效率大為降低。另外，齒根裂紋還會引起傳動系統(tǒng)的振動，惡化機械設(shè)備的運行環(huán)境，給傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來巨大挑戰(zhàn)，導(dǎo)致機械設(shè)備的使用壽命降低[10-11]。最終，大幅度增加了設(shè)備的使用和維護成本。

針對輪齒齒根裂紋的研究，國內(nèi)外有許多專家和學者在此領(lǐng)域貢獻出大量的研究成果。如文獻[12]以風電機的增速齒輪組為研究對象，采用了非線性動力學理論和數(shù)值仿真法研究了齒根裂紋對輪齒時變嚙合剛度的影響情況。文獻[13]基于勢能法，計算含有磨損和裂紋的齒頂修形斜齒輪的嚙合剛度，并將計算結(jié)果與仿真結(jié)果對比，驗證了勢能法研究輪齒嚙合剛度的有效性。文獻[14]采用有限元法研究齒根裂紋擴展路徑，并采用勢能法求解了裂紋路徑與時變嚙合剛度之間的力學關(guān)系。文獻[15]研究齒根裂紋尖端到單齒中線的距離與1/2 齒頂圓齒后的關(guān)系，采用能量法分析嚙合剛度與輪齒裂紋深度之間的變化關(guān)系，得出了裂紋深度大于50%時輪齒剛度值減小幅度加劇。并且，采用有限元法仿真驗證理論模型的有效性。但是，這些研究成果都沒有涉及到齒根裂紋擴展方向和裂紋深度對多種輪齒嚙合剛度值的影響情況。

因此，本論文在上述研究的基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度4 種剛度形式。同時，考慮了齒輪本體柔性變形對理論剛度值的偏差較大，并給出了理論剛度計算方法的修正形式，能夠得到理論計算結(jié)果與實際剛度數(shù)值進一步相接近。

1 輪齒嚙合時變剛度的原理

采用輪齒嚙合變形的能量法，研究輪齒時變嚙合剛度與4 種主要變形情況的計算關(guān)系。再利用鍵合圖建模法，建立單、雙齒周期性交替嚙合的剛度模型，并通過數(shù)值仿真的方式研究輪齒的時變嚙合剛度與相關(guān)參數(shù)之間的變化規(guī)律。

1.1 單齒嚙合剛度

輪齒嚙合傳動時，儲存在輪齒內(nèi)部的能量主要有4 種：Hertz 接觸能、徑向壓縮變形能、彎曲勢能和剪切變形能。根據(jù)能量法的計算原理，結(jié)合圖1 所示的單齒嚙合時輪齒的受力情況，可分別得出輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、輪齒的彎曲剛度和輪齒的剪切剛度的計算關(guān)系（齒數(shù)小于41），如式（1）—（4）所示。當齒輪的齒數(shù)大于41 時，可將這4 種剛度公式中的非積分項去掉，并將積分項的積分上限α2改為α4即可。

圖1 單齒嚙合的受力圖

式中：μ為泊松比；E為彈性模量；B為齒寬；α為壓力角；

采用能量法，考慮輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度等4 種剛度形式。按照這種方法計算輪齒的嚙合剛度時，因沒有考慮齒輪本身的柔性變形，從而導(dǎo)致計算得出的理論剛度值比齒輪的實際剛度值偏大。若不解決這個問題，將會對后續(xù)輪系動態(tài)特性的研究帶來較大影響。

根據(jù)相關(guān)文獻[16]，給出了齒輪本體柔性變形的計算關(guān)系，如式（5）所示

式中：B為輪齒的齒寬；αm為嚙合角；L*、M*、P*、Q*為多項式的系數(shù)項，滿足式（6）的函數(shù)關(guān)系

式中：X*={L*，M*，P*，Q*}，且各參數(shù)的含義及取值，詳見文獻[17]。

即，齒輪基體的柔性剛度Kf，由式（7）求得

當主、從動齒輪在單嚙合區(qū)嚙合時，可根據(jù)機械系統(tǒng)剛度串聯(lián)原理計算，將這對輪齒嚙合的綜合時變嚙合剛度Ksgle的計算關(guān)系，如式（8）所示

式中：i為1、2，分別為主動輪、從動輪。

1.2 雙齒嚙合剛度

同理，主、從動齒輪對應(yīng)輪齒在雙嚙合區(qū)嚙合時，可按照并聯(lián)剛度原理計算，其輪齒嚙合的綜合時變嚙合剛度Kttal的計算關(guān)系，如式（9）所示

式中：i為1、2 時分別為第一對嚙合的輪齒、第二對嚙合的輪齒。

1.3 單、雙齒嚙合時變剛度

根據(jù)式（8）、式（9），可得出齒輪傳動系統(tǒng)的綜合時變嚙合剛度K（t），可按照式（10）所示的關(guān)系描述

式中：輪齒從進入嚙合開始直至完全退出嚙合時的周期記作T；n為輪齒順序號；則第二對主、從動齒輪的輪齒進入嚙合時時間為t1，t1=T/ε；以及第三對主、從動齒輪的輪齒進入嚙合階段的時間為t2，t2=1-1/ε；ε 為齒輪的重合度，其值在（1，2）的范圍內(nèi)。

2 齒根裂紋的力學模型

2.1 齒根裂紋的力學原理

圖2 是含有齒根裂紋AB的單齒模型，假設(shè)A點是齒根受力的最大值點，也是裂紋開始產(chǎn)生的起始點，B點是裂紋的截止點（尖端奇異點）。裂紋AB與輪齒中心線的夾角為（裂紋擴展的方向角），假設(shè)該角在裂紋擴展時始終保持為同一常數(shù)。同時，假設(shè)含有裂紋的輪齒在齒根部位尚未產(chǎn)生撓度變形，該輪齒仍然可簡化為變截面的懸臂梁。在這種條件下，該輪齒的齒廓曲線仍保持完好。因此，輪齒的赫茲剛度和徑向壓縮剛度均與正常齒輪的剛度一樣。但是，由于齒根裂紋的存在，從而改變了齒根位置處的受力環(huán)境，導(dǎo)致輪齒的彎曲剛度和剪切剛度發(fā)生變化。

圖2 含齒根裂紋故障的受力示意圖

含有齒根裂紋故障時，在距離基圓距離為x位置處的慣性矩Ix和有效截面積Ax的計算關(guān)系，改變?yōu)槭剑?1）和式（12）所示

式中：B為輪齒沿軸向方向的厚度。

2.2 齒根裂紋仿真模型的設(shè)置

圖3 是輪齒的齒根裂紋擴展示意圖，如裂紋的上邊界為AG，下邊界為CG。D點是裂紋上、下邊界初始點A、C連線的中點，G點是裂紋尖端點。連接DG并反向延長與輪齒中線OO交于B點，即以線段DG的長度近似描述裂紋的大小。ν是裂紋DG與輪齒中線OO的夾角，即為裂紋擴展的方向角。根據(jù)齒根裂紋在不同尺寸下的長度lx，來定義裂紋故障擴展的程度，其定義方法見表1。

表1 不同尺度下的裂紋程度

圖3 齒根裂紋擴展模型

3 齒根裂紋對嚙合時變剛度的影響研究

3.1 裂紋擴展程度與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究

本節(jié)采用數(shù)值仿真的方法，來說明齒根裂紋擴展程度與嚙合剛度之間的波動關(guān)系。根據(jù)輪齒嚙合剛度的計算關(guān)系式與給出的仿真條件，得出了如圖4 所示的是一對嚙合傳動齒輪時變剛度的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù)Z1=16，Z2=24；模數(shù)m=4.5 mm；齒寬B=38 mm；彈性模量E=2.1×105N/mm2；泊松比μ=0.3。

圖4 裂紋程度與嚙合剛度的變化關(guān)系

從圖4 中可得，正常健康輪齒的時變嚙合剛度呈現(xiàn)出恒周期性；當單個輪齒的齒根出現(xiàn)裂紋故障時，使該輪齒的嚙合剛度明顯降低很多，且在整個時變嚙合剛度圖中故障剛度也隨著齒輪轉(zhuǎn)動角頻率而呈現(xiàn)出大周期性。另外，時變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴重程度的增大而減小。而且，隨著齒根裂紋擴展的嚴重程度進一步增強，時變嚙合剛度由雙齒嚙合到單齒嚙合和單齒嚙合到雙齒嚙合等過渡階段的突變現(xiàn)象較大。

3.2 裂紋擴展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系研究

本節(jié)采用數(shù)值仿真法，研究齒根裂紋擴展方向與嚙合剛度之間的波動關(guān)系。根據(jù)直齒圓柱齒輪自身的特性，結(jié)合圖3 所示的裂紋擴展模型，將裂紋擴展的方向設(shè)定為20°、30°、45°和60° 四種特殊的角度。

按照設(shè)置好的仿真條件，通過仿真計算后，得出如圖5 所示的一對相互嚙合傳動的齒輪，反映出不同程度輪齒齒根裂紋擴展方向與時變剛度間的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù)Z1=16，Z2=24；模數(shù)m=4.5 mm；齒寬B=38 mm；彈性模量E=2.1×105N/mm2；泊松比μ=0.3。

圖5 裂紋擴展方向與嚙合剛度的變化關(guān)系

由圖5（a）所示的前期裂紋與時變嚙合剛度的變化曲線可得：當齒根裂紋在前期時，其含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴展角度的增大而減小。同時，單對輪齒嚙合剛度由健康輪齒時的非單調(diào)性向單調(diào)遞減方向轉(zhuǎn)變。

圖5（b）所示的中期裂紋的嚙合剛度曲線可得：此時，含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴展角度的增大而增大。同時，單對輪齒嚙合剛度曲線的單調(diào)性增強。

同理，圖5（c）所示的后期裂紋的嚙合剛度變化曲線中得出，其變化規(guī)律與前期、中期裂紋對剛度值的影響規(guī)律相同。

裂紋擴展方向與嚙合剛度變化的局部區(qū)域，含有齒根裂紋輪齒的時變剛度值隨著裂紋擴展程度的增大而降低。當齒根裂紋在擴展的整個時期里，故障輪齒的時變嚙合剛度值隨著方向角的增大而增大。另外，故障輪齒的時變嚙合剛度值，隨著裂紋擴展程度嚴重性的增強，方向角度的變化對時變嚙合剛度值的影響程度降低。

4 結(jié)論

本論文基于能量法，針對齒輪的齒根裂紋擴展與時變嚙合剛度之間變化關(guān)系，經(jīng)研究得出了以下幾點結(jié)論。

1）在傳統(tǒng)剛度的理論模型基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度4 種剛度形式。同時，將齒輪的柔性變形也考慮在內(nèi)，建立起優(yōu)化的時變嚙合剛度的理論模型。

2）在輪齒齒根裂紋擴展程度與時變嚙合剛度間的變化關(guān)系的研究中，得出了時變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴重程度的增大而減小。

3）在對裂紋擴展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究中，得出了時變嚙合剛度值隨著裂紋擴展角度的增大而增大。

4）齒根裂紋的擴展程度和擴展方向，對時變嚙合剛度的變化規(guī)律影響不大。