分數階積分微分方程解的存在性

丁敏敏

(安徽中醫藥大學 醫藥信息工程學院,安徽 合肥 230012)

0 引言

近年來,分數階微分積分方程在物理學等眾多領域的應用中取得了重大進展.在力學控制理論和工程方面,分數階積分微分方程獲得了廣泛的關注[1-7].

利用上下解方法及單調迭代技巧,Jankowski[8]研究了以下中立型Riemann-Liouville分數階微分方程

其中f∈C(J×R5,R),θ∈C(J,J),θ(t)≤t,Dα是標準的Riemann-Liouville分數階導數,α∈(0,1).通過應用迭代技術,Wang等[9]得到非線性中立型Riemann-Liouville分數階積分微分方程唯一解的存在性結論.

其中f∈C(J×R5,R),θ∈C(J,J),θ(t)≤t,Dα,Dβ是Riemann-Liouville分數階導數,Iγ是Riemann-Liouville分數積分.更多分數階中立型積分微分方程的相關結果,詳見文獻[10].

本文利用分數階型Gronwall不等式和不動點定理,研究了下列分數階積分微分方程

(1)

解的存在性.

1 預備知識

記號C(I,R+),I=[a,b],表示從I到R+=[0,+∞)上所有連續函數組成的Banach空間,其范數為‖u‖:=sup{|u(t)|:t∈I}.另外用Cγ(I)表示定義在(a,b]上的并且滿足條件(t-a)γf(t)∈C(I)的函數f組成的Banach空間,對應范數為‖u‖γ:=sup{|(t-a)γu(t)|:t∈I}.

定義1[1-2]f:[0,∞)→R是連續函數,f的δ階Riemann-Liouville分數階導數定義為

這里假設等式右側在(0,+∞)上是逐點連續的.

定義2[1-2]f:[0,∞)→R是連續函數,f的δ階Riemann-Liouville分數階積分定義為

這里假設等式右側積分存在.

引理2對于給定函數u∈C(J,R),方程

(2)

有唯一解:

引理3假設0<β≤α≤1,則方程(2)的唯一解有如下性質:

Dβx(t)=Iα-βu(t).

(3)

令Dαx(t)=u(t),t∈J.根據引理1和引理2,問題(1)可以轉換成如下形式:

u(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),

(4)

這里,Iα-β和Iα是標準的Riemann-Liouville分數積分.

定義3假設對于任意t∈J,有

u(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),

(5)

則稱函數x:J→R為方程(1)的溫和解.

引理4[11]設u是定義在I=[a,b]上的非負連續函數,且設p(t):I→(0,∞)是一個非遞減連續函數.假設q(t):I→[0,∞)是一個非遞減連續函數.如果u滿足不等式

(6)

則對于k∈N,(k+1)min{α1,α2,…,αn}>1,有

(7)

這里

定理1[12]設X是正規線性空間,K是X的凸子集,O是K的開子集,θ∈O(θ是X的零元素).假設T:O→K是全連續算子,其中O是O的閉包,那么

(1)T在O中有一個不動點.

(2)存在u∈?O使得對于u=λTu,λ∈(0,1),其中?O是K中O的邊界.

2 存在性結果

首先,做如下假設:

(H)f∈(J×R3,R),存在常數c1>0,c2>0及函數c(t)∈C(J,R+),則

|f(t,x,y,z)|≤c(t)+c0(|x|+|y|+|z|),
t∈J,x,y,z∈R,
|f(t,x1,y1,z1)-f(t,x2,y2,z2)|≤
c1(|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|),
t∈J,xi,yi,zi∈R,i=1,2.

下面用不動點定理來證明(1)的解的存在性結果.

定理2若假設(H)成立.則(1)在J上至少有一個解.

證明定義算子F:C(J,R)→C(J,R)為以下形式:

(Fu)(t)=f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),t∈J.

(8)

接著證明F是連續且全連續的.

步驟1F是連續的.

取數列un,令un→u∈C(J,R).根據假設條件(H),有

‖(Fun)(t)-(Fu)(t)‖=
‖f(t,un(t),Iα-βun(t),Iαun(t))-
f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t))‖≤
c1(‖un(t)-u(t)‖+
‖Iα-βun(t)-Iα-βu(t)‖+
‖Iαun(t)-Iαu(t)‖)→0,

(9)

即F在J上是連續的.

步驟2F將C(J,R)中的有界集映射成有界集.即對于任意l>0,存在一個常數L>0,使得對任何

u∈Bl=

{u∈C(J,R):max{‖u‖,‖u‖γ}≤l},

有‖(Fu)‖≤L.根據假設條件(H)和引理1知,存在常數L>0,使得

(10)

‖(Fu)‖≤L,t∈J,

(11)

這意味著算子F是一致有界的.

(12)

根據步驟1,2,3的結果,可以得出以下結論:F:C(J,R)→C(J,R)是連續和全連續的.

步驟4方程u=λFu,0<λ<1在?Bl上無解,其中

Bl={u∈C(J,R):max{‖u‖,‖u‖γ}≤l}

是有界的.

令u∈?Bl,則存在0<λ<1,使得u=λFu,因此有

u(t)=λf(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t)),
t∈J,λ∈(0,1),

(13)

根據假設(H)和引理4,類似步驟2的證明過程,可證

|u(t)|<
|f(t,u(t),Iα-βu(t),Iαu(t))|≤
c(t)+c0(|u(t)|+Iα-β|u(t)|+Iα|u(t)|)≤
cM+c0l+c0(Iα-β|u(t)|+Iα|u(t)|),t∈J,

(14)

且

(15)

其中,Pk(t),Hk+1(t,s)如引理4定義.因此u??Bl,所以?Bl上的算子方程u=λFu無解,0<λ<1.根據定理1,可得出算子F有一個不動點,這就是問題(1)的解.

3 結語

綜上所述,本文利用不動點定理和分數階Gronwall不等式,研究了一類分數階積分微分方程解的存在性.文中證明了若所給假設(H)成立,則該類分數階積分微分方程在J上至少有一個解.至此,分數階積分微分方程(1)的解的存在性得以證明.