構造二次函數，助力問題解決

文／繆娟

在中考試題中，有的題目的已知條件沒有出現“函數”或“二次函數”字眼，但依然可以通過構造二次函數來解決。這類問題，表面上與一般的二次函數問題不同，但實質仍是考查二次函數的應用。

問題1 關于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（）。

A.兩個正根

B.兩個負根

C.一個正根，一個負根

D.無實數根

這是2020 年南京市的一道中考題。有的同學會將方程化為一元二次方程的一般式：x2+x-（2+p2）=0，再聯想與一元二次方程的根有關的知識（根與系數的關系），得x1·x2=-（2+p2）＜0，據此判斷方程的兩個根為一正一負。除此之外，我們還能從其他角度思考嗎？

我們還可以從二次方程聯想到二次函數，并借助二次函數的圖像解決問題。由方程（x-1）（x+2）=p2，建立二次函數y=（x-1）（x+2），其方程是函數值y=p2的情形。而p2≥0，當p2=0 時，二次函數的圖像與x軸交于點（1，0）和點（-2，0），即方程（x-1）（x+2）=0 的兩個根是1、-2；當p2＞0 時，二次函數的圖像與過點（0，p2）且與x軸平行的直線相交，觀察圖1，可知兩個交點分別在第一、第二象限，所以兩個交點的橫坐標是一正一負，即方程（x-1）（x+2）=p2的兩個根為一正一負。

圖1

問題2 解下列關于x的不等式：

（1）x2-9≥0；（2）在（1）的基礎上思考如何解x3-x≤0。

我們學過解一元一次不等式，那如何解問題中的不等式呢？對于第（1）問，有的同學會想到利用因式分解得（x-3）·（x+3）≥0，再分情況討論，進而轉化為兩個不等式組，從而得到x≥3或x≤-3。你還有其他想法嗎？

我們還可以借助二次函數的圖像來解決。先構建二次函數y=x2-9，畫出它的圖像（圖2），求得二次函數圖像與x軸交于點（3，0）、（-3，0），再觀察在x軸上方的部分圖像，對應x的范圍為x≥3 或x≤-3。

圖2

圖3

我們還可以通過移項想到不等式x2≥9。如圖3，先畫出y=x2的圖像和過點（0，9）且與x軸平行的直線，再觀察直線上方部分圖像對應x的范圍即可。還有嗎？基于對不等式x2-9≥0的變形，同學們還可以構造出其他不同的函數，但都是通過圖像來求得不等式的解集。它們運用的知識背后所蘊含的數學方法、思想是一致的。

同樣的方法可以解決第（2）問嗎？由因式分解得到x（x-1）（x+1）≤0，再分情況討論，求解過程較復雜。能構建二次函數求解嗎？題中沒有二次怎么辦？需要同學們先對不等式進行變形（兩邊同時除以x），構造出x的二次式。當x＞0 時，不等式轉化為x2-1≤0；當x＜0 時，不等式轉化為x2-1≥0。類比第（1）問的解法，問題（2）迎刃而解。

如果有同學想到構造y=x3和y=x兩個函數，再利用它們的圖像來解決問題，簡直更勝一籌。

問題1 表面看是一個方程問題，但解答的思路不同，問題解決所用的模型就不一樣，思維層次較高的同學能想到運用函數。再看問題2，表面是兩個不等式問題，仍然可以由多個模型解答，用函數的眼光來看：解一元二次不等式，可先建立一個（或兩個）函數并畫出圖像，再觀察圖像確定對應的自變量范圍。

通過這兩個問題，同學們應當能更深刻地體會到，代數研究對象中的“函數”是所有代數元素的統一體，運用函數的思想、方法是解決不等式、方程的統領。因此，代數的學習可以用一句話概括：一切皆“函數”。