一類時滯分數階Volterra微積分方程組的嚴格誤差分析*

鄭偉珊

韓山師范學院數學與統計學院， 廣東 潮州521041

我們研究的分數階時滯Volterra微積分方程組形式如下：

這里τ∈[0，T]，0 <γ< 1，Dγ和Γ 分別表示Caputo 分數階求導算子和Gamma 函數，并已知核函數K?和源函數G是給定的函數.假定這些函數都在對應的定義域上充分光滑.延遲項是ψ(τ)并滿足：

Volterra 型方程常用于描述捕食系統中掠食者與獵物進行互動時的動力學行為，一直備受廣泛關注.關于譜配置方法研究Volterra 積分方程，湯濤院士首次采用Legendre 譜配置方法研究Volterr 積分方程（Tang et al.，2008），隨后與陳艷萍教授合作探討解充分光滑條件下的弱奇異Volterra 積分方程（Chen et al.，2009）和解非充分光滑的弱奇異Volterra積分方程（Chen et al.，2010），提出并分析了一種高精度的Jacobi譜配置方法，并引起了大量相關后續研究（Wei et al.，2012；Zhang et al.，2013；Tohidi et al.，2014；Yang et al.，2014；Gu，2016；Cai et al.，2018；Gu，2020；Zheng，2021），這些研究皆基于譜分析具有顯著的誤差指數收斂性.近年分數階方程發展迅速，由于其具有廣泛的應用背景，諸如反應擴散問題、吸煙模型、疾病傳播等（Zeng et al.，2014；Khan et al.，2019；Shah et al.，2020），Volterra 型方程的研究也逐步邁向分數階領域（Yang et al.，2014；Cai et al.，2018），然而發展緩慢，特別是考慮時滯因素的成果幾乎沒有，事實上時滯因素普遍存在，故本文將對一般時滯分數階Volterra 微積分方程組進行嚴格的誤差分析，為此需要進行如下變量變換，令

下面介紹下文的組織結構，第1節中給出一些有用的引理，這些引理對第2節的收斂性分析起著關鍵的作用，最后一節以一個數值例子驗證理論分析的正確性.需要指出的是通篇文章中C表示一個獨立于N的正的常數，但它依賴于給定的函數.

1 重要引理

2 誤差估計

解，當ρ∈(0，1)時為近似分數階導數.定義eρ(t) =Dρ f(t) -Uρ(t)為誤差函數，其中e0(t) =e(t).若N充分大，則有如下結論

下面逐項估計Ij(t)，j= 0，1，2，3，4.利用式（19）和引理2可得

3 數值實驗

表1 f - U的L∞誤差和L2?-r，- r誤差Table 1 The errors of f - U in L∞ and L2?-r，- r norms

表2Dγ f -Uγ的L∞誤差和L2?-r，- r誤差Table 2The errorsofDγ f-Uγ in L∞andL2?-r，-r norms

為了可視化展示誤差的指數衰減性，借助圖形進行描述.圖1是數值誤差Dρ f-Uρ的L∞誤差和L誤差，這里2 ≤N≤20，從圖形上可以一目了然發現誤差呈指數衰減.同時將精確解與近似解、精確分數階導數與近似分數階導數進行繪圖（見圖2），從中發現它們分別高度一致，這更進一步驗證了本文的結論.

圖1 Dρ f-Uρ在不同配置點下的L∞誤差和L2?-r，-r誤差比Fig.1theerrorsofDρ f-Uρversusdifferentcollocation points in L∞ and L2?-r， - r norms

圖2 精確解/精確分數階導數與近似解/近似分數階導數的對比Fig.2 Comparison between exact solution/exact fractional derivative and approximate solution/approximate fractional derivative