基于混合次分?jǐn)?shù)跳過程的亞式期權(quán)模糊定價(jià)

龐秋月,汪育兵

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730020)

期權(quán)是重要的金融衍生品之一,期權(quán)定價(jià)一直是金融工程的重要問題之一.1973年,Black等[1]首次采用幾何布朗運(yùn)動刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格的波動,通過無套利定價(jià)方法得到了傳統(tǒng)BS期權(quán)定價(jià)模型.BS期權(quán)定價(jià)模型無法描述金融市場中的一些現(xiàn)象,如長記憶性,“尖峰厚尾”及“跳躍”等.為了更好地研究金融資產(chǎn)價(jià)格變動規(guī)律,Mandelbrot[2]和Peters[3]以分形理論為基礎(chǔ)將Hurst指數(shù)H作為度量長記憶性強(qiáng)度的指標(biāo)引入到刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格變化的運(yùn)動中.Necula[4]通過風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的鞅方法研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的期權(quán)定價(jià)問題.余湄等[5]利用鞅定價(jià)理論推導(dǎo)出時(shí)變混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下期權(quán)價(jià)格的顯式解,推廣了傳統(tǒng)BS和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動定價(jià)模型.安翔等[6]建立了混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下帶紅利的永久美式回望期權(quán)定價(jià)模型.

然而,金融市場的不確定性不僅是隨機(jī)的,而且是模糊的.在真實(shí)的金融市場中,數(shù)據(jù)很難被準(zhǔn)確記錄,特別是無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動率等.Zadeh[13]提出的模糊理論是研究這類模糊問題的重要工具.Wu[14]將模糊理論引入到期權(quán)定價(jià)研究中.秦學(xué)志等[15]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的歐式期權(quán)模糊定價(jià).Liu等[16]運(yùn)用隨機(jī)分析、分形理論和模糊理論,構(gòu)建了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的歐式模糊期權(quán)定價(jià)模型,并分析了Hurst指數(shù)對歐式期權(quán)定價(jià)的影響.

綜上,對于亞式期權(quán)的大多數(shù)研究都是基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動.但這兩種隨機(jī)過程應(yīng)用在期權(quán)定價(jià)中會產(chǎn)生套利現(xiàn)象.而研究表明,混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動在Hurst指數(shù)取值為[0.75,1)時(shí),它是一個(gè)半鞅,此時(shí),由混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的金融市場是完備的且不存在套利機(jī)會.目前,已有文獻(xiàn)很少同時(shí)考慮到金融市場的長記憶性、“跳躍”及模糊等特征.為了更加全面地刻畫金融資產(chǎn)的價(jià)格變動規(guī)律,考慮在模糊狀態(tài)下用混合次分?jǐn)?shù)跳過程研究亞式期權(quán)定價(jià)問題.首先在混合次分?jǐn)?shù)跳過程下,運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理給出了具有固定敲定價(jià)格的幾何亞式期權(quán)定價(jià)公式;其次采用三角模糊數(shù)的方法得出模糊定價(jià)模型(Fuzzy Geometric Asian Option Pricing,FAOP),給出了股價(jià)的模糊區(qū)間;最后,數(shù)值模擬分析了置信度c和Hurst指數(shù)對模糊價(jià)格的影響.

1 預(yù)備知識

根據(jù)執(zhí)行價(jià)格,亞式期權(quán)可以分為固定敲定價(jià)格期權(quán)和浮動敲定價(jià)格期權(quán).固定敲定價(jià)格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在到期日T時(shí)刻的收益分別為(AT-K)+和(K-AT)+,其中K是執(zhí)行價(jià)格,AT是標(biāo)的資產(chǎn)在預(yù)定時(shí)間內(nèi)的平均價(jià)格.根據(jù)AT計(jì)算方式的不同,亞式期權(quán)又可分為幾何平均亞式期權(quán)和算數(shù)平均亞式期權(quán).幾何平均亞式期權(quán)中的AT計(jì)算公式為

算數(shù)平均亞式期權(quán)中的AT計(jì)算公式為

由于金融資產(chǎn)價(jià)格St服從對數(shù)正態(tài)分布,則容易得到幾何平均亞式期權(quán)中的AT也滿足對數(shù)正態(tài)分布.但算數(shù)平均亞式期權(quán)中的AT并不符合對數(shù)正態(tài)分布,故無法直接得到解析解.學(xué)界對算數(shù)平均亞式期權(quán)問題的處理方式有很多,包括二叉樹、近似法及蒙特卡洛模擬方法等.因此,本文只討論具有固定行權(quán)價(jià)的幾何平均亞式期權(quán).

接下來介紹混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和模糊理論的相關(guān)概念及性質(zhì).

(1)

混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動滿足如下性質(zhì):

(2)方差:?t∈R+,

(2)

(3)協(xié)方差:?t∈R+,

(3)

其中,t∧s=min(t,s).

2 資產(chǎn)價(jià)格模型及幾何亞式期權(quán)定價(jià)

假設(shè)模型滿足以下條件:

(1)市場是無摩擦且連續(xù)的,即交易費(fèi)用為零,無稅收;

(2)股價(jià)遵循Hurst指數(shù)為[0.75,1)的混合次分?jǐn)?shù)跳過程,此時(shí)無套利;

(3)在期權(quán)到期之前,無風(fēng)險(xiǎn)利率r、期望收益率u、股價(jià)的波動率σ均為常數(shù);

(4)期權(quán)只能在到期日執(zhí)行;

(5)股票在期權(quán)有效期內(nèi)支付的股息率為零．

在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下,股價(jià)滿足下面的隨機(jī)微分方程:

dSt=rStdt+σStdXt,

(4)

2.1 混合次分?jǐn)?shù)跳過程公式

(5)

證畢.

定理2方程(4)的解是

(6)

證明令

則有

根據(jù)方程(5),有

令St=f(t,Xt),則有dSt=rStdt+σStd(Xt).

證畢.

2.2 幾何亞式期權(quán)定價(jià)模型

定理3在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下,股價(jià)St滿足方程(4),則固定行權(quán)價(jià)為K、到期日為T的幾何亞式看漲期權(quán)的價(jià)格C(S0,T)為

C(S0,T)=S0eAΦ(d1)-Ke-rTΦ(d2).

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

證明令

則有

AT=exp{JT}.

其中:

規(guī)定s

E(XsXt)=
Cov(Xs,Xt)=Cov(Ms+Qs,Mt+Qt)=
Cov(Ms,Mt)+E(QsQt),
E(QsQt)=E[(Ns-λs)(Nt-λt)]=
E(NsNt)-λ2st=λs(λt+1)-λ2st=λs.

由于隨機(jī)變量JT=lnAT服從正態(tài)分布,因此隨機(jī)變量AT服從對數(shù)正態(tài)分布.則幾何亞式看漲期權(quán)價(jià)格為

D={x|ex-K>0}.

這里

其中d1,d2和A分別由式(9)、(8)和(10)定義.證畢.

同理,固定行權(quán)價(jià)為K,到期日為T的幾何亞式看跌期權(quán)的價(jià)格P(S0,T)為

P(S0,T)=
Ke-rTΦ(-d2)-S0eAΦ(-d1),

(11)

其中d1,d2和A分別由式(9)、(8)和(10)定義.

3 幾何亞式期權(quán)模糊定價(jià)模型

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由式(7)可知,

已知Φ(·)和φ(·)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)和密度函數(shù), 則有

Φ(d1)>0,Φ(d2)>0,
Φ′(d1)=φ(d1)>0,Φ′(d2)=φ(d2)>0

.

S0eAΦ′(d1)-Ke-rTΦ′(d2)>0

,

則有

4 數(shù)值模擬

(1)在不同的置信度c下,幾何亞式看漲期權(quán)的模糊價(jià)格,如表1所列.

表1 不同置信度下的亞式看漲模糊價(jià)格

對于c=0.95,表示看漲期權(quán)價(jià)格處于閉區(qū)間[15.5892,15.6141],置信度為0.95.從另一個(gè)角度看,如果投資者對信任度0.95感到滿意,投資者就可從閉區(qū)間[15.5892,15.6141]中獲取任何值作為其以后使用的期權(quán)價(jià)格.

這意味著亞式期權(quán)價(jià)格的平均水平為15.6135美元,風(fēng)險(xiǎn)為0.009美元.

從表1可以看出,隨著置信度c的逐漸增大,模糊價(jià)格區(qū)間的長度逐漸減小,模糊價(jià)格越來越高.換句話說,從可能性均值的角度看,模糊性帶來的不確定性提高了亞式期權(quán)的價(jià)值.

(2)當(dāng)c=0.95時(shí),Hurst指數(shù)對看漲期權(quán)模糊價(jià)格的影響見圖1和表2.

圖1 T、H對幾何亞式看漲期權(quán)模糊價(jià)格區(qū)間左端點(diǎn)的影響

表2 T、H對亞式看漲期權(quán)模糊價(jià)格區(qū)間的影響

由于在混合次分?jǐn)?shù)跳過程下的幾何亞式模糊期權(quán)價(jià)格公式十分復(fù)雜,很難準(zhǔn)確地判斷出關(guān)于H的單調(diào)性,所以討論了在不同T下,期權(quán)價(jià)格關(guān)于H的單調(diào)性.

表2中分別列舉了T取1/12,1/3,1,2和5,5種情況下期權(quán)價(jià)格關(guān)于H的變化.結(jié)果發(fā)現(xiàn):從局部上看,控制T不變時(shí),期權(quán)價(jià)格關(guān)于H單調(diào)遞減;控制H不變時(shí),期權(quán)價(jià)格關(guān)于T單調(diào)遞增.從圖1中可以看出,五條曲線幾乎平行.表明在不同的執(zhí)行時(shí)間T下,期權(quán)價(jià)格關(guān)于H的下降速度是相似的.

(3)將本文提出的FAOP定價(jià)模型與BS模型進(jìn)行對比,給出不同置信度C下,兩種模型的看漲期權(quán)模糊定價(jià)區(qū)間,如表3所列:

表3 不同模型下的幾何亞式看漲期權(quán)模糊價(jià)格區(qū)間

從表3中,可以看出FAOP模型得到的模糊價(jià)格區(qū)間端點(diǎn)值總是比BS模型的大.因?yàn)镃(S0,T)是關(guān)于泊松強(qiáng)度λ的增函數(shù),BS模型中相當(dāng)于λ=0,所以表3中的結(jié)果是合理的.

這意味著亞式期權(quán)價(jià)格的平均水平為15.4585美元,風(fēng)險(xiǎn)為0.006美元.

從兩個(gè)模型各自模糊價(jià)格的可能下半方差看,BS模型的風(fēng)險(xiǎn)小于FAOP模型.這是因?yàn)锽S模型中沒有考慮到金融市場中股價(jià)跳躍所帶來的風(fēng)險(xiǎn).

5 結(jié)論

本文基于混合次分?jǐn)?shù)跳過程模型,運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理和模糊理論等,建立了幾何亞式期權(quán)定價(jià)模型及其模糊定價(jià)模型.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:

(1)隨著置信度的逐漸增大,模糊價(jià)格區(qū)間的長度逐漸減小,這給了投資者更多的選擇機(jī)會.對于保守的投資者,雖然可以使用較高的置信度,但可使用的價(jià)格范圍相對較小,價(jià)格相對較高;對于激進(jìn)的投資者,接受的置信度較低,有更多的價(jià)格選擇,所以可以用較低的價(jià)格來增加收入,但同時(shí)也伴隨著更大的風(fēng)險(xiǎn).

(2)從局部上看,對于不同的T,期權(quán)價(jià)格是關(guān)于H的減函數(shù),并且期權(quán)價(jià)格的下降速度大致是相同的;在不同的H下,期權(quán)價(jià)格是T的增函數(shù),且期權(quán)價(jià)格的上升速度大致也是相同的.

(3)S0、r、σ和λ的不確定性對亞式期權(quán)價(jià)格的影響是不可忽視的,因此,本文所建立的模糊亞式期權(quán)定價(jià)模型更加合理.使用此模糊模型,可以幫助投資者選擇一個(gè)具有可接受置信度的亞式期權(quán)價(jià)格,以供日后使用.