一道與線段比有關的向量問題解法探索

唐宜鐘

(漢中市龍崗學校,陜西 漢中 723100)

向量兼具代數和幾何的雙重特性,同時有著現實的物理意義.因此,在遇到有關問題時,我們可以從代數、幾何和物理模型三個方面進行解答.而不同的解答方式,會從不同角度去闡釋問題,并分析其之間的內在聯系性[1].

1 解法探索

圖1 題目圖

圖2 建系法

從而(m-xD,n-yD)=2(xD-3,yD).

圖3 平行線法

過點F作FK∥AE,交BC于點K,則

圖4 面積法

不妨設SA=2,則SB=1,SC=4.

圖5 梅涅勞斯定理

杠桿原理杠桿原理亦稱杠桿平衡條件, 即要使杠桿平衡, 作用在杠桿上的兩個力矩 (力與力臂的乘積) 大小必須相等,即:動力×動力臂=阻力×阻力臂 (F1·L1=F2·L2).具體解釋如下:對于線段AB,將其視為輕質杠桿,O為支點.如果在AB的端點處分別放置質量為m1,m2的兩個質點,使杠桿平衡,則有m1·AO=m2·BO,或AO∶BO=m2∶m1.此時,支點O處所承受的質量為mO=m1+m2.

圖6 杠桿法

由杠桿法,各支點質量為

mD=mA+mB=3,mE=mB+mC=5,mF=mC+mA=6.

2 解法關聯

圖7 兩種解法關聯

圖8 各種解法關聯

3 變式訓練

圖9 變式1示意圖圖10 變式1解析圖

進而mB=6,mD=mE+mB=9.

如圖10,延長FD交BC于點Q,則

mQ=mD-mF=8.

解法2(解三角法)設BD=x,AD=y,則CD=2x.

在△ABC中,由余弦定理,有

9x2=b2+c2-bc.

①

在△ABD和△ACD中,由余弦定理,有

又∠ADB+∠ADC=π,

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

整理,得6x2+3y2=2c2+b2.

②

由①②,得9y2=b2+4c2+2bc.

圖11 變式2建系法

圖12 變式2平面幾何法

解法5(解析法) 以BC為x軸,BC中垂線為y軸,建立坐標系,不妨設BC=6.則B(-3,0),C(3,0),則D(-1,0).

4 幾點感悟

4.1 注重一題多解、多解歸一和優解選擇

一題多解和多解歸一緣于數學的多元表征性.所謂表征,是指可反復指代某一事物的任何符號或符號集.通常把事物的不同表征形式叫做該事物的多元表征.如果問題信息可以轉化為多種表征方式,且不同表征之間存在著實質性的聯系,那么我們就可以多角度地分析理解問題,從而達到一題多解和多解歸一.在本文中,向量可以從代數、平面幾何、解析幾何、物理意義等多個角度進行切入,切入后通過轉化,發現其本質的同一性,進而可以實現思維角度的多解歸一.當然,不同的解法書寫表達、思維難度、運算復雜度各不相同,在具體做題過程中,要做到合理選擇.如本文所述問題出現在選擇填空題中,杠桿法無疑是最快捷的方法[3].

4.2 在解題中逐漸提升知識關聯的認知

鄭毓信先生提倡教學時,不是求全,重要的是求“聯”,這里的“聯”就是聯系、關聯.認知關聯包括知識關聯、研究路徑關聯、研究方法關聯.在解題過程中,教師需著眼認知關聯教學,將研究內容與已有認知經驗關聯,引導學生在發現與建立關聯中規劃研究路徑“延伸線”,在揭示與確認關聯中激活研究方法“銜接點”,在內化與完善關聯中形成數學知識“生長鏈”,從而提升學生的思維品質,發展學生的思維能力.在本文中,從基底法出發,到向量的參數方程法,實現了解題路徑的延伸.而面積法、定理法、杠桿法、奔馳定理法既實現了向量代數和幾何性質的銜接,又完成了知識的生長[4].

4.3 適當積累高位知識

所謂高位知識,是指在學生知識體系之外,高于學生認知的知識,其包括高等數學的弱化、初等數學的升華、跨學科的融合等.高位知識并非深不可測,它只需學生在現有知識體系內,往前邁出一小步.如本文中的梅涅勞斯定理和塞瓦定理,只需要初中平面幾何知識就可理解.適當地積累高位知識,就能站在更高角度尋找路徑,貫穿各種“形似”“神似”的想法,發現某些數學必然的本質.如站在“面積法”的角度,就可以展望到本文中杠桿法和奔馳定理法,也可延伸到(梅涅勞斯、塞瓦)定理法,而定理法又可解釋平行線法和面積法.