心形葉片中的數(shù)學(xué)

文／遲琳琳

在大自然中，有很多數(shù)學(xué)的奧秘。一片美麗的心形葉片、一棵生長的幼苗都可以看作由一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成的（如圖1、圖2）。

圖1

圖2

我們能否利用所學(xué)的二次函數(shù)的知識(shí)提出并解決一些問題呢？

問題1 我們能否建立平面直角坐標(biāo)系，確定心形葉片下部輪廓線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式呢？

如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作二次函數(shù)圖像的一部分，且過原點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1），據(jù)此可以確定此二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？

圖3

自然界中有些植物身上有紛繁復(fù)雜的圖案，仔細(xì)觀察，甚至有驚人的秩序和構(gòu)造。因此，我們要善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。

問題2 如圖3，畫出心形葉片的對(duì)稱軸（直線AB），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（0，2），過點(diǎn)H（6，0）的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、E′是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，EE′交直線AB于點(diǎn)G。我們能否求出葉片的寬度EE′呢？

小穎是這樣想的：∵A（-2，0）、B（0，2），∴OA=OB=2。∴∠ABO=45°。

∴AH=HF=8。

∴E（6，3）?！郋F=5。

∵EF//OB，∴∠GFE=∠ABO=45°。

∵E、E'是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

∴EE'=2EG，EG⊥FG。

∴△EFG是等腰直角三角形。

當(dāng)現(xiàn)實(shí)中的實(shí)物抽象為數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們就可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過運(yùn)算、推理得到結(jié)論。因此，我們也要善于用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

問題3 小李在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5 圖像的一部分。當(dāng)天，小李發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線正好可以看作二次函數(shù)y=（x-2）2-1 圖像的一部分，直線PD與水平線的夾角為45°（如圖4）；三天后，點(diǎn)D長到與點(diǎn)P同一水平位置的點(diǎn)D′時(shí)，葉尖Q落在射線OP上（如圖5）。能否求出此時(shí)幼苗葉子的長度QD′呢？

圖4

圖5

圖6

∵幼苗越長越張開，∴x2=-10 不合題意，舍去?！郠（-4，6）。

作QH⊥PD'，交D'P的延長線于點(diǎn)H（如圖6）。

對(duì)問題的追問，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣。我們只有不斷地深入探索與發(fā)現(xiàn)，才能越發(fā)感受到自然界的神奇，也能發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)”。