圓錐曲線中的四類“定點、定值問題”的解法總結與復習指導

吳志勇

(安徽省合肥一六八中學)

在圓錐曲線中,與定點、定值有關的二級結論大量存在,有的結論具有優美的對稱性與通用性,便于記憶與應用.大部分結論并不具備便于記憶的特點,但這些結論的運用往往會為解題者提供一個明晰的目標,進而選擇恰當的解題方法使待求問題得以順利解決.這個時候我們該如何對待不容易記憶但又能夠為我們解題提供大方向的二級結論呢? 筆者認為針對這種情況,我們應該心懷大格局,從整體上對這些與定點、定值有關的二級結論進行分類,從宏觀上理解并記住在什么條件下會有定點,在什么條件下會有定值.筆者從斜率之和為定值、斜率之積為定值、由特殊到一般以及極點與極線理論的應用四個方面,通過典型實例闡述在問題求解過程中,如何做到心懷大格局,感受目標引領方法的解題思想帶給我們的欣喜.

1 斜率之和為定值

1)已知點P是圓錐曲線C上一定點,點A,B是C上兩個動點,若直線PA,PB的斜率滿足kPA＋kPB＝0,則直線AB的斜率為定值.

例1 已知拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點為F,E(－1,0)為其準線l與x軸的交點,過點E作直線與拋物線C在第一象限交于點A,B,且

(2)設圓M,過點A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P,Q,求△APQ面積的最大值.

分析 本題第(1)問根據準線與x軸交點坐標為E(－1,0),可得p＝2,所以拋物線的方程為y2＝4x.再由拋物線的定義可得,同時可得A(4,4).第(2)問中,因為AM⊥x軸,再由對稱性可得kAP＋kAQ＝0,從而可得直線PQ的斜率為定值.下一步我們只需要根據條件求出直線PQ的斜率,則直線方程中只含有一個變量,即△APQ面積的表達式中只含有一個變量了,進而得出面積的最大值.

求解時有兩處值得關注,一是能夠根據kAP＋kAQ＝0得出直線PQ的斜率為定值,進而向著這個目標思考求出直線的斜率,將三角形面積表示為只含有一個變量的函數式.二是求直線PQ的方程時要有整體意識,根據過兩點有且僅有一條直線,既得出了直線的斜率為定值,又在直線方程中保留了原始的變量r,為后續求面積的最值提供了方便.從本題的解題過程中不難得出,當我們有了大格局,就有了明確的解題方向,引領著正確的解題思想,從而將所求問題順利解決.

2)若點P是圓錐曲線C上一定點,點A,B是C上兩個動點,若直線PA,PB的斜率滿足kPA＋kPB＝λ(λ≠0),則直線AB經過定點.

分析 根據條件kPA＋kPB＝－1,可得直線l必過定點,我們只需求出這個定點后,將直線l設成只含有一個參量的方程,再由直線與橢圓相交,求出參量的取值范圍.

以上兩個例題都是曲線上一定點與兩動點的連線斜率之和λ為定值的情況,區別在于當λ＝0時,動直線的斜率為定值;當λ≠0時,動直線恒過定點.無論直線的斜率是定值,還是直線恒過定點,都可以將直線方程轉換為只含有一個參量的方程,從而將問題順利解決,故可將兩種情況放在一起記憶.

2 斜率之積為定值

若點P是圓錐曲線C上一定點,點A,B是C上兩個動點,若直線PA,PB的斜率滿足kPAkPB＝λ(λ≠0),則直線AB恒過定點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設斜率存在的直線l交橢圓C于P,Q兩點(P,Q位于x軸的兩側),記直線A1P,A2P,A2Q,A1Q的 斜 率 分 別 為k1,k2,k3,k4,若k1＋k4＝,求△A2PQ面積的取值范圍.

分析 由第(1)問得出橢圓的方程后,第(2)問是求橢圓上一個定點與兩個動點構成的三角形的面積大小問題,故我們可以從已知條件入手,探尋出k2與k3的關系后,再得出直線PQ恒過定點,將直線PQ轉化為只含有一個參量的方程,進而將△A2PQ的面積表示出只含有這個參量的式子,最后求出取值范圍.

(2)如圖1 所示,由橢圓的第三定義可得

圖1

曲線上一定點與兩動點連線的斜率之積為定值,則兩動點連線恒過一定點.結論的推導過程:首先設出動直線方程y＝kx＋m,將之與曲線方程聯立,再利用根與系數的關系得出y1＋y2與y1y2的表達式,代入)中,從而得出直線方程中的兩個參數t,m的關系式,將直線的方程轉換為只含有一個參量的表達式,進而得出直線恒過一定點.在解題中,遇到這種類型的題目,只需要心中明了動直線恒過定點這一目標,至于定點是什么則因題而異,無須記憶.有了目標的引領,根據條件求出直線恒過的定點,進而順利解決具體問題.在平時的教學中,我們不難得出一個結論:已知點P是圓錐曲線C上一定點,A,B是C上兩個動點(不與點P重合),若(λ為一定值),則直線AB恒過定點.這個結論的推導思路與上一個結論類似,但適用范圍更加廣泛,因為此結論在斜率不存在的情況下依然適用,可以一起記憶.

3 由特殊到一般

例4 已知橢圓C,直線l與x軸交于點E,與橢圓C交于A,B兩點,是否存在點E,使得為定值? 若存在,請指出點E的坐標,并求出該定值;若不存在,請說明理由.

分析 本題的常規解題思路是直接設出點E的坐標(m,0)和直線l的方程x＝ky＋m,將直線方程與橢圓方程聯立后,利用根與系數的關系,將用參數k和m表示出來,再找出其結構關系,使其值與參數無關,從而得出點E的坐標和定值.這種解法思路清晰,簡潔明了,但的表達式中含有兩個參量,不易直接得出其恒過的定點與定值.我們可以先考慮動直線l的兩種特殊位置,確定點E的坐標與定值,然后利用所求的點E的具體坐標以及的值,再驗證當直線不是特殊位置時,所求的點E的坐標和定值也滿足題意.

由特殊到一般的解題思想是一種常見的數學思想,在求解圓錐曲線定點與定值的探索性問題中經常用到.解題思路:先通過分析特殊位置確定出所求的定點或定值,再驗證此定點或定值在一般情況下也成立.

4 極點與極線理論

4.1 極點與極線的定義與性質

定 義 已 知 圓 錐 曲 線C:ax2＋cy2＋2dx＋2ey＋f＝0,則稱點P(x0,y0)與直線l:ax0x＋cy0y＋d(x0＋x)＋e(y0＋y)＋f＝0是圓錐曲線的極點與極線.

性質1 當點P在圓錐曲線C上時,其極線l是C在點P處的切線.

性質2 如圖2所示,當點P(xP,yP)不在圓錐曲線C上時,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線C于E,F,G,H四點,這四點兩兩連線的交點為M,N,則直線MN為點P對應的極線,MN的方程為

圖2

圖3

同理,可得點N(xN,yN)的極線方程為

點M(xM,yM)的極線方程為

4.2 極點與極線理論的應用舉例

有關以極點與極線理論為背景的考題有很多,但是在解答題中,其解答方式與規范解答方式是相悖的,不能直接使用,但極點與極線理論的運用,可以很快得出所求問題的答案,為我們規范解題提供一個方向.一旦有了明確的目標,我們就能夠增強自己解題的信心,從而在解題中做到游刃有余,使問題得以順利解決.下面我們以一道高考真題的常規解法和在極點與極線理論指引下的解法為例,來感受一下目標引領方法的解題思想帶給我們的欣喜.

例5 (2020年全國Ⅰ卷理20)已知A,B分別為橢圓E(a＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,P為直線x＝6 上的動點,PA與E的另一個交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

(2)方法1 設P(6,y0),則直線AP的方程為,將之與橢圓方程聯立可得

又因為

本題常規解法(方法1)的解題思路是設出直線PA,PB的方程,然后與橢圓方程聯立,利用“知點求點”的想法,分別得出C,D兩點的坐標,進而求出直線CD的方程,再把直線方程進行化簡整理,最后得出直線CD恒過定點.這種解法思路簡單明了,但運算量較大,而且在得出直線方程后,不易化簡得到直線恒過定點這一結論.方法2運用極點與極線的理論能夠直接得出直線恒過定點這一解題目標,有了這一目標的指引后,我們只需證明C,T,D三點共線即可,從而使所求問題得以快速解決.通過對比兩種解法,不難發現雖然極點與極線的理論不能直接運用于解題,但它可以幫助我們快速得出問題的答案,在正確答案的指引下,我們只需選取合適的解題方法,說明這一結論的正確性即可.

5 復習指導

1)重視圓錐曲線的定義學習.

有關圓錐曲線的很多性質或二級結論就是從圓錐曲線的定義出發引申得出的.例如,由橢圓的第二定義,我們可以得出橢圓上任意一點P與橢圓上關于原點對稱的兩點A,B連線的斜率之積為定值,即;由雙曲線的定義我們可以得出雙曲線的焦點三角形內切圓圓心一定在直線x＝a或x＝－a上;由拋物線的定義我們可以得出以拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點弦AB為直徑的圓與準線相切……

我們在平時的學習中,不僅要重視教材中給出的圓錐曲線的定義,還要深入挖掘教材的例題和習題所蘊含的圓錐曲線的其他定義.例如,高中數學人教A版新教材中,將橢圓的第二定義和第三定義就分別以例題和課后習題的形式給出,需要通過結論一般化的形式得出.通過對圓錐曲線定義的深入探究,不僅可以加深我們對圓錐曲線的幾何性質和代數性質的理解,更能夠將定義的推導或驗證過程中所蘊含的數學思想和解題方法運用在實際的解題中,從而潛移默化地提升我們的數學思維能力和學科素養.

2)學會從代數和幾何兩個角度去理解圓錐曲線的有關性質與二級結論.

圓錐曲線從具體的定義到方程的得出實際上就是一個數形結合的典例.對于每一種圓錐曲線的學習,教材都是按照先明確其幾何特征,再利用幾何特征建立坐標系、求出坐標方程,最后通過方程運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質.我們在探究有關圓錐曲線的性質或二級結論時,也要學會利用數形結合的思想,從“數”和“形”兩個角度去理解和運用這些性質和結論.例如,在研究拋物線y2＝2px(p＞0)過焦點弦長度問題時,可得弦長的代數形式為|AB|＝x1＋x2＋p,幾何形式為為直線的傾斜角).代數形式的得出是有關求弦長問題通性通法的應用,有助于我們對拋物線定義的進一步理解與應用;而幾何形式有助于我們從幾何角度理解,當直線與對稱軸垂直,即傾斜角時,|AB|min＝2p.這種幾何表達形式也可以自然推廣到橢圓與雙曲線中的弦長公式,從而有助于我們從直觀上理解弦長的最值問題.

3)心懷大局意識,從宏觀上把握與圓錐曲線性質有關的二級結論.

從圓錐曲線的性質出發可以得出的二級結論有很多,有的結論具有通用性與對稱性,便于我們記憶、理解與運用,但更多的二級結論是經過深入探究后得出的,具有各自的獨立性與偶然性,并不具備便于記憶的特點.從近幾年與圓錐曲線有關的高考題的命制中,不難發現以這些二級結論為背景命制的試題不在少數,那么如何對待這些與圓錐曲線性質有關的二級結論,就成為我們需要認真思考的問題.筆者認為對于圓錐曲線中二級結論的學習,我們可采取“理解為主,記憶為輔;分類總結,宏觀把握”的教學方式展開.通過對以圓錐曲線二級結論為命題背景的高考題或?？碱}的分析,不難發現這些試題的解答往往并不是這些結論的直接應用,更多考查的是這些二級結論在推導過程中所用到的數學思想與方法.在平時的學習中,應該把對這些結論推導過程中所用到基本思想的領悟與基本方法的掌握放在首位,在此基礎上加以記憶.

(完)