生物阻抗譜參數提取算法研究

任朝輝，張 博

（楊凌職業技術學院，陜西咸陽）

概述

生物組織的電特性即生物領域中的“靜鉀動鈉”概念，簡單來講，生物體內的組織、細胞在進行正常生理活動時，由大腦下達行動“指令”，這一指令表現在生物體內，就是一系列的電信號[4]。細胞在靜態電位時，主要由體內的鉀離子控制，而在動作電位時，主要由體內的鈉離子控制，陽離子的內流或者外流導致了細胞膜兩側存在電位差，這一差值就產生了生物組織的電特性。

眾所周知，細胞是構成生物的最小單位。在不同的生理及病理狀況下，生物細胞具有不同的電特性，細胞膜、細胞內液、細胞外液構成單個細胞的等效電路模型[5]。基于此，生物阻抗測量得以實現。在低頻電流下，激勵無法穿過細胞膜，生物細胞呈介電特性；在高頻電流下，激勵穿過細胞膜，生物細胞呈導電特性[6]。研究生物細胞的電特性，特別是其隨頻率的變化特征，將有助于準確辨識生物組織的功能狀態。

利用Cole-Cole 生物電阻抗特征方程可以有效的對生物阻抗參數提取和分析。查閱文獻之后發現，生物阻抗參數提取多采用Cole-Cole 擬合的方式。

盡管復阻抗- 頻率函數呈現出顯著的非線性特性，傳統的方法如梯度下降法卻無法達到預期的擬合精度。非線性最小二乘法在執行擬合任務時，常常遇到無法收斂或僅能找到局部解的問題，這種現象通常是由于初始值的選擇不當所導致的。此外，該方法對于等效電路擬合的適應性也存在一定問題。相比之下，遺傳算法憑借其隨機搜索能力，能夠擺脫初始值的影響，因此在初始值估計方面表現得更為優越。本文計劃采用遺傳算法(GA)與非線性最小二乘法(NLS)相結合的方式(NLS-GA)進行等效電路擬合。通過非線性最小二乘程序進行迭代求解再加上遺傳算法提供的參數初始值，收斂結果為最終的電路擬合參數。

1 生物阻抗譜檢測方法

單個細胞在通入低頻交流電時，低頻電流被細胞膜阻斷而無法通過，此時細胞膜處于高阻態。當不斷增加激勵電流的大小時，高阻態逐漸消失，此時電流可以輕松穿過[2]。圖1 所示為生物細胞的三元件等效電路模型。由于細胞膜存在介電特性，所以加入一個與細胞膜并聯的等效電容Cm來模擬真實的細胞狀態，當電流達到一定頻率時，就可以輕松穿過細胞膜，Re在這里用來模擬近似細胞外的電阻值，Ri在這里用來模擬近似細胞內的電阻值[3]。

圖1 理想狀態下的生物細胞三元件等效模型

通常情況下，當電極接觸到細胞懸浮液時，會產生一個具有相同電量且符號相反的過剩電荷，這種現象被稱為雙電層（Electrical Double Layer，EDL）。為了模擬實際生物測量的環境，我們需要引入等效電阻和等效電容來構建等效電路模型，修正后的檢測等效電路如圖2 所示。

圖2 細胞等效電路模型

在對等效電路進行擬合時，主要涉及到5 個待估參數作為遺傳算法的決策分量，分別是：Cdl：雙電層電容；Rdl：雙電層電阻；CM：細胞膜電容；Rcyto：細胞質電阻；RS：細胞外液電阻，圖中ZD表示細胞檢測阻抗。

生物組織的復阻抗特性與頻率之間的關系通過Cole-Cole 圖表得以呈現。對于精確地識別和分析生物組織的電學屬性，一種常見的策略是利用Cole-Cole擬合技術對阻抗譜進行分析，從而揭示出生物組織內電阻原件和電容原件的組成元素如何隨著頻率的變化而調整其行為模式。等效電路的Cole-Cole 模型為第四象限內的一段圓弧，圓心在第一象限。如圖3 所示。

圖3 Cole-Cole 等效模型

構建生物阻抗特征方程為我們提供了一個有力的理論框架，用于獲取并解析生物阻抗參數，科爾擬合法多用于生物阻抗參數的提取。科爾原理作為生物阻抗譜測量的基礎，其建立起來的特征方程，為生物組織的特征參數提取提供了良好助力。由于生物組織存在介電特性，此時若對生物組織外加激勵電流，那么節點參數會隨著激勵頻率的改變而發生改變，即Schwan[1]提出的生物組織測量過程中存在三種頻率散射現象，如圖4 所示。

圖4 生物組織頻率特性曲線

2 基于遺傳算法的初始值估計

利用等效電路模型，我們能夠構建一個包含所有元件參數作為求解變量的復阻抗- 頻率響應函數模型。然而，這個模型呈現出顯著的非線性特性，因此需要運用非線性最小二乘法來處理這些復雜的曲線。此外，我們還借助了遺傳算法(GA)來估算初始值，從而進一步降低擬合誤差。

2.1 遺傳算法

阻抗參數出發點是從滿足約束條件的可行解中優選出使得最符合目標函數要求的解，在此處即最小的解。除此之外，遺傳算法對全局變量進行最優檢索的方式在最優解擬合方面具有更大的優勢，具體描述為求解目標函數極值(最小值)的數學模型：

式中：向量X=[x1,x2,...,xn]T為所要求解的擬合參數；（fx）為目標函數；U 為可行解空間。

2.2 適應度函數模型建立

在得到生物組織等效電路之后，可以根據復阻抗- 頻率數學模型建立相應的遺傳算法目標函數模型和適應度評價指標，在對等效電路進行擬合求解時，建立如下標函數模型：

式中：z'和z"分別為通過測量得到的阻抗譜數據的實部和虛部標準值；z'和z"分別為通過遺傳算法擬合得到的實部和虛部擬合值。

尋找等效電路擬合的最優參數估計x 的過程，實際上是通過計算一系列目標函數來達到這一目的。根據公式(2)，我們知道目標函數的值必須大于零，而且個體目標函數值越小，其對應的參數估計值x 就越精確，這意味著這個參數的適應程度更高。因此，我們可以將適應度函數模型定義為：

Q 的值越大，F(x)的個體適應程度越小;Q 的值越小，F(x)的個體適應程度越大。

在建立了相應的適應度評價指標后，在每次演化計算之前，對每個個體適應度進行計算，然后通過選擇算子對個體進行優選。

3 非線性最小二乘擬合

最小二乘擬合的基本原理就是使得實驗測量值和預測值之間的誤差平方和最小，從而找到最佳函數匹配模型。非線性最小二乘問題可以定義為：

式中：x=[x1,x2,...,xn]T為需要求解的擬合參數；函數F（x）為需要求解的代價函數；F(x*)為函數預測值；a為實驗測量值；e（x）為二者之差；x*為代價函數的全局最優點。若x*為局部最優點，則在x*的搜索區域δ處，滿足如下條件：

3.1 目標函數模型建立

在生物阻抗譜研究領域，一旦構建了等效電路模型，我們就可以通過角頻率和m 個電路元件的特性x1，x2，…，xm來描述阻抗z。具體來說，阻抗z 可以被表示為z（ω，x）的形式。為了實現生物等效電路的最小二乘擬合，我們的目標是找到m 個參數的最佳估計值，從而使得目標函數F 達到最小值，最終可建立如下目標函數模型：

3.2 高斯- 牛頓求解

對式（7）進行高斯- 牛頓求解。在對生物電阻抗譜數據擬合過程中，由于參數初始值x0l已由遺傳算法給出，與預測真值之間較為接近，所以在進行高斯-牛頓求解時常把非線性誤差函數轉化為線性函數。令該擬合參數初始值x0l和預測真值xl的差值Δl=xl-x0l，最終通過不停迭代計算尋找函數的局部最小值，所以誤差函數fRe和fIm（x）可以近似為：

雅可比矩陣JRe（x）和JIm（x）為函數fRe和fIm（x）的一階導數，對Δl 進行求解，使得目標函數變為式（10）：

為了求解目標函數極值，對F（x+Δx）進行求導，并使得F'（x+Δx）=0，可求得：

因此，對于生物阻抗譜系統而言，在建立了生物組織對應的等效電路函數模型之后，對函數模型進行高斯- 牛頓求解并設定擬合參數的初始值，就可以通過方程（11）計算出目標函數初始估計值和最優估計之差Δl。將求解結果代入下式，即可求得估算值：

在混合算法的設計中，遺傳算法已經提供了足夠優良的初始參數估計，且滿足一定的收斂條件。迭代收斂條件定義為：

當最終結果滿足最終收斂條件，當前計算所得的估計值近似等于真實值。

4 擬合實驗及結果分析

為了比較非線性最小二乘法(NLS)、遺傳算法(GA)以及它們的結合體——混合算法(GA-NLS)在數據擬合方面的表現，我們選擇了一個特定的細胞等效電路模型作為測試對象。首先，我們構建了一個待測電路，該電路由預先確定的標準電阻和電容組成。然后，利用阻抗分析儀獲取了阻抗譜的數據，并通過計算平均值來減小隨機誤差的影響。接下來，我們使用這三種算法對阻抗數據進行了多次處理，目的是讓擬合結果具備統計學的有效性。

最后，我們分別使用這三類算法對細胞等效電路的阻抗譜數據進行了擬合，并且希望找到一個能夠盡可能地使擬合數據與測量數據相匹配的擬合算法。因此，我們主要依賴于殘差平方和來評估擬合算法的精確度。擬合情況對比如圖5 所示。

圖5 不同算法擬合效果

不同算法標擬合結果統計如表1 所示。

表1 不同算法擬合結果對比

從圖5 可以看出，在單獨使用NLS 擬合時，由于參數初始值具有隨機性，存在較大的擬合誤差。在單獨使用GA 擬合的情況下，雖然最終的擬合結果相比于NLS 精度要高很多，但最終的擬合精度仍然要比經過進一步NLS 迭代的要小。且從表1 可以看出，NLS-GA 數據變化總量SS 最小，Significance F 的值也最小，這表明NLS-GA 的值更有意義，更貼近實際測量值。

5 結論

本文在生物組織等效模型的基礎上，提出了一種阻抗譜參數提取方法，采用遺傳算法（GA）提供參數初始值，結合非線性最小二乘法（NLS）迭代的混合方式（GA-NLS）進行阻抗譜參數提取。實驗結果表明，NLS-GA 在等效電路擬合方面更加接近實際測量值，其所得數據更具有意義。