一類耦合非線性薛定諤方程組的求解

仁世杰,李永軍,張 娟

(1.蘭州城市學院 信息工程學院,甘肅 蘭州 730070;2.蘭州城市學院 電子工程學院,甘肅 蘭州 730070;3.寧夏師范學院 數學與計算機科學學院,寧夏 固原 756000)

0 引言

雙芯光纖耦合方程是一類數學與物理領域研究的熱點方程,它描述了光纖中光孤子是光波在傳播過程中色散效應與非線性壓縮效應相平衡的結果.因為光孤立子通信具有高碼率、長距離和大容量的優點,可以構成超高速傳輸系統,所以光孤立子及其在通信中的應用研究具有重要的研究價值. 文獻[1]研究了變系數線性耦合的非線性薛定諤方程組:

(1)

其中:βj1(j=1,2)是第j個纖芯的群速度參數;βj2(j=1,2)是第j個纖芯的色散參數;γi(i=1,2)是非線性參數;c是兩個纖芯之間的線性耦合參數;δa是兩個纖芯的相速度參數.對于方程組(1),文獻[1]針對非線性定向耦合器中光學明孤子的相互作用動力學進行了廣泛的數值研究,考慮群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面積的差異等因素的影響,主要使用數值方法研究了在均勻白躁聲形式下的諧波無窮小擾動作用下亮孤子的穩定性.求解此類方程學有以下方法:IST方法[2-3],齊次平衡法[4-5], B?cklund變換方法[6-7],Sine-cosine方法[8-9]等.本文研究的是變系數的線性耦合非線性薛定諤方程組,方程組為

(2)

通過Painlevé檢驗,得到當非線性參數和耦合參數滿足:

(3)

時,方程組(2)是Painlevé可積的. 本文在條件(3)基礎上,首先利用Sine-cosine方法求解方程組的特殊精確解,然后選取滿足方程的特定參數,并給出圖像,所涉及的計算均由Maple完成.

1 預備知識

Sine-cosine方法是求解非線性數學物理方程的有效方法,主要用于可積系統的求解.本節簡單地介紹Sine-cosine方法. 考慮非線性偏微分方程組

(4)

假設方程組(4)的解具有如下形式:

(5)

將(5)代入方程組(4),得

(6)

分離(6)中實部和虛部,則式(6)等價于虛部為0:式(7),實部為0:式(8).

(7)

(8)

求解(7)可得

(9)

(10)

在方程組(10)中,假設Fi(ξ)(i=1,2)有如下形式:

Fi(ξ)=
Eisin(h(ξ))+Gicos(h(ξ))+Hi(i=1,2),

(11)

其中Ei,Gi和Hi(i=1,2)是待定常數,同時h(ξ)滿足常微分方程:

(12)

其中A,B和E是待定常數.再將(11),(12)代入(10)中,整理得到關于sin(h(ξ)),cos(h(ξ))的多項式,令其系數為零,得到關于E1,E2,G1,G2,H1,H2,A,B,E,k和ω的代數方程組.將得到的解帶回(12)中,再利用文獻[10]中介紹的Sine-Gordon方程(12)的解,可以得到方程組(4)的解.

2 方程組的求解

本節使用Sine-cosine方法和特殊變換求方程組(2)的一組精確解.

定義下列函數:

(13)

方程(2)可經過變換:

(14)

轉化為方程(4).故先求解方程(4)得到方程的解U(X,T),V(X,T),然后再通過變換(14)就可以得到原方程組(2)的解.

由第一節求解方程組(4)可以得到E1,E2,G1,G2,H1,H2,A,B,E,k,ω的代數方程組,令

D1=4H1α2k4-4H1αk2ω+
4H2αk2μ+2AEE1-BEG1,
D2=4H2α2k4+4H1αk2μ-
4H2αk2ω+2AEE2-BEG2,
D3=4E2α2k4+4E1αk2μ-
4E2αk2ω+A2E2-ABG2+E2E2,
D4=4G1αk2μ-4G2αk2ω+
2A2G2+3ABE2-B2G2+E2G2,

則代數方程組有如下表示,

-24Ε1G1H1αβk2+3AEG1+3BEE1=0,

(15)

12E12H1αβk2-12G12H1αβk2-
3AEE1+3BEG1=0,

(16)

12E12G1αβk2-4G13αβk2-
2A2G1-4ABE1+2B2G1=0,

(17)

4E13αβk2-12E1G12αβk2-
2A2E1+4ABG1+2B2E1=0,

(18)

-12E12H1αβk2-4H13αβk2+D1=0,

(19)

-4G1αk2ω+4G2αk2μ+2A2G1+
3ABE1-B2G1+E2G1+4=0,

(20)

-24E2G2H2αβk2+3AEG2+3BEE2=0,

(21)

12E22H2αβk2-12G22H2αβk2-
3AEE2+3BEG2=0,

(22)

12E22G2αβk2-4G22αβk2-
2A2G2-4ABE2+2B2G2=0,

(23)

4E23αβk2-12E2G22αβk2-
2A2E2+4ABG2+2B2E2=0,

(24)

-12E22H2αβk2-4H23αβk2+D2=0,

(25)

-4E23αβk2-12E2H22αβk2+D3=0,

(26)

-12E22G2αβk2-12G2H22αβk2+
4G2α2k4+D4=0.

(27)

求解方程組(15)-(27),選取其中一組非平凡解:

(28)

將(28)代入方程(12),得

(29)

求解微分方程(29),得

(30)

取特定例子如下:

取定常數μ=10,β=-1,α=1,B=-1,E2=3,將(30)代入方程組(11),得

(31)

根據(5)和(28)可知U(X,T)=V(X,T).當常數確定后,則

(32)

由此U(X,T),V(X,T)表示為

(33)

圖的圖像

限制自變量的范圍,得到|U(X,T)|2圖像,如圖2所示.

圖2 |U(X,T)|2的圖像

從圖2發現|U(X,T)|2的能量凹陷,即為暗孤立子解.

將(13)代入(33)中,令

u(x,t),v(x,t)表示為

(34)

限制自變量的范圍,得到|u(x,t)|2圖像如圖3所示.

圖3 |u(x,t)|2的圖像

從圖3可以發現|u(x,t)|2的部分能量突起,即為亮孤立子解.

3 結語

本文主要研究的是一類薛定諤方程組在可積條件下,通過特殊變換法和Sine-cosine求解其精確解,然后給定待定的常數,確定方程組精確解的圖像.本文的目標方程可進行適當地調整,若將部分常系數改為變量系數,那么可積條件將會發生變化,同時可使用上述方法求方程的精確解.