錯因再分析，解題不再錯

文／吳世華

同學們在解二次函數相關的問題時，稍有不慎，就會出現顧此失彼的情況。為了幫助同學們更好地掌握二次函數的知識，更深刻地理解二次函數的本質，現將常出現的錯誤歸納總結，分析如下，希望對大家的學習有所幫助。

例1 已知y=（a+1）xa2+1-2x+3 是二次函數，請求出a的值。

【錯解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3 是二次函數，∴未知數的指數應該是2，即a2+1=2。解得a=±1?！郺的值為±1。

【錯因分析】本題做錯的原因是對二次函數的定義理解得不透徹，把“二次項系數不等于0”這個條件遺漏了。

【正解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3 是二次函數，∴a2+1=2。解得a=±1。又∵二次函數的二次項系數不等于0，即a+1≠0。解得a≠-1。

綜上所述，a的值為1。

例2 若函數y=ax2-2x+1 的圖像與x軸有唯一的交點，請求出a的值。

【錯解】函數y=ax2-2x+1 的圖像與x軸有唯一的交點，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a·1=0。解得a=1。

【錯因分析】本題做錯的原因是審題不清，或者說沒有思考到還有另一種可能。此題題干部分說的是“函數”，而不是“二次函數”。因此，當此函數為一次函數時，圖像與x軸有唯一的交點，也符合題意。

【正解】當y=ax2-2x+1 是二次函數時，函數y=ax2-2x+1 的圖像與x軸有唯一的交點，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a·1=0。解得a=1。

當y=ax2-2x+1 是一次函數時，即a=0，此時函數表達式為y=-2x+1，也符合題意。

綜上所述，a=1或a=0。

例3 已知二次函數y=x2-2ax+16圖像的頂點在坐標軸上，請求出a的值。

【錯解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴頂點坐標為（a，16-a2）。由題意知，16-a2=0，解得a=±4。

【錯因分析】本題考查分類討論思想。題干中說到“頂點在坐標軸上”，坐標軸包括x軸和y軸，錯解中只考慮了頂點在x軸上這一種情況，從而導致解題不完整。

【正解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴頂點坐標為（a，16-a2）。

當頂點在x軸上時，16-a2=0。解得a=±4。當頂點在y軸上時，a=0。

綜上所述，a的值是±4或0。

例4 已知二次函數y=-x2+2x+3 的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），一次函數y=kx+b圖像經過點A，與這個拋物線交于點C，且S△ABC=8，求一次函數的表達式。

【錯解】當y=0 時，即y=-x2+2x+3=0。解得x1=-1，x2=3。∴A（-1，0），B（3，0）。

設點C坐標為（x，y）。

∴y=4。

當y=4時，得x=1。∴C（1，4）。

經過A（-1，0）、C（1，4）的一次函數表達式為y=2x+2。

【錯因分析】本題做錯的主要原因是沒有找全符合題意的情況，三角形的高可能在x軸上方，也可能在x軸下方。

【正解】當y=0 時，即y=-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。∴A（-1，0）、B（3，0）。

設點C坐標為（x，y）。

∴y=±4。

當y=4時，得x=1。∴C（1，4）。

經過A（-1，0）、C（1，4）的一次函數表達式為y=2x+2。