超大規模MIMO系統中基于交疊可視區域的功率分配方法

張 軍 陸佳程 劉同順 張 琦 蔡 曙

(南京郵電大學通信與信息工程學院 南京 210003)

1 引言

目前第5代移動通信系統(the 5th Generation mobile communication system, 5G)已在全球大規模地部署商用，回顧過去20年，移動通信業務已從最基本的話音拓展到了各種高速數據業務，深刻地改變了社會生活方式[1]。與上一代系統相比，5G與垂直行業的融合更加深入，移動通信業務也變得更加多元化[2]。然而，憑借現有的技術手段與設備要完全落地5G特色應用場景還存在著許多困難[1]。一方面，雖然5G標準中引入了極具前景的毫米波技術以緩解頻譜資源的短缺，但毫米波頻段的高額傳播損耗需要更高的陣列增益來彌補；另一方面，海量終端的接入也會導致接收陣列規模提升，現有的陣列規模已難以滿足這些要求。因此在未來移動通信系統中，天線陣列的尺寸將會提升到超大規模陣列，超大規模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技術也將成為未來移動通信系統的關鍵技術之一[3]。為在民用通信市場與國防領域搶占先機，世界各通信強國已經針對下一代移動通信系統制定了一系列的研發計劃[4]，其中超大規模MIMO系統憑借其在高頻帶高速率通信上的優勢，成為學術界與工業界未來探索的重點之一。

與傳統的MIMO以及大規模MIMO系統相比，超大規模MIMO系統最直觀的特征就是其陣列可包含上千根天線[5]，帶來超高陣列增益以彌補傳播損耗。此外，超大陣列還將帶來信道硬化和用戶間信道的漸近正交等有益特性，其性能明顯優于傳統MIMO系統[5]。這些超大天線陣列可集成至各類建筑節點上以節省空間，如醫院、機場、大型超商及其周邊建筑物的墻壁上，或者在體育場等人流較為密集的場所中專門配備天線陣列[5]，用以容納大量終端接入，支撐高速數據傳輸。盡管超大規模MIMO優點頗多，但其也存在諸多新的問題。實測結果表明，當天線陣列不斷擴大，對應的瑞利距離也會增大，導致遠場傳播假設不再成立[6]，信道表現出空間非平穩特性[7]。可視區域(Visibility Region,VR)便是最突出最典型的非平穩性特征之一。VR特性指由于陣列規模過大，加之散射體作用，各天線收到的信號能量差異較大，部分天線甚至無法收到來自特定用戶的信號[8]，這些可以被特定用戶“看到”的天線即為該用戶的VR。由于傳播環境以及用戶與基站相對位置的差異，不同用戶的VR分布可能互不交疊、完全混疊或部分混疊。因此，雖然目前關于大規模MIMO的傳輸方案設計已非常成熟[9]，但復雜的VR分布特性使得現有的大多數方案都無法直接套用到超大規模MIMO中。

綜上所述，超大規模MIMO系統應用落地的關鍵在于如何處理以VR為代表的空間非平穩性。到目前為止，國內外學者也已對VR特性展開了初步研究，文獻[8]考慮了VR無混疊時的用戶接入協議與調度算法設計，有效降低了用戶訪問延遲，文獻[10]則基于VR分析推導了遍歷和速率上界。與此類似，文獻[11]也在無混疊VR假設下，分析了迫零 (Zero Forcing, ZF)以及最大比合并預編碼的性能。為簡化編碼設計，上述文獻假設各VR獨立發送信號。此外，在近場中，文獻[12]簡化了VR假設，即所有VR都是整個陣列，并直接通過大尺度衰落來刻畫天線與用戶之間的信號強度，距離用戶越遠的天線信號強度越弱，基于此，文獻[12]優化了基于ZF預編碼的天線選擇方案，但這種模型和無混疊VR假設都過于理想。然而，若在混疊假設下，令各VR分時獨立傳輸，又將造成時延過長與調度困難。可見相比傳統系統，VR給超大規模MIMO傳輸方案的設計帶來了新的挑戰。為充分探索VR對超大規模MIMO性能的影響，本文考慮了實際可能存在的VR混疊分布情況，并針對此情形給出了基于統計信道狀態信息 (Channel State Information, CSI)的發送預編碼設計方案，有效降低了系統預編碼的復雜度。本文具體工作內容如下：

(1) 考慮相鄰用戶VR存在交疊的超大規模MIMO下行傳輸系統，按照VR的分布劃分獨立子陣，并對各子陣分別采用規則化迫零預編碼 (Regularized Zero Forcing, RZF)與其可視的用戶進行通信，基于此分析了系統的遍歷和速率，并在總發射功率的約束下，建立了最大化系統遍歷和速率的用戶功率分配問題。

(2) 為避免蒙特卡羅平均帶來的大量計算，基于大維隨機矩陣理論，分別推導了VR交疊分布時系統遍歷和速率以及基站功率約束條件的大系統近似表達式。

(3) 基于推導出的近似表達式，進一步給出了使系統遍歷和速率最大化的功率分配因子的閉式解，該閉式解的計算僅需統計CSI。數值仿真表明，本文推導出的大系統近似表達式對遍歷和速率的近似效果極佳，所提出的基于VR的功率分配方法對系統性能的提升巨大。

2 系統模型

考慮一個超大規模MIMO下行場景，其中基站部署了一個含M根天線的長L(m)的線性陣。在陣列正前方垂直距離 [0.1L,L]的矩形區域內隨機分布著K個單天線用戶[12]，假設基站到用戶信道類型為瑞利信道。

2.1 信道模型

由于基站陣列規模較大且與用戶距離較近，即使是同一用戶，收到來自不同天線的信號強度也會有所差異。因此，本文定義基站第m根天線到第k個用戶的大尺度衰落系數[12]為，其中β0是參考距離處的路徑損耗，dm,k是天線m到用戶k的距離，K是損耗因子。用戶k與完整陣列的大尺度衰落可寫成以下對角矩陣

為進一步表征VR特性，定義M維二進制對角陣Dk，若對角線上某元素為0，則表示對應天線不在用戶k的VR內；反之則對應天線屬于VR。用戶k的VR長度用Dk表示。至此，用戶k與基站間信道可建模為，其中 zk是均值為0，方差為 1/M的復高斯隨機變量。

2.2 信號模型

2.3 用戶VR分布

2.4 預編碼設計

由于不同子陣之間互不干擾，因此在各個子陣上獨立進行預編碼即可。對應的預編碼矩陣結構為

其中，對各個子陣分別采取如下的預編碼設計：

(1)內側子陣k同時服務于用戶k和k+1 (1≤k ≤K-1)，因此采用如式(3)的RZF預編碼去除干擾

圖1 超大規模MIMO系統模型圖

2.5 問題描述

從式(7)中可見γk是關于功率因子pk的函數，pk設置不當會導致系統速率的下降。本文的研究目標在于合理設計pk以最大化超大規模MIMO系統的遍歷和速率。因此，結合基站處的發射功率約束，本文的優化問題可以寫成

要直接求解問題式(9)相當困難。首先，目標函數是遍歷形式的，其具體數值需要通過相當數量的蒙特卡羅試驗來平均得到；其次，該問題需要同時優化多個參數，而常見的多目標優化算法多依賴于數值計算來決定求解精度，對于遍歷形式的目標函數而言，其實現復雜度較高。為了克服上述難點，還需要對問題做進一步改寫以尋求低復雜度的功率優化設計。

3 功率分配設計

為解決問題式(9)遍歷目標函數造成的優化困難，本節首先依據大維隨機矩陣理論，推導了目標函數式(8)的近似解析表達式，接著同樣對約束條件進行了近似，最后基于推導的確定性近似式與改寫后的約束，以閉式解的形式給出了最優的功率分配因子。

在進行推導前，假設子陣維度M0,M1,...,MK與用戶數量K都趨向于無窮，且比值φi=Mi/K滿足0＜φi ＜∞,i=0,1,...,K。方便起見，以N →∞代替上述假設。

3.1 遍歷和速率的確定性近似解析式

基于文獻[13]中的定理1做進一步推導，得到以下定理：

式(12)的優點在于無需大量信道樣本進行蒙特卡羅試驗，僅需部分統計CSI即可評估遍歷和速率。在后續仿真中可見，即使天線數是有限值，式(12)與真值的差距也很小。式(12)允許本文僅用統計CSI估算式(8)，極大地簡化了優化過程中的計算。

3.2 功率約束的確定性近似解析式

功率約束可以改寫為

3.3 功率分配方法

問題式(14)可以通過拉格朗日乘子法高效求解，其對應的拉格朗日函數為

4 仿真結果

基于大維隨機矩陣理論，上節推導了基于統計CSI的超大規模MIMO系統遍歷和速率，以及基站功率約束的近似表達式，并依此近似得到了最優功率分配因子的閉式解。本節將在MATLAB軟件中仿真驗證推導的大系統近似表達式的近似效果，以及功率因子閉式解的有效性。其中RZF預編碼的正則化系數設為αi=1/ρ,i=1,2,...,K-1 ，其中ρ是用戶處的SNR。同時，為簡便起見，假設不同用戶的VR大小一致，且在沿著陣列方向上是均勻分布的。其余仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數設置[11]

圖2顯示了用戶的位置分布情況，結合實際，各用戶的VR中心所在位置即為該用戶在與陣列平行方向的坐標；K個用戶在與陣列垂直方向上3～30 m的范圍內隨機分布。在整個仿真中，若無額外說明，用戶分布默認如圖2的星號所示。

圖2 用戶位置分布示意圖

圖3展示了本文所推導的近似表達式對蒙特卡羅平均產生的遍歷和速率的近似效果，以及本文所提預編碼方案的有效性。其中遍歷結果用點狀圖標表示，本文推導的近似表達式結果用線表示，等功率分配方案指pk=MP/tr(GHG)。可見，即使是在天線數目有限的情況下，本文基于大系統近似理論得到的確定性近似表達式在整個SNR區間上的近似效果都非常好，有效地避免了對大量信道樣本做蒙特卡羅平均，極大地降低了功率分配設計的復雜度。同時，相比等功率分配方案，本文所給出的閉式解形式的功率分配方案對于系統性能也有明顯提升。

圖3 系統遍歷和速率與確定性等價式結果的對比

圖4對比了本文所提出的預編碼方案與傳統的預編碼方案對系統遍歷和速率的影響，包括RZF,ZF和共軛波束賦形 (Conjugate Beamforming,CB)預編碼。其中基于子陣的策略指在各個子陣上分別執行預編碼，傳統方案則是在完整陣列上進行預編碼，除本文所提的方案外，其余方案均執行等功率分配，即?k,Dk=I,pk=MP/tr(GHG)。值得一提的是，圖4中RZF正則化因子還可進一步優化以提升性能，但由于篇幅限制，此處不展開討論。本文所提方案在整個SNR區間都是最優的。此外，即使未執行式(16)的功率分配方案，基于子陣的策略相比傳統方案的性能提升也極為明顯，特別是在高SNR下。這是由于傳統預編碼方案是對整個陣列進行預編碼，不可避免地導致功率浪費，此外，在發射功率不斷增加時，等功率分配給各個用戶之間增加了不必要的干擾。因此，在SNR較高的情況下，傳統預編碼方案獲得的增益較為有限。而基于子陣的預編碼策略則將基站發射功率都集中到了各個用戶的VR上，盡可能地減少了用戶間的干擾所帶來的誤差。此外，考慮到計算復雜度，本文所提的預編碼方案由于僅需對各個子陣進行預編碼，其實現復雜度要遠低于對完整陣列做RZF預編碼。可見，已知VR分布信息對于系統性能提升較大。

圖4 不同預編碼方案的性能對比

圖5則在兩種用戶數目情況下，對不同的功率分配因子設計方案做了對比，其中閉式解的功率分配是指本文所提出的功率分配設計。fmincon方案和CVX方案則是基于兩種常見的多目標優化算法得到的解，等功率方案則是對所有用戶執行等功率分配。可見，在用戶數為31時，CVX方案與等功率方案效果都較差，而本文所提出的功率分配方案性能與fmincon方案極為接近，在用戶數較少時，閉式解的效果是最好的。同時，閉式解的計算復雜度也要遠低于CVX與fmincon方案。

圖5 不同功率分配方法

圖6展示了系統的性能在不同SNR條件下與交疊VR的天線數目之間的關系。需要指出的是，為了方便仿真展示，圖6只設置了兩個單天線用戶，先前推導也仍然適用。從圖6可見，當兩用戶的VR交疊部分天線數越來越多時，系統的整體性能會先下降后上升。前面一段呈現下降趨勢是因為隨著VR內交疊的天線越來越多，用戶之間的干擾也不斷變大，導致整體性能下降，但當天線數繼續增加時，用戶也能看到的天線也越來越多，信道增益不斷上升，進而抵消了干擾帶來的負面影響，整體速率呈現上升趨勢。

5 結論

本文研究了超大規模MIMO場景下空間非平穩特性對系統性能的影響。在考慮不同用戶間的VR存在相互交疊的情況下，本文基于RZF預編碼與VR信息為不同用戶設計了功率分配方案，實現了系統便利和速率的最大化。具體而言，首先，基于各用戶的VR分布情況，劃分了多個獨立子陣，為降低編碼復雜度，在各個子陣上分別進行RZF預編碼；接著，基于統計CSI，分別推導了系統的遍歷和速率與相應的功率約束的確定性近似式；然后，基于推導出的近似解析式重寫了使遍歷和速率最大化的功率分配問題，并給出了該問題的閉式解；最后，通過仿真結果證明了所推導的近似解析式具有較高的精度，所提出的基于VR的預編碼及功率分配方案能夠在顯著降低復雜度的同時獲得優越的性能。

6 附錄

本附錄給出了正文第3節推導各項確定性等價式涉及的定理、引理及其證明。