挖掘例題變式，尋找解題通法

文／徐艷

例題呈現 （蘇科版數學教材九年級下冊第25 頁例題）不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8 的圖像與x軸是否有公共點。（解答過程略）

研究函數時，我們研究的是函數關系的表述、函數的圖像和性質以及函數的應用，函數與方程、數形結合等數學思想方法是解決函數問題的絕佳工具。本題可以有以下變式。

變式1 條件結論互換

（蘇科版數學教材九年級下冊第36頁第10題）（1）已知二次函數y=x2-mx+m的圖像與x軸有且只有一個公共點，求m的值；

（2）已知二次函數y=ax2-2x-3 的圖像與x軸有兩個公共點，求a的取值范圍。

【解析】（1）因為二次函數y=x2-mx+m的圖像與x軸有且只有一個公共點，所以一元二次方程x2-mx+m=0的根的判別式b2-4ac=m2-4m=0。所以m=4或0。

（2）因為二次函數y=ax2-2x-3 的圖像與x軸有兩個公共點，所以一元二次方程ax2-2x-3=0（a≠0）的根的判別式b2-4ac=4+12a＞0。所以a＞-，且a≠0。

變式2 變換表達式，增加參數

已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點；

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【解析】（1）令y=0。因為一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0 的兩根為x1=1，x2=m+3，所以方程一定有實數根。因此，二次函數y=2（x-1）（x-m-3）的圖像與x軸總有公共點。

（2）令x=0，則y=2m+6。要使得該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方，則2m+6＞0，所以m＞-3。

變式3 變“等”為“不等”

已知二次函數y=ax2-2ax+3（a為常數，a≠0）。

（1）若a＜0，求證：該函數的圖像與x軸有兩個公共點。

（2）若a=-1，求證：當-1＜x＜0 時，y＞0。

（3）若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），且-1＜x1＜x2＜3，則a的取值范圍是________。

【解析】（1）令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，則Δ=4a2-12a=4a（a-3）。由a＜0，得a-3＜0。所以4a（a-3）＞0。所以方程ax2-2ax+3=0 有兩個不相等的實數根，故函數y=ax2-2ax+3 的圖像與x軸有兩個公共點。

（2）當a=-1 時，函數表達式為y=-x2+2x+3，因式分解得y=-（x+1）（x-3）。當-1＜x＜0 時，x+1＞0，x-3＜0，所以-（x+1）（x-3）＞0，即y＞0。

（3）因為-1＜x1＜x2＜3，由函數圖像的對稱軸為直線x=1 可知，-1＜x1＜1＜x2＜3。

方法1 當a＞0 時，符合題意的函數圖像大致如圖1 所示。由題意，只需圖像與x軸有兩個交點，即可符合要求。

圖1

故令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，使得Δ=4a2-12a=4a（a-3）＞0 即可。由a＞0，所以a-3＞0，解得a＞3。

當a＜0 時，符合題意的函數圖像大致如圖2 所示。由題意，只需當x=-1 或3時，y＜0 即可，即a+2a+3＜0 或9a-6a+3＜0，解得a＜-1。

圖2

綜上可知，a＞3或a＜-1。

方法2 考慮臨界情況。當a＞0時，只需圖像與x軸有兩個不同的交點，即可符合要求。先考慮特殊情況，圖像與x軸恰好有一個公共點（即拋物線頂點在x軸上）時，易求得a=3。為使圖像與x軸有兩個不同的交點，則需圖像的開口變小，即a＞3。

當a＜0 時，還是先考慮特殊情況，即當x1=-1 時，函數圖像恰好經過點（-1，0），代入表達式求得a=-1。為使圖像與x軸兩個交點的橫坐標滿足-1＜x1＜x2＜3，則需圖像的開口變小，即a＜-1。

綜合可知，a＞3或a＜-1。