彈簧耦合擺在復雜情況下的小振動解

高金澤 王愛記

(北京師范大學物理學系 北京 100875)

自然界中相互作用的振動系統非常普遍,如電學中電容和電感耦合的振蕩回路[1]、固體晶格中相鄰原子的振動模式[2]以及光子和聲子耦合產生的電磁耦合場[3]等.相互作用將使振動系統呈現豐富的運動學行為,因此對其研究十分必要.在力學中,彈簧耦合擺也屬于此類系統.由兩個單擺懸掛于同一水平線上,兩擺球以彈簧連接,實現振動的相互耦合.

目前關于彈簧擺的研究文章中,大多針對兩擺懸掛點間距離恰好等于彈簧原長的情況進行研究[4-6],具有一定局限性.當兩單擺懸掛點間的距離略大于或小于彈簧原長時,平衡狀態下單擺在豎直方向的角度偏移使動能和勢能的表達式更為復雜,呈現的拍現象也受更多因素的影響.本文從兩擺間距離略大于彈簧原長的情況入手,在小角度近似的情況下從分析力學的角度進行求解.筆者利用MATLAB計算了非小角度近似下的數值解,對其運動產生的拍進行探究,與兩擺間距離等于彈簧原長的情況對比.對于兩擺間距離略小于彈簧原長也可以用類似的求解方法.

1 模型構建

圖1為彈簧擺在靜止狀態下的示意圖.輕質彈簧勁度系數均勻為κ,輕質擺線長l,小球A,B均視為質點,質量均為m,初始偏角均為θ0,兩擺懸掛點間距離為L,彈簧自然長度L0,L0略小于L,所需物理量均在圖中標出.

假設不考慮外界空氣阻力等耗散影響,彈簧與小球在豎直平面內運動.兩擺的角度取逆時針為正方向,處于平衡狀態時,設彈簧壓縮量為Δx0,小球A的平衡角度為+θ0,小球B的平衡角度為-θ0.

圖1 靜止狀態下系統示意圖

由虛功原理得

mgδy+κΔx0δx=0

(1)

又有

δy=lδcosθ0

Δx0=L-2lsinθ0-L0

δx=lδsinθ0

(2)

聯立式(1)、(2),設l0=L-L0,則有

mgtanθ0=κ(l0-2lsinθ0)=κΔx0

(3)

如圖2所示設擺線偏離平衡位置的角度為θ1、θ2.

圖2 運動過程中系統示意圖(圖中兩小球偏離豎直

則小球A的位置坐標為

y1=-lcos(θ0+θ1)

B的位置坐標為

設懸掛點所在的水平線為重力勢能零點,系統平衡狀態下的彈簧彈性勢能為彈性勢能零點,則系統的動能T、重力勢能Vg和彈性勢能Vk滿足

(4)

Vg=mg(y1+y2)

(5)

(6)

(7)

Δx,Δy可表示為

(8*)

即

(8)

對式(5)小量展開可得

式(3)、(8)代入式(7)可得

(10)

聯立式(9)、(10),令V=Vg+Vk,則可得

(11)

其中

(12)

(13)

2 簡正分析

2.1 求解簡正頻率

拉格朗日量L中含有關于坐標θ1、θ2的耦合項,在求解問題時,往往通過構造矩陣V和T求解簡正頻率進而求解簡正坐標.

由式(4)、(11),列出勢能、動能對應的矩陣[7]

(14)

并記P=V-ω2T,令det(P)=0,得

解得系統的簡正頻率

(15)

由于

又C<0,故ω1、ω2均為實數,且ω1<ω2.

2.2 構造簡正坐標

代入簡正頻率ω后,矩陣P的本征矢量即為原廣義坐標線性組合的系數,如此可得到各簡正頻率ω對應的簡正坐標.

當ω=ω1時,代入矩陣P得

其特征向量n1=(1,1).

當ω=ω2時,代入矩陣P得

其特征向量n2=(1,-1).

所以對應ω1的簡正坐標為ξ1=θ1+θ2,對應ω2的簡正坐標為ξ2=θ1-θ2.

將ξ1、ξ2代入拉格朗日量得

(16)

得到拉格朗日運動方程

(17-1)

(17-2)

可以通過求解式(17-1)、(17-2),驗證其對應的簡正頻率正是式(15)中的ω1、ω2.

2.3 近似解與非近似解的對比

非近似解對動能T、勢能V中的小量θ1、θ2不做近似處理.

根據

Vg=mg(y1+y2)

得到拉格朗日量

L=T-(Vg+Vk)

通過MATLAB中的ode45解拉格朗日運動方程得到數值解.

圖3 取時θ1、θ2的近似解與非近似解

圖4 取時,非小角度情況下近似解與非近似解對比

3 與擺懸掛點間距等于彈簧原長情況的對比

當兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長時,彈簧耦合擺的運動依舊形成拍.擺懸掛點間距等于彈簧原長時,簡正頻率[6]為

(18)

由式(21),可以得到拍頻ω0

(19)

當2κl?mg時,對ω0進行小量展開得到

圖5 取ωp=10 rad/s時,ω0小量展開的近似解與標準解對比

當ωs逐漸增大,2κl?mg的條件不再滿足,小量展開的近似解與標準解曲線出現偏差.

擺懸掛點間距大于彈簧原長時,由式(18)得拍頻ω>為

(21)

當2κl?mg時,對ω>進行小量展開

(22)

故拍頻ω除正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp外,還與平衡狀態時的偏移角度θ0有關.

圖6 2κl?mg情況下拍頻對比圖

圖6驗證了上述結論,即在其他條件相同情況下,兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長的情況下,拍頻恒大于懸掛點距離大于彈簧原長的情況.

4 總結

在非小角度情況下,將近似解和非近似解的運動圖像進行對比,發現近似解的拍頻稍大于非近似解,近似計算不再合理.

在2κl?mg的條件下,耦合擺運動的拍頻滿足式(25),即拍頻正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp,且與平衡狀態時偏移角度θ0有關.兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長系統的拍頻恒大于懸掛點距離大于彈簧原長的系統.