帶p-Laplace算子的離散混合邊值問(wèn)題負(fù)凸解的存在性*

趙亞麗， 陳天蘭

西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070

設(shè) Z 是整數(shù)集，對(duì)任意a，b∈Z 且a

Ercole et al（.2001）運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類(lèi)帶p-Laplace 算子的離散混合邊值問(wèn)題

正解的存在性，其中λ> 0 是參數(shù)，T為固定的正整數(shù)，T≥1，且F： [1，T]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)連續(xù).Tian et al.（2008）運(yùn)用臨界點(diǎn)理論研究了一類(lèi)帶p-Laplace 算子的離散 Neumann 邊值問(wèn)題

負(fù) 凸 解 的 存 在 性.若u(t) 滿(mǎn) 足 問(wèn) 題（1）～（2），且 對(duì) 任 意t∈[2，T- 1]Z有u(t) ≤0，同 時(shí)，由 于t∈[2，T- 1]Z有 △2u(t- 1) ≥0，則u(t) 是問(wèn)題（1）～（2）的負(fù)凸解.運(yùn)用變量代換υ(t) = -u(t)，則問(wèn)題（1）～（2）轉(zhuǎn)化為

顯然，問(wèn)題（3）～（4）正凹解對(duì)應(yīng)問(wèn)題（1）～（2）負(fù)凸解，因此，只需討論問(wèn)題（3）～（4）正凹解的存在性，進(jìn)而獲得問(wèn)題（1）～（2）負(fù)凸解的存在性.本文總假定：

(H0)f： [2，T- 1 ]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)連續(xù).

本文主要結(jié)果如下.

定理1 假定 (H0) 成立且f滿(mǎn)足

在[2，T- 1 ]Z上一致成立，且

其中M1> 1，則問(wèn)題（1）～（2）至少存在一個(gè)負(fù)凸解.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1（Krasnosel?skiǐ，1964） 設(shè)X是Banach空間，K是X的非空閉子集，Ω是X的一個(gè)子集，記

2 主要結(jié)果的證明

定義K上的非線(xiàn)性算子A，

故引理1中（i）成立.

且 2φ-1p[(T- 3)?2(σd)]≥σd.故條件(H2)成立.

由定理1可知，問(wèn)題（3）～（4）至少存在一個(gè)正凹解，則問(wèn)題（1）～（2）至少存在一個(gè)負(fù)凸解.定理3的證明 類(lèi)同定理2 的證明.