3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的運動學分析與驗證

陳明方，黃良恩，張永霞，姚國一

（昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650500）

與串聯(lián)機構(gòu)相比，并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、穩(wěn)定性好、精度高和運動負荷小等優(yōu)點。近年來，并聯(lián)機構(gòu)已被廣泛應用于車間生產(chǎn)線、分揀系統(tǒng)和食品包裝設備等[1]。

目前，國內(nèi)外學者針對并聯(lián)機構(gòu)做了大量研究，主要包括自由度、運動學、工作空間、奇異性、動靜力學分析以及運動誤差補償?shù)萚2-6]。周毅鈞等[7]基于螺旋理論分析了3-SPS/PPS 并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型和自由度。Fernandes 等[8]設計了一種醫(yī)用3PUU 并聯(lián)機構(gòu)，并解算了其運動學正反解和工作空間。Laski等[9]對3UPU并聯(lián)機構(gòu)的運動學和工作空間進行了分析。孟慶梅等[10]為了提高半對稱三平移Delta-CU并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動精度，提出了基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的誤差參數(shù)識別模型和誤差補償方法。李菊等[11]基于虛功原理建立了2P4R并聯(lián)機構(gòu)的動力學模型，并完成了動力學分析。

并聯(lián)機構(gòu)運動學正反解的求解方法包括數(shù)值法和解析法[12-13]。由于數(shù)值法的計算速度較慢且無法獲得機構(gòu)的封閉解，因此大多數(shù)學者采用解析法來進行求解分析[14-15]。1990年，Innocenti等[16]首次采用解析法獲得了Stewart 機構(gòu)的運動學正解。張樹梅等[17]根據(jù)6-PTRT并聯(lián)機構(gòu)的幾何約束關系，計算了其運動學反解，并通過坐標變換得到了運動學正解。劉秀瑩等[18]基于閉環(huán)矢量對球面并聯(lián)機構(gòu)的運動學正反解進行了分析，并利用遺傳算法優(yōu)化了其運動學參數(shù)。Zenebe等[19]利用牛頓法解算了Stewart機構(gòu)的運動學正解。

并聯(lián)機構(gòu)的奇異性主要包括2 類：一類是由機構(gòu)設計不合理導致的約束奇異，另一類是因機構(gòu)存在不可達位置點而導致的運動奇異。奇異性的分析方法主要有數(shù)值法、幾何法、解析法和雅可比矩陣法[20-21]。黃勝軍等[22]利用Gosselin 奇異性分析法，得到了冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形，并基于數(shù)值法分析了2 種奇異位形。為了分析3-RSR 并聯(lián)機構(gòu)的運動奇異性，宛宇等[23]提出了一種基于螺旋理論、幾何代數(shù)和空間線性幾何理論的新方法。

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間主要是指可達工作空間，其求解方法主要有幾何法、離散點法和數(shù)值法[1]。劉秀瑩等[18]利用球面并聯(lián)機構(gòu)具有雙球心的特點，分析了其動球心和動平臺的可達工作空間。田海波等[24]采用蒙特卡羅法解算了三構(gòu)態(tài)變胞并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，并基于工作空間的點云圖計算了工作空間的體積。程穎等[25]通過極限邊界搜索法分析了六自由度微動并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，并采用激光跟蹤儀測定了其樣機的實際工作空間，結(jié)果驗證了該機構(gòu)具有較大的工作空間。

少自由度并聯(lián)機構(gòu)類型多樣，不同類型并聯(lián)機構(gòu)的動力傳遞形式不同，其適用場景也不同。為提升少自由度并聯(lián)機構(gòu)設計的效率和準確性，筆者以自主設計的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，利用解析法分析其運動學正反解，并通過解算雅可比矩陣來分析其約束奇異和運動奇異。然后，在分析工作空間的基礎上，以雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)作為靈巧度指標，分析并聯(lián)機構(gòu)的運動性能。接著，通過ADAMS/Simulink 聯(lián)合仿真來分析并聯(lián)機構(gòu)動平臺位置、速度和加速度的變化情況[26-29]，以驗證所構(gòu)建的運動學模型的正確性。最后，通過搭建實驗平臺來測定并聯(lián)機構(gòu)動平臺的位置，以進一步驗證其運動學模型的正確性。

1 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動學理論分析

1.1 結(jié)構(gòu)分析及建模

3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的三維模型如圖1所示。其中，靜平臺為并聯(lián)機構(gòu)的基體，與立柱、滾珠絲杠、連桿和動平臺等構(gòu)成并聯(lián)機構(gòu)的本體；連桿為平行四邊形鉸鏈，3 根連桿對稱布置，其在靜平臺上投影的夾角為120°；連桿兩端通過虎克鉸（U）分別與滑塊、動平臺連接，共形成3條相同的支鏈；滑塊由滾珠絲杠驅(qū)動，形成移動副（P）；伺服電機的動力通過滾珠絲杠轉(zhuǎn)動傳遞給滑塊，滑塊通過虎克鉸將動力傳遞給連桿，最終連桿通過虎克鉸將動力傳遞至動平臺。

圖1 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)三維模型Fig.1 Three-dimensional model of 3-PUU parallel mechanism

圖2所示為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的運動學模型。為方便描述，將各滾珠絲杠的下端點均記為K1，各滑塊下端點均記為K，與滑塊連接的虎克鉸中心記為Ai(i=1, 2, 3)；Bi(i=1, 2, 3)為動平臺頂點，且△B1B2B3為正三角形，動平臺外接圓的半徑r=100 mm；Ci(i=1, 2, 3)為靜平臺頂點，Pi(i=1, 2, 3)為各滑塊的中心。連桿長度l=350 mm，虎克鉸轉(zhuǎn)動范圍為±60°，滑塊的有效行程為200 mm，靜平臺與滾珠絲杠下端距離lC1K1=335 mm；△A1A2A3也為正三角形，其幾何中心為K2，其外接圓半徑R=200 mm。在動、靜平臺的中心處分別建立動、靜坐標系O1-X1Y1Z1、O-XYZ，其中：線段P1A1位于靜坐標系中X軸的上方，且與X軸平行。

圖2 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動學模型Fig.2 Kinematics model of 3-PUU parallel mech‐anism

1.2 自由度分析

為了確定3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的自由度，先基于螺旋理論對其各支鏈進行分析，再利用修正的Kutzbach-Grubler公式求解自由度：

式中：F為機構(gòu)自由度，n為機構(gòu)總構(gòu)件數(shù)，d為機構(gòu)運動空間自由度數(shù)，λ為公共約束，j為機構(gòu)運動副數(shù)，fh為第h個運動副的自由度數(shù)，ξ為局部自由度數(shù)，v為去除公共約束后的冗余約束數(shù)。

由于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的3條支鏈完全相同，因此選擇其中一條支鏈（記作支鏈1）進行分析。在支鏈1 上靠近移動副的虎克鉸中心建立坐標系O2-X2Y2Z2，并設第m條支鏈上第q個運動副處的運動螺旋為$mq。鑒于虎克鉸相當于2個轉(zhuǎn)動副，故一條支鏈共有5 個運動螺旋。圖3 所示為3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)支鏈1的運動螺旋。

圖3 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)支鏈1的運動螺旋Fig.3 Motion spiral of branch chain 1 of 3-PUU parallel mechanism

根據(jù)圖3，支鏈1的運動螺旋可表示為：

式中：a1、a2、a3、b1、b2、c1、c2為與機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性和運動特性相關的參數(shù)，其值取決于機構(gòu)運動副的空間位置。

由式(2)可知，支鏈1的5個運動螺旋線性無關，則可得到1 個反螺旋。根據(jù)螺旋理論互易積乘法，可得3條支鏈的反螺旋：

根據(jù)式(3)，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的每條支鏈恰好存在一個約束螺旋，則整個機構(gòu)的冗余約束v=0。由于與動平臺相連的虎克鉸上的3個約束力偶垂直于虎克鉸所在平面并作用于動平臺，且各約束力偶不共面，即約束力偶線性無關，因此該并聯(lián)機構(gòu)的基礎螺旋系可表示為：

由上述基礎螺旋系可知，約束力偶限制了動平臺的3 個轉(zhuǎn)動自由度。因此，3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)僅存在平動自由度。

3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)為8、移動副數(shù)為3、虎克鉸數(shù)為6，運動副數(shù)為9，局部自由度為0，公共約束為0。由此可得，該并聯(lián)機構(gòu)所有運動副的自由度為：

將各參數(shù)和式(5)代入式(1)，可得3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的自由度：

綜上，3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的動平臺僅有沿X、Y、Z方向的3個平動自由度，無轉(zhuǎn)動自由度。

1.3 運動學正反解分析

1.3.1 運動學反解

已知3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心O1的位置坐標，求解滑塊相對于靜平臺頂點Ci(i=1, 2, 3)的位置，即可得到機構(gòu)的運動學反解。由于該并聯(lián)機構(gòu)的滑塊僅沿Z方向運動，將各滑塊在靜坐標系中的豎坐標（即Z坐標）記作zi(i=1, 2, 3)。根據(jù)圖2，將頂點Ai(i=1, 2, 3)和動平臺中心O1在靜坐標系O-XYZ中的坐標以及頂點Bi(i=1, 2, 3)在動坐標系O1-X1Y1Z1中的坐標表示為：

根據(jù)桿長條件l2=|lAiBi|2(i=1, 2, 3)和安裝條件zO＞zi(i=1, 2, 3)，建立3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的運動學反解方程：

1.3.2 運動學正解

通過式(9)反求得到3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心O1在靜坐標系O-XYZ中的坐標，即可得到其運動學正解，具體可表示為：

其中：

2 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣和奇異性分析

2.1 速度雅可比矩陣分析

并聯(lián)機構(gòu)的速度雅可比矩陣可以表征滑塊速度與動平臺速度之間的關系。求解式(9)關于時間的一階全微分，可得3-PUU并聯(lián)機構(gòu)各滑塊的速度：

整理可得，各滑塊與動平臺速度之間的關系如下：

其中：

式中：J為速度雅可比矩陣。

2.2 奇異性分析

本文采用幾何法和解析法對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的奇異性進行分析。速度雅可比矩陣J的行列式可表示為：

其中：

2.2.1 約束奇異

當R=r時，在3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間內(nèi)存在約束奇異，但由于本文設計時即已令r＜R，因此該約束奇異不存在。當zO=zi(i=1, 2, 3)時，從極限角度考慮，det (J)的分母為三階無窮小，分子為一階無窮小，其值趨于無窮大，此時動平臺與滑塊的Z坐標相同，將出現(xiàn)運動干涉，但設計時又已令R＜l+r，因此該約束奇異也不存在。綜上可知，本文所研究的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)不存在約束奇異。

2.2.2 運動奇異

當zO≠zi(i=1, 2, 3)，R≠r，而det(J)的分子為0（即j1+j2=0）時，存在如下關系：

整理式(15)可得：

當zO≠zi(i=1, 2, 3)、R≠r，而j1=j2=0時，存在如下關系：

整理式(17)可得：

綜上可知，當3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動滿足式(16)或式(18)時，該機構(gòu)存在運動奇異；當運動不滿足式(16)和式(18)時，該機構(gòu)不存在運動奇異。

3 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間與運動性能分析

3.1 工作空間分析

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間分為可達工作空間和靈活工作空間。其中：可達工作空間是指機構(gòu)末端能到達的位置點集合，靈活工作空間是指機構(gòu)末端能從任意方向到達的位置點集合[1]。本文采用數(shù)值法中的極限邊界搜索法來求解3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間，具體求解思路如下。

1）給定動平臺能到達的極限空間范圍。

2）采用平行于XOY平面的平面簇，將動平臺能到達的空間區(qū)域等分成高度為ΔZ的圓柱體子空間。

3）在子空間內(nèi)建立極坐標系，使極徑ρ從0增至最大極徑，轉(zhuǎn)角α從0 增大至2π，以搜索子空間內(nèi)的坐標點；同時，將搜索點的坐標分別代入運動學反解方程和虎克鉸轉(zhuǎn)角的約束方程，求解得到滑塊的位置和虎克鉸的轉(zhuǎn)角。

4）判斷步驟3）中所求結(jié)果是否滿足滑塊位置和虎克鉸轉(zhuǎn)角的約束條件，保留并畫出滿足約束條件的搜索點。

5）令Z坐標增加ΔZ后繼續(xù)搜索下一個子空間內(nèi)的坐標點，直至完成所有子空間內(nèi)坐標點的搜索，即可獲得并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間。

對于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)，其滑塊位置和虎克鉸轉(zhuǎn)角的約束條件為：

式中：θi為虎克鉸轉(zhuǎn)角。

利用MATLAB 軟件編程求得3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間，結(jié)果如圖4所示。由圖4(a)可知，該并聯(lián)機構(gòu)具有較大的可達工作空間，當動平臺高度為700 mm 時，動平臺的平面運動范圍最大。由圖4(b)可知，在XOY平面上，動平臺的運動范圍為半徑等于200 mm的圓形區(qū)域。

3.2 運動性能分析

3.2.1 靈巧度評價

機構(gòu)的靈巧度對機構(gòu)設計來說極其重要[30-31]，其可用于評價機構(gòu)輸入與輸出之間的傳遞性能，即衡量機構(gòu)運動性能的優(yōu)劣。并聯(lián)機構(gòu)靈巧度的評價指標不唯一，鑒于并聯(lián)機構(gòu)的速度雅可比矩陣表征了輸入端速度與輸出端速度的映射關系，則可利用速度雅可比矩陣的條件數(shù)來定量分析并聯(lián)機構(gòu)的運動性能。

根據(jù)式(13)，3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)中滑塊與動平臺速度之間的關系可表示為：

即：

其中：

式中：D為滑塊速度矢量，E為動平臺速度矢量。

設滑塊速度的誤差為ΔD、動平臺速度的誤差為ΔE，則有：

對式(21)和式(22)取二范數(shù)，并將式(21)、式(22)的兩端同時相乘，可得：

根據(jù)三角不等式原理，可得滑塊速度與動平臺速度的相對誤差之間的關系[25]：

根據(jù)式(24)，速度雅可比矩陣的條件數(shù)M可表示為：

當并聯(lián)機構(gòu)的位形改變時，速度雅可比矩陣的條件數(shù)隨之改變，其取值范圍一般為1≤M≤+∞，存在無窮大的情況。因此，可取條件數(shù)的倒數(shù)作為靈巧度的衡量指標，記作M1，其取值范圍為0≤M1≤1。當靈巧度M1=0時，表示機構(gòu)處于奇異狀態(tài)；當靈巧度M1=1時，表示機構(gòu)具有最佳靈巧度，即運動性能最好。綜上可知，靈巧度M1越大，并聯(lián)機構(gòu)的運動性能越好。

由于速度雅可比矩陣會隨著并聯(lián)機構(gòu)動平臺位置的變化而變化，M1僅能描述并聯(lián)機構(gòu)工作空間內(nèi)某個位置點的靈巧度，屬于局部性評價指標。因此，采用靈巧度在整個工作空間內(nèi)的分布情況，即全局靈巧度，對3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的運動性能進行評價。全局靈巧度越大，表示并聯(lián)機構(gòu)的運動性能越好。全局靈巧度可表示為：

式中：W為機構(gòu)的工作空間。

由于積分部分計算較困難，以求和代替積分，則式(26)可簡化為：

式中：N為工作空間內(nèi)的取樣點數(shù)，M1,s為第s個取樣點的靈巧度。

3.2.2 算例分析

本文3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的設計參數(shù)如下：R=200 mm、r=100 mm、連桿長度l=350 mm。根據(jù)該并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間，可確定其動平臺中心O1的運動范圍為：-200 ≤xO≤ 200 mm，-200 ≤yO≤ 200 mm，650 ≤zO≤ 850 mm。利用上文構(gòu)建的運動學反解方程和速度雅可比矩陣，在MATLAB 軟件中編寫程序，求解得到3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度的分布情況。

圖5 所示為xO=0 mm 時3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度隨yO、zO變化的分布情況。由圖5(a)可知，靈巧度的分布近似關于直線yO=0 mm對稱，越靠近直線yO=0 mm，機構(gòu)的靈巧度越好；當yO=0 mm、zO=750 mm時，機構(gòu)的靈巧度最佳。由圖5(b)可知，在直線yO=0 mm的兩側(cè)，離直線yO=0 mm越遠，機構(gòu)的靈巧度越差；當-200 ≤yO≤ -100 mm 或100 ≤yO≤200 mm時，靈巧度的變化速度均較快；當-100 ≤yO≤0 mm 或0 ≤yO≤ 100 mm 時，靈巧度的變化速度均較慢。由此可知，當xO=0 mm 時，動平臺沿Y軸的運動應盡可能滿足-100 ≤yO≤ 0 mm或0 ≤yO≤ 100 mm。另外，由圖5(b)還可 知，在-100 ≤yO≤ 0 mm 和0 ≤yO≤100 mm區(qū)域內(nèi)，靈巧度的分布關于直線zO=750 mm對稱，且分布均勻。因此，當xO=0 mm時，動平臺沿Z軸的運動范圍應盡可能滿足650 ≤zO≤ 850 mm。

圖5 xO=0 mm時3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度分布Fig.5 Dexterity distribution of 3-PUU parallel mecha‐nism under xO=0 mm

圖6 所示為yO=0 mm 時3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度隨xO、zO變化的分布情況。由圖6(a)可知，當xO=0 mm、zO=750 mm時，機構(gòu)的靈巧度達到最優(yōu)，且xO＞0 mm 時的靈巧度優(yōu)于xO＜0 mm 時的靈巧度；當xO＜0 mm 時，靈巧度隨xO的減小而減小，即機構(gòu)的靈巧度變差。由圖6(b)可知，當-200 ≤xO≤ -100 mm時，靈巧度的變化速度較快；當-100 ≤xO≤ 200 mm時，靈巧度的變化速度較慢。由此可知，當yO=0 mm時，動平臺沿X軸的運動盡可能滿足-100 ≤xO≤200 mm。另 外，由 圖6(b)還可知，在-100 ≤xO≤200 mm且700 ≤zO≤ 850 mm時，靈巧度的變化速度較慢。由此可知，當yO=0 mm 時，動平臺沿Z軸的運動范圍應盡可能滿足700 ≤zO≤ 850 mm。

圖6 yO=0 mm時3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度分布Fig.6 Dexterity distribution of 3-PUU parallel mecha‐nism under yO=0 mm

圖7 所示為zO=750 mm 時3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度隨xO、yO變化的分布情況。由圖7(a)可知，當xO=0 mm、yO=0 mm 時，機構(gòu)的靈巧度達到最優(yōu)。由圖7(b)可知，當-400 ≤xO+yO≤ -300 mm或300 ≤xO+yO≤400 mm時，靈巧度的變化速度均較快，而-300 ≤xO+yO≤ 300 mm時，靈巧度的變化速度較慢。由此可知，當zO=750 mm時，動平臺的運動應滿足-300 ≤xO+yO≤300 mm。

圖7 zO=750 mm時3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度分布Fig.7 Dexterity distribution of 3-PUU parallel mecha‐nism under zO=750 mm

令3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)工作空間內(nèi)的取樣點數(shù)為401，根據(jù)圖5至圖7，可得每個取樣點對應的靈巧度。將各取樣點對應的靈巧度代入式(27)，可得機構(gòu)的全局靈巧度。當xO=0 mm 時，全局靈巧度；當yO=0 mm 時，；當zO=750 mm時，。

根據(jù)上述分析，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的全局靈巧度均逼近最大靈巧度，且由各靈巧度分布圖可知，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度在較大范圍內(nèi)未發(fā)生突變，即運動性能良好。

4 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動學仿真分析

4.1 仿真模型構(gòu)建

為了驗證所構(gòu)建的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的運動學模型的正確性，利用ADAMS與MATLAB/Simulink軟件進行聯(lián)合仿真。鑒于本文直接根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的運動學反解來解算運動學正解，故只需驗證正運動學模型。

首先，在SolidWorks 軟件中將3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)中不產(chǎn)生相對運動的部分組合成整體，并將整個機構(gòu)的三維模型導入ADAMS 軟件。在ADAMS軟件中，對導入的模型添加運動副、約束和驅(qū)動，搭建3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)虛擬樣機模型，如圖8所示。

圖8 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)虛擬樣機模型Fig.8 Virtual prototype model of 3-PUU parallel mechanism

然后，導出3-PUU并聯(lián)機構(gòu)虛擬樣機模型的機械系統(tǒng)文件并導入MATLAB/Simulink軟件，得到如圖9所示的Simulink仿真模型。

圖9 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)正運動學的Simulink仿真模型Fig.9 Simulink simulation model for forward kinematics of 3-PUU parallel mechanism

4.2 正運動學模型仿真驗證

為驗證3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的正運動學模型，本文給定動平臺中心O1的2種運動軌跡，分別記作S1和S2。其中運動軌跡S1可表示為：

運動軌跡S2可表示為：

式中：t為時間。

根據(jù)給定的運動軌跡，完善3-PUU并聯(lián)機構(gòu)正運動學的仿真模型，其輸入如圖10所示。

圖10 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)正運動學仿真模型的輸入Fig.10 Input of forward kinematics simulation model of 3-PUU parallel mechanism

設Simulink仿真時間為2 s，為清晰反映仿真結(jié)果，下文均取0.2 s內(nèi)的仿真結(jié)果與理論結(jié)果進行對比分析。

根據(jù)式(28)和式(29)以及3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的運動學反解方程，可得其各滑塊在靜坐標系O-XYZ下的位置曲線。給定運動軌跡S1和S2下各滑塊的位置曲線分別如圖11和圖12所示。

圖11 給定運動軌跡S1下各滑塊的位置曲線Fig.11 Position curve of each slider under given mo‐tion trajectory S1

圖12 給定運動軌跡S2下各滑塊的位置曲線Fig.12 Position curve of each slider under given mo‐tion trajectory S2

以滑塊的位置曲線作為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)仿真模型的輸入，得到動平臺中心O1在靜坐標系O-XYZ下的位置、速度和加速度曲線，并與理論計算結(jié)果進行對比，同時分析兩者的誤差，以驗證運動學模型的正確性。

圖13所示為運動軌跡S1對應的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺位置的仿真驗證結(jié)果。由于運動軌跡S1為圓弧軌跡，在仿真開始時，并聯(lián)機構(gòu)的動平臺需先運動至圓弧軌跡的起點處。從圖13中可以看出，在初始仿真階段，動平臺沿X、Z方向運動的仿真結(jié)果與理論結(jié)果之間的誤差（分別記作ΔxO、ΔyO和ΔzO）較大。當動平臺運動至圓弧軌跡的起點后，即仿真時間大于0.01 s后，仿真曲線與理論曲線基本重合，兩者的誤差小于1 mm。由于本文采用Simulink 與ADAMS 聯(lián)合仿真，兩者屬于交互式仿真，因此仿真輸入與輸出間會存在一定滯緩，但誤差在合理范圍內(nèi)。

圖13 運動軌跡S1對應的動平臺位置的仿真驗證結(jié)果Fig.13 Simulation verification results of position of moving platform corresponding to motion trajectory S1

圖14所示為運動軌跡S2對應的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺位置的仿真驗證結(jié)果。運動軌跡S2為螺旋軌跡，在仿真開始時，并聯(lián)機構(gòu)動平臺在Z方向上需從初始位置運動至給定位置。因此，初始仿真階段動平臺沿Z軸運動的仿真結(jié)果與理論結(jié)果之間的誤差較大。當動平臺運動至給定高度后，其位置的仿真曲線與理論曲線基本重合。同樣由于是交互式仿真，仿真結(jié)果存在誤差，但誤差在合理范圍內(nèi)。

圖14 運動軌跡S2對應的動平臺位置的仿真驗證結(jié)果Fig.14 Simulation verification results of position of moving platform corresponding to motion trajectory S2

對圖13和圖14所示的位置曲線進行微分處理，即可得到動平臺中心O1的速度vO、加速度aO。圖15和圖16所示分別為運動軌跡S1和S2對應的動平臺中心的速度、加速度曲線（對應誤差記作ΔvO、ΔaO）。由于在初始仿真階段，動平臺需由初始高度運動至給定位置，此時理論位置曲線與仿真位置曲線存在一定誤差，則理論速度、加速度曲線與仿真速度、加速度曲線也存在一定誤差。

圖15 運動軌跡S1對應的動平臺速度、加速度的仿真驗證結(jié)果Fig.15 Simulation verification results of velocity and accel‐eration of moving platform corresponding to motion trajectory S1

由圖15(b)和圖16(b)中的局部放大圖可知，在0.02 s后，盡管2種運動軌跡對應的理論速度、加速度曲線均與對應的仿真曲線基本重合，但仍存在一定誤差。由式(28)和式(29)可知，仿真時動平臺的運動速度較大，在較短時間內(nèi)所產(chǎn)生的位置誤差會導致速度和加速度存在一定誤差。

根據(jù)上述分析，在不考慮動平臺運動的初始誤差時，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺的位置、速度、加速度仿真曲線與對應的理論曲線均基本重合，驗證了所構(gòu)建的運動學模型的正確性。

5 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動學實驗驗證

5.1 實驗平臺搭建

為進一步驗證所構(gòu)建的運動學模型的正確性以及并聯(lián)機構(gòu)設計的合理性，筆者團隊試制了如圖17所示的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)樣機并開展實驗驗證。

圖17 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)樣機Fig.17 3-PUU parallel mechanism prototype

以PC （personal computer，個人計算機）、STM32 單片機、伺服驅(qū)動器和伺服電機為硬件，Keli5 為軟件，搭建3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)動平臺的控制系統(tǒng)。在實驗中，選取滑塊的下端點作為滑塊運動的參考點。另外，由于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)樣機各構(gòu)件實際尺寸的影響，動平臺沿Z方向的運動將存在一定誤差，在實際應用時應消除該誤差的影響。

本文搭建的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)實驗平臺如圖18所示，將高精度的R-20 Radian 型激光跟蹤儀安裝在合適位置處，將靶球置于動平臺的中心處。利用Keil5 軟件編寫控制程序并將其下載至STM32 單片機中，隨后單片機的控制信號輸出至伺服驅(qū)動器，進而由滾珠絲杠將伺服電機的動力傳遞給滑塊，滑塊再將動力傳遞至動平臺，最終實現(xiàn)動平臺運動。在實驗過程中，激光跟蹤儀實時跟蹤動平臺中心的位置，并將位置坐標傳遞至PC 中的數(shù)據(jù)采集軟件TrackerClib。

5.2 實驗驗證

在實驗中，給定3-PUU并聯(lián)機構(gòu)樣機動平臺中心的運動軌跡為圓形軌跡（分成180等份，每一等份采集一個軌跡點的位置），其可表示為：

式中：T為動平臺中心的運動軌跡點。

本文以離散方式均勻采集動平臺運動軌跡上的180 個點，為降低偶然誤差的影響，取多次測量的均值作為動平臺中心的位置坐標。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可得動平臺的運動誤差。表1所示為部分軌跡點坐標的理論值、實測值和誤差。進一步可得到動平臺中心位置的實測曲線、理論曲線及誤差曲線，結(jié)果如圖19所示。

表1 動平臺中心位置的部分采樣結(jié)果Table 1 Partial sampling results of moving platform center position 單位：mm

圖19 動平臺中心位置的實驗驗證結(jié)果Fig.19 Experimental verification results of position of moving platform center

根據(jù)圖19 所示的動平臺中心位置的實測值，通過運動學反解方程求解得到各滑塊的實際位置。部分軌跡點對應的滑塊位置的理論值、實測值及誤差（分別 記 作Δz1、Δz2和Δz3）如表2所示。圖20 所示為各滑塊位置的實測曲線、理論曲線及誤差曲線。

圖20 滑塊位置的實驗驗證結(jié)果Fig.20 Experimental verification results of slider position

表2 部分滑塊位置的采樣結(jié)果Table 2 Partial sampling results of slider position 單位：mm

5.3 實驗結(jié)果分析

由圖19可知，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心位置的實測曲線與理論曲線的變化趨勢基本一致。由圖20可知，該并聯(lián)機構(gòu)各滑塊位置的實測曲線與理論曲線的變化趨勢也基本一致。結(jié)果表明，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)設計合理，且所構(gòu)建的運動學模型正確。

由圖19 和圖20 所示的誤差曲線可知，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺及滑塊的實際位置與理論位置之間存在一定誤差，這主要是由并聯(lián)機構(gòu)存在機械誤差以及控制系統(tǒng)精度不足造成的。3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的機械誤差主要包括制造誤差、安裝誤差和運動副誤差。其中，制造誤差主要為動平臺尺寸、靜平臺尺寸及連桿尺寸的誤差。安裝誤差主要是運動副的安裝誤差，包括移動副、虎克副誤差，可借用輔助工裝進行機構(gòu)裝配，以降低安裝誤差。制造誤差與機床的制造精度有關，其補償方式主要包括硬件補償和軟件補償。硬件補償可通過在并聯(lián)機構(gòu)上安裝傳感器實時反饋動平臺的運動情況來完成，雖然補償精度高，但價格昂貴，且安裝傳感器會對機構(gòu)的運動產(chǎn)生一定影響。軟件補償是通過辨識機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)并修改控制器中運動學模型來實現(xiàn)的，其原理簡單，但不適用于無法修改程序的情況。

下一步將針對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的誤差補償進行研究。通過設計位置、速度、力閉環(huán)控制系統(tǒng)并結(jié)合并聯(lián)機構(gòu)的運動學標定方法，來提高其動平臺的運動精度。

6 結(jié) 論

為提升少自由度并聯(lián)機構(gòu)設計的效率和準確性，本文針對自主設計的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學分析和實驗驗證，主要結(jié)論如下。

1）通過對3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)進行螺旋分析和自由度計算，得到該機構(gòu)僅存在3個平動自由度。

2）完成了對3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)運動學正反解的分析，并結(jié)合速度雅可比矩陣分析了該機構(gòu)的約束奇異和運動奇異。通過分析可知，該機構(gòu)無約束奇異，且當動平臺的運動不滿足式(16)或式(18)時，機構(gòu)無運動奇異。

3）解算了3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間，并根據(jù)局部靈巧度和全局靈巧度，分析了其運動性能。結(jié)果表明，該并聯(lián)機構(gòu)的運動性能良好。

4）利用ADAMS 和MATLAB/Simulink 軟件搭建了3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的聯(lián)合仿真模型，仿真結(jié)果驗證了所構(gòu)建的運動學模型的正確性。

5）搭建了3-PUU 并聯(lián)機構(gòu)實驗平臺，并開展了實驗研究。結(jié)果表明，其動平臺、滑塊的實測位置曲線與理論位置曲線的變化趨勢基本一致，進一步驗證了所構(gòu)建的運動學模型的正確性。由于存在機械誤差，實測值與理論值之間存在一定誤差，需進一步分析機械誤差，建立誤差模型以完成機構(gòu)的誤差補償。