“強基計劃”中關于帶電體系靜電能的計算及其拓展

王 軍 鄧靖武

(1.北京四中 2.北京教育學院)

靜電能,又稱為靜電勢能.帶電體系靜電能的計算,在“強基計劃”中有過考查.分析這一問題前,我們應該先思考:帶電體為什么具有靜電能? 靜電能“儲存”(定域)于何處?

對帶電體的形成過程,我們可以這樣去想象:首先,設想帶電體的電荷是由無限多的無窮小部分(dq),按照一定的分布“擺成”的,每一個dq都有自己的位置.在這個帶電體形成之前,這些無窮多的、無限小的dq相距無窮遠,需要將這些無窮多個dq一個接一個地“放到”帶電體上相應的位置處,直至最終形成這個帶電體.

有了這個想象過程,我們就能理解,帶電體應該具有“靜電能”.因為,在按照上述方式形成這個帶電體的過程中,必定要克服靜電力做功.在這個過程中,克服靜電力做的總功,就稱為帶電體的靜電能(或靜電勢能).同時,也就有了求解帶電體靜電能的思路.

人們曾經認為帶電體的“能量”是儲存在“電荷”上的.但是后來研究發現,電磁波(變化的電磁場)可以脫離電荷單獨存在,并且電磁波可以攜帶能量.現在認為,所謂靜電能是儲存在靜電場中的.這種能量和電磁波一樣,統稱為電磁場能.當然,靜電場無法脫離產生它的電荷而單獨存在,因此,在處理靜電場的電場能時,可以不必在意能量定域于何處.計算帶電體能量時,用“電勢能”和“電場能”兩種觀點來計算,結果一致.限于篇幅,本文只從電勢能角度分析.

1 點電荷體系的靜電能

例1(2018年北大博雅計劃)如圖1所示,正六邊形的邊長為R,各個頂點固定有正的點電荷q,中心有負的點電荷2q.求該體系的靜電能.

圖1

討論我們用兩種觀點來計算.

觀點1我們設想從無窮遠處,按一定的順序,依次將這7個點電荷放入它們最終的位置.再計算這個過程中,放入每一個點電荷時,需要克服其他已經放置到規定位置的點電荷產生的電場力所做的功,還沒有放置于最終位置的點電荷就不用考慮了,這樣越到最后放置的點電荷需要克服的靜電力做的功就越多.至于按照什么樣的次序,依次移入這7個點電荷,是不影響最終結果的,因為“靜電勢能”只與位置有關.我們選取這樣的一種“移入”次序:先移入1號,再移入2號,再依次移入3號、4號、5號、6號、7號.

觀點2我們不再去設想移入的次序,而是這樣設想:從無窮遠將1號移入它的最終位置時,認為其他的所有電荷(2～7號)都已經“就位”,這樣移入1號時,需要計算其他所有電荷對1號做的負功.同樣的,移入2號時,設想其他所有電荷(1號和3～7號)早已“就位”……對所有7個電荷都進行同樣操作.大家可想而知,這樣計算的總功一定比“觀點1”大了.但是大多少呢? 剛好是“觀點1”的2倍.因此,只需要再除以2,就是最終答案了.

“2倍”從何而來呢? 舉一個只有三個點電荷的例子來說明.推廣到任意個數的點電荷體系也是成立的.

1號移入到最終位置時,根據觀點1無電場力做功,將2號移入它的最終位置時,1號的電場力對2號做的功記為－E12,導致體系增加的電勢能為E12.依據觀點1,則體系總的能量為E＝E12＋E13＋E23.依據“觀點2”計算的結果將是E＝E21＋E31＋E12＋E32＋E13＋E23,項數上是前者的2倍,可這還不足以說明后者就是前者的2倍了.還需要證明E12＝E21.兩個點電荷間的電勢能公式是,自然有E12＝E21.

分析 觀點1將1號從無窮遠處移入它最終位置的過程中,不需要克服任何電場力做功;將2號移入時,需要克服1號電荷電場力做功,使體系增加的電勢能為;將3號移入時,需要克服1號、2號電荷電場力做功,使體系增加的電勢能為E13＋;同樣的道理,將4號、5號、6號、7號移入時,體系增加的電勢能分別如下:

觀點2將1號移入時,其他所有電荷已經就位,如圖2所示,其他所有電荷在1號位置產生的電勢

圖2

移入1號,體系增加的電勢能

考慮對稱性,移入2～6號時,體系增加的電勢能大小等于E1,移入7 號,體系增加的電勢能E7＝,因此,體系總的靜電能

2 一個連續帶電體的靜電能

例2(2021年清華強基計劃)如圖3所示,半徑為R的孤立、均勻帶電球體的總電量為Q,求該帶電球體的靜電能.

圖3

分析 觀點1我們設想這樣一個過程:如圖4 所 示,dq均勻分布在無窮遠處的一個“球面”上,然后像肥皂泡收縮一樣,匯聚到半徑為r的均勻帶電球體表面上,使之增加了一個dr的球殼.計算這個過程克服半徑為r的均勻帶電球體的電場力做的功,就得到了這個過程增加的電勢能.對這個過程從0積分至R,就得到了這個均勻帶電球體的靜電能.半徑為r的均勻帶電球體的總電量為,其中該球體表面處的電勢.

圖4

將dq從無窮遠處匯聚到該球體表面上的過程中,增加的靜電能dE＝φrdq.總的靜電能通過對該式積分即可得,過程如下:

觀點2從無窮遠將電量dq移入它最終位置前,導體上其他所有電荷(Q－dq)均已經就位,因此計算移入dq所增加的靜電能時,要解決兩個問題:

(1)移入的dq放置在何處?

(2)放置dq的位置的電勢是多少?

對于(1),我們仍然想象將dq均勻分布在無窮遠處的一個“球面”上,然后像肥皂泡收縮一樣,匯聚到半徑為r的均勻帶電球體表面上.

對于(2),φr將不同于觀點1中的結果,因為此時r到R之間,存在早已“就位”的電荷.下面計算φr.

根據高斯定理,可以求出均勻帶電球體的場強表達式:

積分計算

因此靜電能為

3 拓展:一個帶電體和一個點電荷組成系統的靜電能

例3如圖5所示,一個半徑為R的金屬球,帶電荷量為Q,在距離其球心為d的地方放一個點電荷q,求這個體系的總靜電能.

分析本題采用觀點2計算較為迅速.下面先用觀點2計算,再用觀點1計算,通過對比,幫助大家加深理解.

觀點2根據觀點2,帶電導體和點電荷組成的體系的總靜電能,其中的φ體 表示帶電體的電勢,φq表示q所在處的電勢.金屬球的電勢.由于金屬球上的電荷分布不均,它在球外點電荷q所在處的電勢和場強等于它的鏡像電荷所產生的電勢和場強.球面上感應電荷的鏡像電荷如圖6所示.

因此,球面上的感應電荷在球外點電荷q所在處的電勢和場強為

方向向右.所以體系總靜電能

觀點1設想這個帶電體系按如下過程形成:先是從無窮遠匯聚電荷Q至導體球上,形成一個孤立的均勻帶電球體,求出這個過程中增加的能量,這個能量也就是帶電量為Q的孤立導體球靜電能,記為E1.然后再將q從無窮遠處移至距球心為d處,體系又增加了一部分能量,記為E2.

最終形成了題中所述帶電體系的總靜電能,即有

1)先求孤立導體球靜電能E1.

如圖7所示,半徑為R的孤立導體帶電量為Q.

圖7

將導體上均勻分布的面電荷分成無數小塊的面電荷,電量記為dq.在將dq移入前,導體上均勻分布的面電荷總量為q,在導體球表面產生的電勢為φq＝.因此,從無窮遠移入dq至導體球表面,使體系增加的能量.積分可得靜電能

2)再求將q從無窮遠處移至距球心為d處,體系又增加了能量E2.

當點電荷q距離球心為r時,金屬球上分布的電荷在r處的電場強度(已經在前面由鏡像電荷求出)

方向向右.

將點電荷q沿球的半徑－^r方向移動dr,電場力做功

因此從無窮遠移動至距離球心為d的過程中,有

因此,將q從無窮遠處移至距球心為d處,體系增加的能量

需要注意,在計算E2時,在將q從無窮遠處移至距球心為d處的這個過程中,帶電金屬球上的電荷分布會發生變化,不能認為其上的感應電荷分布一直是最終的那個狀態,因此相應的鏡像電荷的電量和位置一直是變化的.所以,必須將鏡像電荷在距球心為d處產生的電場表達式中的d看成一個變量r.

3)體系總的靜電能

這個結果與前面觀點2計算出的結果一致.

(完)