虧格不為1的二次可逆LV系統的極限環分支*

吳莎， 吳奎霖

貴州大學數學與統計學院， 貴州 貴陽 550025

自從Hilbert第16 個問題被提出以來，極限環個數的問題就成為平面微分系統定性理論研究的熱點問題之一.我們研究具有小擾動項的多項式可積系統：

其中M(x，y)是對應H(x，y)的積分因子.用環性表示多項式系統在小擾動下分支出的最大極限環個數.研究Abel積分I(h)孤立零點個數問題涉及弱化的Hilbert第16問題.系統（1）的后繼函數可表示為

其中d(h，θ)定義在流的一個橫截線段上，這個流由哈密頓函數H=h給出.稱Mk(h)為k階Melnikov 函數.未擾可積系統(1)ε=0的周期環域在擾動下產生極限環個數的上界等于d(h，ε)中第一個非零的Melnikov函數Mk(h)的零點個數.

在文獻（Zoladek， 1994）里，中心在原點的平面二次系統分為以下幾類：

1 預備知識

我們借助切比雪夫系統性質證明主要結果.首先介紹了切比雪夫系統的定義以及相關的一些結論.

定義1 令f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x)是開區間L?R上的解析函數.

（a）如果任何非平凡線性組合

在L上至多有n- 1個孤立零點，則(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個切比雪夫系統（簡稱，T-系統）.

（b）如果對于任意的k= 1，2，…，n，(f0(x)，f1(x)，…，fk-1(x))是L上的一個切比雪夫系統，則稱(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個完全切比雪夫系統（簡稱， CT-系統）.

（c）如果對于任意的k= 1，2，…，n，所有非平凡線性組合

在L上至多有k- 1 個孤立零點（計算重數），則稱(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))是L上的一個廣義的完全切比雪夫系統（簡稱， ECT-系統）.

顯然，ECT-系統是CT-系統，反之不成立.ECT-系統考慮零點重數，但CT-系統不考慮零點重數.下面介紹ECT-系統的一些性質.

定義2 令f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x)是開區間L?R 上的解析函數.(f0(x)，f1(x)，…，fn-1(x))在x∈L處的連續朗斯基行列式為

引理1（Borwein et al.， 1995） (f0，f1，…，fn-1)是L上的一個ECT-系統，當且僅當對任意的k=0，1，…，n- 1，

2 定理1的證明

圖1 系統（3）的局部相圖Fig.1 The local phase diagram of system （3）

其中

接下來借助數學軟件來證明以下引理.

通過計算我們知道：ψ0(0)是ψ0(v)在(0，1)上的最大值；當v≈0.570 0 時，ψ1(v)在(0，1)上有最小值7.399 3 × 1021；對于ψ2(v)，由Sturm定理可知其在(0，34 - 1)上沒有零點.所以，對于任意u∈(0，34 -1)，3 個朗斯基行列式W[L0(v，z)，L1(v，z)，L2(v，z)]，W[L1(v，z)，L2(v，z)]，W[L2(v，z)]在(0，34 - 1)上無零點.從而可知{?0(v)，?1(v)，?2(v)}是開區間(0，34 - 1)上的一個ECT-系統.

定理1的證明 由引理2，引理4和引理5可得定理1.