正(余)弦交變電流峰值與有效值關系教學探討*

梁沛林

(深圳市西鄉中學 廣東 深圳 518102)

峰值和有效值是描述交變電流的重要物理量.《普通高中物理課程標準(2020年版)》中對交流電的教學內容描述為:“通過實驗,認識交變電流.”“用示波器或其他設備觀察交變電流的波形,并測算其峰值和有效值”[1],其中“通過實驗”是新課標對物理教學的要求,也是提供的教學方案.“觀察交變電流的波形”一般采用示波器或者DIS(數字化信息系統)傳感器,而“測算峰值和有效值”則可以結合實驗和推導的方法得到交變電流的峰值和有效值的關系.

正因為包括人教版等教材中沒有明確提出教學方案,不少教師會以“根據研究表明”“通過數值推導”等方式一筆帶過.顯然這種模糊化的處理方式忽略了物理知識的形成過程,不利于學生形成嚴謹的科學態度,也不利于科學探究素養的培養.

綜合6個版本新教材的內容及積累的教學經驗,下面以“積分法”“割補法”和“等效法”3種方式對正(余)弦交變電流峰值和有效值的關系進行理論推導.并探討“加熱對比實驗”“交流電表測量實驗”和“光照度等效實驗”這3種實驗方案的優缺點.

1 理論推導

1.1 積分法

設某表達式為I=Imsin (ωt)的正(余)弦交變電流通過阻值為R的純電阻,其熱功率隨時間變化的函數式為

(1)

交變電流在一個周期內的發熱量可以通過定積分計算

(2)

與交流電熱效應相等的直流電一個周期內發熱量的表達式為

(3)

根據熱效應相等建立方程可以得到

(4)

該方法是最直接的推導方式,同時也是通用方法,適用于所有交變電流.但由于該學段學生還沒有學習定積分,故對高中教學并不適用.

1.2 割補法

割補法則通過圖像的割補形象地呈現功率的大小,幫助學生理解其中的發熱量關系.通過推導得到正(余)弦交變電流功率的表達式

(5)

根據函數關系繪制出其熱功率隨時間變化的圖像如圖1所示.

圖1 正(余)弦交變電流熱功率隨時間變化的圖像

圖2 割補法求正(余)弦交流電功率

割補法把抽象的函數形象化,有利于學生理解.然而復合三角函數圖像的繪制對數學要求較高,只適用于數學基礎較好的學生.

1.3 等效法

粵教版新教材給出的推導方案則是根據正弦電流與余弦電流等效的原理展開證明.設交變電流通過定值電阻R,峰值為Im的正弦交變電流一個周期內的發熱量跟峰值相同的余弦交變電流一個周期內的發熱量相同.如果同時讓正弦和余弦交變電流通過電阻R,則一個周期內的發熱量為

(6)

若以兩個直流電代替交流電,產生同樣的熱量,則該直流電流的電流值為該正(余)弦交流電電流的有效值,即

(7)

解得

(4)

3種方法中積分法的數學基礎是定積分,割補法使用了二倍角公式以及三角函數圖像,等效法只需要使用同角的三角函數關系.相對而言等效法對數學要求最低,也是最簡潔的推導方法.積分法超出學生的能力水平,而割補法和等效法均屬于特殊技巧,不是主干知識也不具有普遍性,故3種方案均沒有出現在人教版教材中.

2 實驗探究

2.1 加熱對比實驗驗證正(余)弦交變電流峰值和有效值的關系

圖3 加熱實驗驗證正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系

由于電熱絲加熱水的過程中,同一個容器中的水溫并不均勻,靠近電熱絲的部分溫度上升較快,遠離電熱絲的部分升溫較慢.加上對流現象又增添了水溫測量結果的不確定性,容器越大,實驗誤差越大.另一方面因水的加熱過程緩慢,電流值的改變反映在水溫變化需要經歷較長時間,如果采用溫度計每隔1 min人工讀取一次數據,實驗時間較長,工作量大.加上溫度無法實時調控,故只能作為檢驗實驗,無法進行探究.

如果使用溫度傳感器進行長時間的實時記錄并繪制出溫度隨時間變化的圖像,能夠較好地驗證正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系.

2.2 交流電表探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系

將滑動變阻器接在正(余)弦交變電源上,使用示波器觀測交變電流峰值,并用交流電壓表測量交變電流的電壓有效值,其實驗電路如圖4所示.改變滑動變阻器兩端電壓,測量多組峰值Um與有效值U,尋找Um與U的關系.

圖4 交流電表探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系

該實驗方法是粵教版新教材提供的實驗方案,是目前探究正(余)弦交變電流峰值與有效值關系最簡潔、最準確的探究實驗方案,而且該方案不但適用于正(余)弦交變電流,還可以于探究所有交變電流峰值和有效值的關系.

然而探究交變電流峰值和有效值關系實驗的根本任務是通過觀測熱效應相同的交變電流和直流電,探究交流電的峰值和有效值的關系.交流電表雖然能夠準確測量出交變電流的有效值,但是學生并不了解交流電表的內部結構或原理,更無法從熱效應相等的角度探究交變電流峰值和有效值的關系.在無法直觀地觀察交流電表測量原理的情況下,使用交流電表直接測量有效值跳過了熱效應相等的實驗原理,失去了探究實驗原有的價值.

2.3 DIS光傳感器探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系

“加熱對比實驗”能夠很好地抓住交流電和直流電熱效應相等展開實驗,實驗過程直觀但存在不能實時調整電流大小,只能做驗證實驗,不能做探究實驗的問題.如果改變實驗思路,根據光照度跟電阻絲發熱量正相關的特點,可以把測量熱信號轉變為測量光信號.由于電阻絲的比熱很小,當電流改變時溫度隨即變化,光照度也能夠同步變化.對同一個小燈泡分別通過直流電和交流電,如果對同一個位置產生的光照度相同,那么就可以間接判斷該直流電和交流電的熱效應相同,即該直流電電流值等于該交流電電流的有效值.

為了避免環境光線影響實驗結果,實驗時需要使用遮光箱,可以采用遮光性較好的盒子代替.為了盡可能讓光傳感器接收到的光是由小燈泡直接輻射產生的,故盡可能選用內部顏色較暗,表面粗糙的遮光盒,減少反射光線.用螺絲把小燈泡和光傳感器固定在遮光箱內部,如圖5所示.

圖5 遮光箱內部結構

用導線連接小燈泡、學生電源、滑動變阻器,串聯形成回路.把電壓傳感器并聯在小燈泡兩端,光照度傳感器、電壓傳感器連接到數據采集器,并連接計算機.實驗電路圖和實物圖如圖6所示.

圖6 DIS探究交變電流峰值和有效值實驗裝置

由于光輻射并不是連續穩定發射的,故光傳感器的采用頻率越高,實驗結果越準確.本實驗采用DISLab8.0數據采集器,光照度采樣設置為每秒采樣5 000次.閉合遮光箱,對光照度傳感器進行調零.

先連接交變電源,閉合開關,調節滑動變阻器,待光照度數據穩定在某一數值后讀取相應的光照度并根據電壓傳感器采集的電壓波形圖讀取小燈泡兩端交變電壓的峰值.斷開交流電源連接直流電源,調節滑動變阻器,待光照度傳感器與記錄的照度相同時,讀取此時的電壓傳感器的示數.調節滑動變阻器改變光照度,重復上述實驗步驟,獲得多組電壓峰值和有效值數據如表1所示.

表1 DIS探究正(余)弦交變電流峰值和有效值關系實驗數據

由于影響光照度的因素很多,除了溫度以外還跟輻射距離、輻射光波長等有關.實驗中可以發現光照度跟燈泡兩端的電壓并不成正比,電壓較小時燈泡幾乎不發光(此時發出的光以紅外線為主,光照度傳感器無法檢測),當燈泡電壓達到一定時光照度迅速增大,此時發出的輻射以可見光為主.因此實驗中采用的電壓值并不是從零開始,而是峰值從2.6 V開始.電壓繼續增大時由于輻射量跟溫度呈指數關系,故測量的結果更準確,但需要考慮燈泡的額定電壓,故實驗采用的電壓峰值不超過5 V.

3 總結

正(余)弦交變電流峰值與有效值的關系教學方案包括理論推導和實驗探究,理論推導和實驗各3種方案,如表2所示.

表2 正(余)弦交變電流峰值和有效值教學方案評價

在表2中,列出了正(余)弦交變電流峰值和有效值教學方案的評價.其中理論推導方法中等效法的數學要求最低,運算也最簡單,適合高中生認知水平,適用于普通學校教學.3種實驗方案中光照度等效實驗的實驗原理清晰,效果明顯,且精度高,最適合教學中推廣使用.