測電源電動勢和內阻的5種方法

金世慶

(廣西壯族自治區北海市合浦縣第一中學)

高中物理的電學實驗是高考必考內容,隨著高考的不斷改革,基于問題情境的電學實驗也不斷推陳出新,但無論課程怎么改,高考怎么變,題型怎么新,電學實驗都是以考查學生對基礎實驗原理的理解和基本實驗儀器的使用為出發點,以考查學生物理學科核心素養為目的.

測量電源電動勢和內阻是中學物理實驗教學中的重要內容之一,在歷年高考物理試題中,測量電動勢和內阻實驗方法一般有伏安法、伏阻法、安阻法.這三種方法都源自閉合電路歐姆定律,通過電路的變化和拓展,又衍生出安安法、伏伏法.這5種方法歸納如表1所示.

表1

1 伏安法

在測量電源電動勢和內阻實驗中,典型的伏安法測量電路如圖1所示(對于電流表而言,電源內阻一般比較小,為減小實驗誤差,相對電源而言,電流表通常采用外接法).在實驗數據處理時,為了減小實驗偶然誤差,我們可以利用圖像法,根據閉合電路歐姆定律有U＝E－Ir,則用作圖法作U-I圖像,如圖2 所示.觀察U-I圖像可以得出:1)圖像與縱軸交點為E;2)圖像與橫軸交點為;3)圖像的斜率.此法誤差主要來源于電壓表的分流作用,電動勢測量值比真實值偏小,內阻測量值比真實值偏小.

圖1

圖2

例1(2020年天津卷)某實驗小組選用以下器材測定電池組的電動勢和內阻,要求測量結果盡量準確.

電壓表(量程0～3V,內阻約為3kΩ)

電流表(量程0～0.6A,內阻約為1Ω)

滑動變阻器(0～20Ω,額定電流1A)

待測電池組(電動勢約為3V,內阻約為1Ω)

開關、導線若干

(1)該小組連接的實物電路如圖3所示,經仔細檢查,發現電路中有一條導線連接不當,這條導線對應的編號是_________.

圖3

(2)改正這條導線的連接后開始實驗,閉合開關前,滑動變阻器的滑片P應置于滑動變阻器的________端.(填“a”或者“b”)

(3)實驗中發現調節滑動變阻器時,電流表讀數變化明顯,但電壓表讀數變化不明顯.為了解決這個問題,在電池組負極和開關之間串聯一個阻值為5Ω的電阻,之后該小組得到了幾組電壓表讀數U和對應的電流表讀數I,并作出U-I圖像,如圖4所示.根據圖像可知,電池組的電動勢為_________V,內阻為_________Ω.(結果均保留兩位有效數字)

圖4

(1)與電流表的內阻和電壓表的內阻相比,電池組的內阻較小,故對于電池組來說,應該采用電流表外接法,圖中采用的是電流表內接法,故導線5連接不當,應該從電壓表正接線柱接到電流表正接線柱(或電池組正極).

(2)閉合開關前,應該使滑動變阻器連入電路的阻值最大,故滑動變阻器的滑片P應置于滑動變阻器的a端.

(3)在電池組負極和開關之間串聯一個阻值為R＝5Ω 的電阻,設電池組的電動勢為E,內阻為r,根據閉合電路歐姆定律有E＝U＋I(R＋r),變形得U＝－I(R＋r)＋E,結合圖像可知E＝2.9V,R＋r＝＝5.80Ω,則r＝0.80Ω.

利用伏安法測電源電動勢和內阻,首先要正確選擇電流表的內外接法(相對電源);其次要根據數據描點畫出圖像;再次要根據圖像縱截距的信息確定電動勢大小和圖像斜率信息求出電動勢的內阻.本題利用電流表外接法(相對電源)誤差較小,在圖像法處理數據時縱坐標可以不從零開始,則圖線和橫軸的交點不再是短路電流,電源的內阻不能用r＝確定,應根據求解.我們應該注意到,有時要利用電流表內接法(相對于電源)測量電動勢和內阻,如采用水果做電源時,往往內阻較大,這時采用內接法(相對電源)進行測量誤差較小,圖像數據處理和電流表外接法(相對電源)一樣.而內接法(相對電源)誤差主要來源于電流表分壓,電動勢測量值與真實值相等,內阻測量值比真實值偏大.

2 伏阻法

圖5

圖6

例2(2021年全國乙卷)一實驗小組利用圖7-甲所示的電路測量一電池的電動勢E(約1.5V)和內阻r(小于2Ω),圖中電壓表量程為1V,內阻RV＝380.0Ω;定值電阻R0＝20.0Ω;電阻箱R最大阻值為999.9Ω;S為開關,按電路圖連接電路,完成下列填空.

圖7

(1)為保護電壓表,閉合開關前,電阻箱接入電路的電阻值可以選_________Ω(填“5.0”或“15.0”).

(2)閉合開關,多次調節電阻箱,記錄下阻值R和電壓表的相應讀數U.

(3)根據圖7-甲所示電路,用R、R0、RV、E和r表示,得＝________.

(5)通過圖7-乙可得E＝________V(保留2位小數),r＝________Ω(保留1位小數).

(6)若將圖7-甲中的電壓表當成理想電表,得到的電源電動勢為E′,由此產生的誤差為×100%＝________%.

(1)為了避免電壓表被燒壞,接通電路時電壓表兩端的電壓不能比電壓表滿偏電壓大,當電壓表滿偏時有,而,代入數據解得R＋r＝9.5Ω,故R＞7.5Ω,因此電阻箱接入電路的電阻值選15.0Ω.

(3)由閉合電路的歐姆定律可得

化簡可得

(5)由上面公式可得

代入可得E≈1.55V,r≈1.0Ω.

(6)如果電壓表為理想電壓表,則有

伏阻法的本質是伏安法的拓展,作何種圖像需要根據具體實驗情境而定.解決伏阻法問題的關鍵是明確用什么圖像進行數據分析:若是圖像就按照電壓倒數和電阻關系分析;若是圖像就按照電壓與電壓阻值比關系分析.在圖像化簡時需要基于閉合電路歐姆定律的規律出發,通過函數變形和圖像數形結合,根據圖像的截距、斜率等關系解決問題.

3 安阻法

安阻法是用電流表和變阻箱測量電動勢和內阻的方法,由E＝I(R＋r)可得,只要能得到I、R的兩組數據,列出關于E、r的兩個方程就能解出E和r.用到的器材有電池、開關、電阻箱、電流表,電路如圖8 所示.圖像法處理數據分兩種情況:

圖8

1)根據閉合電路歐姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作圖像,如圖9-甲所示,圖像的斜率,縱軸截距為;

圖9

2)根據閉合電路歐姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作圖像,如圖9-乙所示,圖像的斜率k＝E,縱軸截距為－r.安阻法實驗的系統誤差來源于電流表的分壓作用,此方法測量電動勢沒有影響,內阻測量值比實際值偏大.

例3某物理興趣小組設計了如圖10-甲所示的電路來測量電源的電動勢E和內阻r,以及某未知電阻的阻值Rx,其中電流表的量程為0～0.6A,內阻為R0(已知).

圖10

(1)在閉合電路前,應將電阻箱R的阻值調到_________(填“最大”或“最小”).

(2)實驗的主要步驟如下:

①閉合S1、S2,多次調節電阻箱,并記錄其阻值及所對應的電流表的讀數;

②保持S1閉合,斷開S2,多次調節電阻箱,并記錄其阻值及所對應的電流表的讀數;某一次電流表的讀數如圖10-乙所示,電流表的讀數為_________A;

(3)若兩條直線的斜率均為k,兩直線的縱截距分別為b1、b2.由圖像以及題中的已知條件可知,電源的電動勢E＝________,內阻r＝_________,未知電阻Rx＝_________.

(1)為了保證閉合開關后,電路中電流最小,電阻箱開始時應調到最大.

(2)電流表的量程為0～0.6A,最小一格的刻度為0.02A,所以電流表的讀數為0.48A.

(3)閉合S1、S2時,根據閉合電路歐姆定律有

變形得

所以電源的電動勢

內阻

閉合S1、斷開S2時,根據閉合電路歐姆定律有

化簡得

求得

以上例題基本思路是利用數學圖像方法解決問題,解題思路:一審題意;二找關系;三化方程;四看圖像;五求解,即根據題意找到實驗電路的原理關系,再由閉合電路歐姆定律推導出一次函數方程式,根據函數方程式對比題目所給的圖像,再由圖像斜率、截距等信息求出電動勢和內阻.需要說明的是,在利用安阻法解決問題時,要把閉合電路歐姆定律原始式E＝I(R＋r)轉化成圖像還是圖像,需要根據題目中的問題情境而定.

4 安安法

安安法是利用兩個電流表的測量結果,由測量數據關系,根據閉合電路歐姆定律,求出電源電動勢和內阻的方法.測量電路如圖11-甲所示,閉合開關S時,兩電流表的示數分別為I1、I2,調節變阻器改變R,測得幾組不同的電流值,獲得實驗數據.由E＝(I1＋I2)r＋I2R0,變形得,I1為電流表A1的示數,I2為電流表A2的示數,作出I2-(I1＋I2)圖像,知圖像的縱截距為,斜率的絕對值為,如圖11-乙所示.當然也可以先算出路端電壓U＝I2R0和總電流I＝I1＋I2,再畫出U-I圖像,根據伏安法的原理求解.安安法誤差來源于電流表A2的分流作用,測量結果有E測＜E真,r測＜r真.

圖11

例4在測量一節干電池的電動勢和內阻的實驗中,備有下列器材:

A.待測干電池(電動勢約1.5V,內阻小于1Ω)

B.電流表A1(量程0～3mA,內阻Rg1＝10Ω)

C.電流表A2(量程0～0.6A,內阻Rg2＝0.1Ω)

D.滑動變阻器R1(0～20Ω,10A)

E.滑動變阻器R2(0～200Ω,1A)

F.定值電阻R0(990Ω)

G.開關和導線若干

(1)某同學發現上述器材中雖然沒有電壓表,但給出了兩個電流表,于是他設計了如圖12所示的甲、乙兩個參考實驗電路,其中合理的是________圖所示的電路;在該電路中,為了操作方便且能準確地進行測量,滑動變阻器應選_________(填寫器材前的字母代號).

圖12

(2)如圖13所示,為該同學根據(1)中選出的合理的實驗電路,利用測出的數據繪出的I1-I2圖像,I1為電流表A1的示數,I2為電流表A2的示數,且I2的數值遠大于I1的數值,則由圖像可得被測干電池的電動勢E＝_________V,內阻r＝_________Ω.

圖13

(1)因為題中沒有給出電壓表,所以需要用一個定值電阻和電流表串聯,根據題意改裝成電壓表.根據歐姆定律,若將電流表A1與定值電阻串聯,則有U＝I1R0＝0.003×(990＋10)V＝3V,與電源電動勢接近,故應將電流表A1與定值電阻串聯使用,故合理的是圖12-乙.電源電動勢約為1.5V,內阻小于1Ω,為方便實驗操作且能準確地進行測量,滑動變阻器應選D.

(2)由電路圖可知,在閉合電路中,由于I2遠大于I1,則干路中電流近似等于I2,電源電動勢

則

由圖13縱軸截距可知,電源電動勢為E＝1.49 V.圖像斜率

電源內阻為

安安法基本思路是找變量關系,利用函數I1-I2圖像關系式分析問題,再結合圖像分析和推導出數學函數表達式.安安法實際上也可以看成伏安法,可以把其中一個電流表與定值電阻串聯改裝成電壓表,而圖像的縱坐標應該是改裝后的電壓表讀數.為了避免同學們思維混亂,我們可以把安安法作為一次函數關系求解,利用一次函數關系與圖像相結合,讓同學們從數學上理解含義,效果更好.采用安安法的實驗方案可以利用圖像法處理數據,根據電表改裝原理,將縱坐標直接改為對應電壓,再利用伏安法圖像的斜率和截距求解電動勢和內阻.

5 伏伏法

伏伏法是利用兩個電壓表測電源電動勢和內阻的方法,電路圖如圖14所示,由閉合電路歐姆定律得,改變滑動變阻器R的阻值,測幾組不同的U、U1值,獲得實驗數據.畫出U-U1圖像,如圖15所示,根據,得,可知U-U1圖像縱截距為電源電動勢E,斜率的絕對值為.

圖14

圖15

例5為測量一電源的電動勢及內阻,某小組設計了如下實驗方案.

(1)先利用多用電表直流電壓擋位粗測電源的電動勢.如圖16-甲所示,1號接線柱應接________表筆(填“紅”或“黑”).選用“直流電壓5V”擋時,表盤如圖16-乙所示,讀出該電源的電動勢為________V.

圖16

(2)設計如圖17 所示電路,若實驗中電壓表V1讀數為U1,電壓表V2讀數為U2,電表為理想電表,R0為定值電阻.改變滑動變阻器R的阻值得到多組實驗數據.作出如圖18所示圖像為直線,且與縱軸的截距等于b,斜率的絕對值為k,則電源電動勢E＝_________,電源內阻r＝_________(用題目中的已知量表示).

圖17

圖18

(3)若考慮電表內阻,則(2)中電源電動勢的測量值_________真實值(填“＞”“＜”或“＝”).

(1)先利用多用電表直流電壓擋位粗測電源的電動勢.因為“紅進黑出”,則如圖16-甲中的1號接線柱應接紅表筆.選用“直流電壓5V”擋時,表盤如圖16-乙所示,讀出該電源的電動勢為2.90V.

(2)根據電路有

由圖像可知E＝b,即r＝kR0.

(3)分析誤差,若考慮電表內阻,則有

則E＝b,即電動勢的測量值等于真實值.

伏伏法也是伏安法的一種變形,此方法可以看成為一個電壓表(電壓表V1)并聯一個定值電阻R0改裝為電流表,再根據閉合電路歐姆定律推導出一次函數關系式,利用一次函數圖像的截距、斜率等信息求電動勢和內阻.基本思路是:一審題意;二找關系;三化方程;四看圖像;五求解.

測電源電動勢和內阻是高中物理中的重要實驗,其測量方法很多.常見的還有等效法、補償法、綜合法等方法,但是不管命題如何變,總是萬變不離其宗,只要我們在總結和歸納時以伏安法為基本測量方法,以培養科學思維能力和發展學科核心素養為目的,讓學生將思維訓練貫穿整個實驗過程,真正動手實驗,探究方法,重視數據分析,就能以此強化物理學科核心素養的培養.

(完)