探究如何利用諧振電路準確測量電容和電感

魯 潤

(永寧縣第二中學 寧夏 銀川 750100)

在電感、電容和電阻三者串聯或并聯組成的簡單電學振動系統中,當正弦波信號源的輸出達到某一頻率時,RLC電路的電流達到最大值,即產生諧振現象．發生諧振現象時,電路中的電流、電壓、阻抗、容抗、感抗等相關參數均處于某種特殊狀態,因而在實際中有著重要的應用,如在放大器、振蕩器、濾波器電路中常用作選頻電路．那么能不能利用諧振電路的這一特性測量電容和電感呢?筆者利用RLC電路諧振時電路參數之間關系,采用控制變量法,推導出測量電容和電感的理論基礎;通過設計實驗,多次測量探究,并對相關數據深入分析,發現利用RLC串聯諧振電路測量電容和電感是切實可行的,但要想準確測量電容或電感是有條件的;最后還探究了電阻的改變對實驗結果影響．

1 實驗原理

1.1 利用RLC串聯諧振電路測量電容和電感

在RLC串聯電路中,若接入一個電壓幅度一定,頻率f連續可調的正弦交流信號源(圖1),則電路參數都將隨著信號源頻率的變化而變化．

圖1 RLC串聯諧振電路

電路總阻抗

圖2 RLC串聯諧振電路I隨ω的變化曲線

諧振時,通常用品質因數Q來反映諧振電路的固有性質,有

圖3 I-f關系圖

在諧振時,UR=Ui,UL=UC=QUi,所以電感和電容上的電壓達到信號源電壓的Q倍,故串聯諧振電路又稱為電壓諧振電路．

在RLC串聯電路中,當調節電源頻率,使其滿足XC=XL時,則電路中的電流和電源電壓同相位,電路的阻抗Z0為最小,Z0為諧振阻抗,且Z0=R,而電路中的電流為最大,也就是R兩端的電壓最大,所以調節信號發生器的輸出頻率與毫伏電壓表上的讀數變化趨勢如圖4所示．

圖4 電壓表讀數變化趨勢圖

根據諧振特點,當信號源端輸出電壓相同的情況下,觀察電阻R兩端電壓U是否達最大值來判斷電路何時發生諧振[1]．只要記下電路在最大電壓UR時對應的輸出頻率,即為諧振頻率f0,就可以計算出電感L,因為此時諧振頻率為

則線圈電感

所以在RLC串聯電路中,如果已知電容,就可以求出電感．

反之,已知電感,就可以求出電容．

1.2 利用RLC并聯諧振電路測量電容和電感

并聯諧振是指在電阻、電容、電感并聯電路中,出現電路端電壓和總電流同相位的現象．

我們知道,電路在并聯諧振時的諧振頻率為

一般情況下,線圈的電阻遠小于線圈感抗,即RL=XL,若忽略線圈電阻RL,則有

確定諧振頻率后,由公式即可計算出線圈電感L的大小,反之,若已知電感,就可以求出電容．在并聯諧振電路中,回路的總電流I為最小,諧振回路的總阻抗為最大,所以U的波形幅值為最大．因此,并聯諧振也叫電流諧振．

2 實驗儀器與裝置

實驗裝置如圖5所示．YB2172型交流毫伏表, DH4503型RLC電路實驗儀．

圖5 實驗裝置圖

3 實驗方法

檢查實驗儀器,按照圖6所示實驗線路圖連接線路．L和C之值為實驗儀器的標稱值,根據電感和電容的選取,選擇一個適當的R值,本實驗中R=30 Ω．當S與“2”接通,調節US的電壓輸出幅度,保證各種頻率測量時的有效輸出電壓值都是1.0 V．

圖6 實驗線路圖

3.1 利用諧振電路測量電感

(1)當開關S撥向“1”時,交流毫伏表測量的是電阻R兩端電壓UR．假定已知電容C,保持信號源的輸出幅度恒定為1.0 V．

(2)改變信號源頻率,用交流毫伏表測出相應頻率下UR的大小．

(3)找出電阻R兩端電壓UR最大值,對應的頻率f0即為諧振頻率[2]．

注意：因為信號源不是恒壓源,它有固定的內阻,而外電路是隨頻率變化而變化的阻抗,因而信號源的輸出幅度也必然隨頻率改變而變化．這就給測量UR的最大值帶來了麻煩,必須反復多次調節輸出電壓US,保證各種頻率測量時的有效輸出電壓值都是1.0 V,以提高實驗準確性．

(4)改變電容C,重復以上三步,進行多次實驗．

(5)將實驗數據代入,計算可得電路中的電感．

3.2 利用諧振電路測量電容

(1)當開關S撥向“1”時,交流毫伏表測量的是電阻R兩端電壓UR．假定已知電感L,改變信號發生器的頻率,觀察記錄各次頻率變化和交流毫伏表變化情況(幅頻特性),確定UR的最大值以及此時的諧振頻率f0．

(2)按照以上3.1(1)到3.1(3)實驗操作方法,確定電容變化時,對應的諧振頻率f0．

(3)將實驗數據代入,計算可得電路中的電容．

3.3 電阻對電路的影響

(1)調節實驗儀器使U=1.0 V,C=0.04 μF,L=110 mH,改變信號發生器的輸出頻率f,分別記錄當電阻R=30 Ω時和R=300 Ω時的實驗數據．

(2)按照上述步驟,可再次調節實驗儀器使U=1.0 V,R=30 Ω,C=0.5 μF,L=10 mH,改變信號發生器的輸出頻率f,分別記錄當電阻R=30 Ω時和R=5 kΩ時的實驗數據．

(3)多次測量,對實驗數據進行分析處理,得出結論．

4 實驗數據及處理

4.1 利用串聯諧振電路測量電感可行性研究

實驗中U=1.0 V,R=30 Ω,改變信號發生器的頻率f,其他實驗數據見表1～4.

表1 C=0.5 μF時實驗數據

對表1數據進行處理:標準電感L=10 mH,將數據代入,則有

實驗相對誤差

表2 C=0.6 μF時實驗數據

同理對表2數據處理,標準電感L=10 mH,則有

L′=1.018 4×10-2H

實驗相對誤差

ε=1.84%

表3 C=0.05 μF時實驗數據

同理對表3數據處理,標準電感L=10 mH,則有

L′=1.010 1×10-2H

實驗相對誤差

ε=1.01%

表4 C=0.06 μF時實驗數據

同理對表4數據處理,標準電感L=10 mH,則有

L′=1.004 8×10-2H

實驗相對誤差ε=0.48%

由表1到表4數據分析、處理,可以看出:利用RLC串聯諧振電路測量電感是切實可行且誤差較小的．

4.2 利用諧振電路測量電容可行性研究

實驗中U=1.0 V,R=30 Ω,其他實驗數據見表5～8．

表5 L=50 mH時實驗數據

對表5數據處理:

標準電容C=0.5 μF,將數據代入,則有

5.015 8×10-7F

實驗相對誤差

表6 L=60 mH時實驗數據

同理對表6數據處理,標準電容C=0.5 μF,則有

C′=5.098 1×10-7F

實驗相對誤差

ε=1.96%

同理對表7數據處理,標準電容C=0.5 μF,則有

C′=4.991 1×10-7F

實驗相對誤差

ε=0.18%

表8 L=3 mH時實驗數據

同理對表8數據處理,標準電容C=0.5 μF,則有

C′=5.000 9×10-7F

實驗相對誤差ε=0.018%

由表5到表8數據分析,可以看出:利用RLC串聯諧振電路測量電容是可行且誤差較小的．

4.3 利用RLC串聯諧振電路準確測量電感的研究

實驗時U=1.0 V,R=30 Ω,標準電感為110 mH,其他實驗數據見表9.

表9 改變電容實驗數據及處理

續表9

說明：σL為實驗相對誤差．

通過表9實驗數據分析,可以看出:利用RLC串聯諧振電路準確測量電容,是有條件的．當電感一定,電容比較小時,測得的電感相對誤差比較大．經過多次實驗,得出若電容C大于3.9×10-9F時,利用DH4503型RLC電路實驗儀能夠較準確地測量電感,可以將相對誤差控制在5%以內．

綜上所述,在電容已知的情況下,如果電容較大,可以利用RLC串聯諧振電路較準確測量電感．

4.4 利用RLC串聯諧振電路準確測量電容的研究

實驗中U=1.0 V,R=30 Ω,標準電容為1.1 μF,其他實驗數據見表10．

表10 改變電感實驗數據及處理

說明：在使用的DH4503型RLC電路實驗儀中,電感的變化范圍是有限的．只能在1～110 mH之間變化,所以本實驗所得出的結論可能具有局限性．σC為實驗相對誤差．

通過表10實驗數據分析,可以得出:在實驗的誤差范圍內,無論電感值是大是小,都可以利用RLC串聯諧振電路較準確地測量出電路中的電容．

綜上,在電感已知的情況下,可以利用該儀器較準確地測量電容,而不受電感值大小的影響．

4.5 探究電路中電阻對實驗的影響

(1)實驗中U=1.0 V,C=0.04 μF,L=110 mH,改變電阻,實驗數據見表11和表12．

表11 R=30 Ω時實驗數據

表12 R=300 Ω時實驗數據

對表11和表12數據進行對比分析,可以看出:改變電阻,在實驗誤差范圍內,對實驗結果基本沒有影響．

(2)實驗中U=1.0 V,C=0.5 μF,L=10 mH,改變電阻,實驗數據見表13和表14．

表13 R=30 Ω時實驗數據

表14 R=5 kΩ時實驗數據

從表13和表14可以看出,當電阻較大(實驗中R=5 kΩ)時,調節信號發生器的頻率f,發現R兩端的電壓只在0.980～1.00 V之間變化,變化幅度非常小,難以準確讀數,這給確定RLC串聯諧振電路的諧振頻率f0帶來很大困難,所以在這種情況下,利用諧振電路是無法準確測量電感和電容的．

這種現象的本質原因分析:

(1)由于實驗采用通過改變輸入信號的頻率,觀察電阻R上的最大輸出電壓,來獲取諧振頻率f0的方法,如果電阻R比較大,就會造成諧振品質因數Q值太低,諧振強度不夠,諧振頻率附近電阻R兩端電壓變化不靈敏,所以電壓的變化范圍必定很小．

(2)在串聯諧振時由于電感與電容兩端的電壓降大小相等方向相反,在電路中他們的作用是彼此抵消的,所以外加電壓相當于完全被電阻R所消耗,即U=UR=IR,顯然此時電路中的電流值就只取決于電阻R,而與電感L和電容C無關,也就是說無法進行測量．

綜上所述,雖然理論上電阻的改變并不影響結果,但是為了提高測量的準確度,在實際測量過程中,建議應選取阻值較小的電阻進行實驗．

5 討論

通過多次實驗探究,發現利用RLC串聯諧振電路測量電容和電感是切實可行的,但要想準確測量電容或電感是有條件的．

(1)在電容已知的情況下,當電感一定,電容比較小時,測得的電感相對誤差比較大．當電容C大于3.9×10-9F時,利用DH4503型RLC電路實驗儀能夠較準確地測量電感,可以將相對誤差控制在5%以內.

(2)在電感已知的情況下(電感量只能在1～110 mH之間變化),可以利用RLC串聯諧振電路較準確地測量電容,但應注意控制電阻R為較小值．

注意在本實驗中筆者使用的是毫伏電壓表判斷電路何時發生諧振,所以必須保證在端電壓輸出相同的前提下比較測量值UR,至于我們能否在確定諧振頻率時引入示波器?示波器是不是測量更為直觀、準確?可以作為另一個設計性實驗進行研究．實驗過程中還應注意不能長時間持續實驗,不然會造成諧振電路的LC總內阻發生變化、諧振頻率不穩定、諧振品質因數低、電路損耗較大、一些特性不穩定等等[3]．