構(gòu)造二次函數(shù)，助力問題解決

文／繆娟

在中考試題中，有的題目的已知條件沒有出現(xiàn)“函數(shù)”或“二次函數(shù)”字眼，但依然可以通過構(gòu)造二次函數(shù)來解決。這類問題，表面上與一般的二次函數(shù)問題不同，但實質(zhì)仍是考查二次函數(shù)的應(yīng)用。

問題1 關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）。

A.兩個正根

B.兩個負根

C.一個正根，一個負根

D.無實數(shù)根

這是2020 年南京市的一道中考題。有的同學(xué)會將方程化為一元二次方程的一般式：x2+x-（2+p2）=0，再聯(lián)想與一元二次方程的根有關(guān)的知識（根與系數(shù)的關(guān)系），得x1·x2=-（2+p2）＜0，據(jù)此判斷方程的兩個根為一正一負。除此之外，我們還能從其他角度思考嗎？

我們還可以從二次方程聯(lián)想到二次函數(shù)，并借助二次函數(shù)的圖像解決問題。由方程（x-1）（x+2）=p2，建立二次函數(shù)y=（x-1）（x+2），其方程是函數(shù)值y=p2的情形。而p2≥0，當(dāng)p2=0 時，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點（1，0）和點（-2，0），即方程（x-1）（x+2）=0 的兩個根是1、-2；當(dāng)p2＞0 時，二次函數(shù)的圖像與過點（0，p2）且與x軸平行的直線相交，觀察圖1，可知兩個交點分別在第一、第二象限，所以兩個交點的橫坐標(biāo)是一正一負，即方程（x-1）（x+2）=p2的兩個根為一正一負。

圖1

問題2 解下列關(guān)于x的不等式：

（1）x2-9≥0；（2）在（1）的基礎(chǔ)上思考如何解x3-x≤0。

我們學(xué)過解一元一次不等式，那如何解問題中的不等式呢？對于第（1）問，有的同學(xué)會想到利用因式分解得（x-3）·（x+3）≥0，再分情況討論，進而轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，從而得到x≥3或x≤-3。你還有其他想法嗎？

我們還可以借助二次函數(shù)的圖像來解決。先構(gòu)建二次函數(shù)y=x2-9，畫出它的圖像（圖2），求得二次函數(shù)圖像與x軸交于點（3，0）、（-3，0），再觀察在x軸上方的部分圖像，對應(yīng)x的范圍為x≥3 或x≤-3。

圖2

圖3

我們還可以通過移項想到不等式x2≥9。如圖3，先畫出y=x2的圖像和過點（0，9）且與x軸平行的直線，再觀察直線上方部分圖像對應(yīng)x的范圍即可。還有嗎？基于對不等式x2-9≥0的變形，同學(xué)們還可以構(gòu)造出其他不同的函數(shù)，但都是通過圖像來求得不等式的解集。它們運用的知識背后所蘊含的數(shù)學(xué)方法、思想是一致的。

同樣的方法可以解決第（2）問嗎？由因式分解得到x（x-1）（x+1）≤0，再分情況討論，求解過程較復(fù)雜。能構(gòu)建二次函數(shù)求解嗎？題中沒有二次怎么辦？需要同學(xué)們先對不等式進行變形（兩邊同時除以x），構(gòu)造出x的二次式。當(dāng)x＞0 時，不等式轉(zhuǎn)化為x2-1≤0；當(dāng)x＜0 時，不等式轉(zhuǎn)化為x2-1≥0。類比第（1）問的解法，問題（2）迎刃而解。

如果有同學(xué)想到構(gòu)造y=x3和y=x兩個函數(shù)，再利用它們的圖像來解決問題，簡直更勝一籌。

問題1 表面看是一個方程問題，但解答的思路不同，問題解決所用的模型就不一樣，思維層次較高的同學(xué)能想到運用函數(shù)。再看問題2，表面是兩個不等式問題，仍然可以由多個模型解答，用函數(shù)的眼光來看：解一元二次不等式，可先建立一個（或兩個）函數(shù)并畫出圖像，再觀察圖像確定對應(yīng)的自變量范圍。

通過這兩個問題，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)能更深刻地體會到，代數(shù)研究對象中的“函數(shù)”是所有代數(shù)元素的統(tǒng)一體，運用函數(shù)的思想、方法是解決不等式、方程的統(tǒng)領(lǐng)。因此，代數(shù)的學(xué)習(xí)可以用一句話概括：一切皆“函數(shù)”。