基于貝葉斯統計推斷的粗集料級配測試研究

巨鵬飛，陸 藝，范偉軍，趙 靜

（1.中國計量大學，浙江 杭州 310018；2.杭州沃鐳智能科技股份有限公司，浙江 杭州 310018）

0 引 言

集料是一種重要的建筑用料，合理的集料級配（不同大小顆粒占比）對道路橋梁的安全起著至關重要的作用。其中粗集料俗稱石子，細集料俗稱砂子。集料的級配不均會使混凝土的和易性降低，或者粗集料中針、片狀顆粒含量過多也會使和易性降低，還會增加水泥用量，并且導致混凝土強度下降[1]。因此JTG F40—2004《公路瀝青路面施工技術規范》對集料規格做了詳細規定，同時其規格的檢測以多個方孔篩的篩網篩分，然后稱重為準[2]，但是篩分法過程繁瑣、篩孔易堵塞，極大地影響了檢測效率[3]，難以滿足拌合站現場快速檢測的需求。隨著機器視覺的發展，越來越多的科研人員通過視覺檢測獲取集料圖像特征以此達到拌合站快速檢測要求。2014年，史源利用LabVIEW 研發了可以自動提取圖像中集料的形態特征系統，通過背光拍攝的方式對平鋪的靜態集料進行圖像采集，通過提取集料的周長、面積等特征對集料的粒徑進行表征，但對靜態集料進行視覺級配分析，需要提前將集料平鋪于視場中，且每次檢測的集料數量有限，導致檢測效率低下，無法適應工程檢測需求[4]。2017年，陳思嘉采用圖像處理技術，對下落過程中的動態集料圖像進行研究，開發了一套機制砂粒徑粒形檢測系統，但機制砂的粒徑過小，形狀接近于球型，而粗集料形狀更加不規則，所以對于粗集料檢測其偏差會更大[5]。2018年，周建華等人對集料表征參數進行了研究，對多個不同的等效粒徑進行分析。通過實驗發現，等效橢圓Feret 短徑的粒徑分類結果與實際結果的相關性最高[6]。

基于以上分析，本文對振動盤抖落的動態粗集料進行研究，設計了合適的視覺檢測系統對下落的集料進行圖像采集。將集料圖像序列中的最大Feret 短徑作為集料顆粒的等效粒徑。由于機器視覺所檢測到的集料數據是局部二維信息，不能表征三維信息，所以利用貝葉斯統計推斷的方法去實現集料粒徑分布的快速推斷。拌合站現場快速檢測場合占比偏差要求控制在±5%之內。

1 集料的圖像采集與分析

1.1 實驗測試臺的搭建

集料檢測系統主要由工控機、振動給料機、圖像采集系統組成，其整體機構如圖1 所示。檢測系統程序通過Visual C#聯合Halcon 開發完成。振動給料機是由給料口1、振動臺2 和電磁振動器3 組成。通過電磁振動器使集料穩定均勻地下落。圖像采集系統由工業相機6、鏡頭7、背光源4 和透明擋板5 組成。工業相機使用的是海康500 萬像素的USB 3.0 面陣相機，最大幀率為74 f/s，其幀率可以滿足動態抓取圖像需求。系統中視場大小為240 mm×240 mm，物距為0.54 m，因此鏡頭搭配的是焦距為16 mm 的鏡頭。光源選擇的是平行背光源。在本系統中，設置相機曝光時間為200 μs，采用最大幀率進行拍攝。經相機標定實驗，其尺寸分辨率為0.1 mm。

圖1 集料級配檢測系統設計圖

1.2 動態獲取與圖像預處理

相機對下落過程中的集料進行圖像采集時，每顆集料會留下多個點跡圖像，因為集料在下落過程中會有不同方向的偏轉，所以同一顆集料在每個點跡所呈現的輪廓形態是不同的。在最大幀率條件下，集料顆粒在圖像序列中至少有7 幅圖像，最多有8 幅圖像，這為集料粒徑表征參數的選擇提供了充足的數據保證。通過數據關聯跟蹤方法對圖像序列中的所有集料顆粒進行識別跟蹤，獲得集料在不同視角下的尺寸信息[7-8]。

對于機器視覺獲取的原始圖像，首先需要對其進行灰度化處理。在實際工程中，往往會有大量粉塵顆粒，這會影響采集的圖像質量，因此對灰度化后的圖像通過中值濾波進行去噪。為了突出圖像中的邊緣細節，可以增強圖像的對比度。為了方便提取集料顆粒的形態特征，需要對其進行二值化處理，這樣方便把集料顆粒與背景分開[9]。圖像預處理流程如圖2 所示，其結果如圖3所示。

圖2 圖像預處理流程

圖3 圖像處理效果圖

1.3 集料粒徑特征參數選擇

對于粗集料來說，其圖像一般為不規則圖像，因此需要找一個合適的特征參數作為集料的等效粒徑。常用的特征參數有外接矩形的長短軸、等效矩形的長短軸、Feret 直徑等。其中Feret 直徑是一組直徑，這些直徑是由一組兩個平行的與顆粒圖像相切的切線距離確定的。本文選擇與篩網篩分法結果相近的Feret 短徑作為集料粒徑的特征參數。其Feret直徑如圖4 所示。

圖4 Feret 直徑

集料的每次下落都會獲得1 組圖像序列，相當于每顆集料都能獲得多個不同的Feret 短徑，再從圖像序列中取最大Feret 短徑作為集料顆粒的等效粒徑。分別取19～26.5 mm、16～19 mm、13.2～16 mm 和9.5～13.2 mm 等4 種規格（標準中S9 規格）的集料各150 顆，得到等效粒徑真實值如圖5 所示。

圖5 最大Feret 短徑分布

通過圖5 可以觀察到一個現象，相鄰兩個規格之間的集料，其粒徑范圍會出現數據重疊。在集料級配實驗時，數據重疊區域中，集料的多少會對篩分的準確率有著重要影響。數據重疊區域越大，越不容易區分相鄰兩個規格的集料。因此，相鄰兩個規格集料的數據重疊比例越小，越能表征粒徑的實際尺寸。為了減小數據重疊對集料篩分的影響，引入了貝葉斯統計推斷的方法。

2 貝葉斯統計推斷思想

2.1 研究思路

貝葉斯統計推斷主要通過兩個步驟進行運用。第一步是貝葉斯統計，主要是貝葉斯公式的運用。首先選取合適的先驗概率；然后需通過大量的統計實驗去計算似然函數，即集料在不同等效粒徑區間與實際粒徑區間的概率分布關系；最后根據貝葉斯公式計算出后驗概率[10-11]，即每顆集料在不同實際粒徑規格的可能性。第二步是貝葉斯推斷，引入beta 分布作為其先驗分布；再對上一步驟的貝葉斯統計中的后驗概率進行累加，獲得預測的可能顆粒數量，以此作為觀測數據的二項分布集；最后運用貝葉斯推斷來計算其后驗分布[12-13]，推斷其占比情況。貝葉斯統計推斷具體流程如圖6 所示。

圖6 貝葉斯統計推斷流程

2.2 統計階段

為了驗證貝葉斯統計推斷的可靠性，本文以篩網篩分的集料顆粒作為標準集料樣本。以JTG F40—2004標準中規格為S9 的粗集料為例，類別集合ci={c1,c2,c3,c4}。其中c1表示19～26.5 mm，c2表示16～19 mm，c3表示13.2～16 mm，c4表示9.5～13.2 mm。以下從3 個方面分析貝葉斯統計的過程。

2.2.1 先驗概率

合理的先驗概率是人們在觀察事物中的合適的信念。在集配測量中，工作人員往往會根據JTG F40—2004 標準中粗集料的規格要求進行檢測，因此可以此標準中集料規格作為先驗概率。但標準中是以通過每一級篩網的質量占總質量的百分比進行判斷的，視覺測量的方式是通過集料在不同粒徑區間的數量占總數量的百分比進行判斷的，因此必須得到集料質量與數量之間的關系。通過篩網篩分獲得不同ci的實驗集料顆粒數量各1 000 顆，然后對同一ci的集料進行稱重，重復以上步驟3 次，對所得結果取平均值，然后通過計算可以得到符合JTG F40—2004 標準中集料規格的集料數量占比，如表1 所示。由此得到以數量為單位的符合JTG F40—2004 標準的不同ci的先驗概率。

表1 規格為S9 集料的先驗概率P

2.2.2 條件概率

對于條件概率的計算其實就是對似然函數的求解。取4個規格的實驗集料各1 000顆，為了精確集料的篩分情況，對4 個規格進行細化，每隔1 mm 對集料進行一次篩分，運用視覺測量得到集合D，表示屬于ci的所有實驗集料對應的xi顆粒數各為ni顆，θi為視覺檢測得到的顆粒數對應實際規格顆粒數的概率，其中。

由此列出似然函數：

對式（1）取對數，得：

對θ求偏導，令偏導函數等于0，則有：

由此可以推導：

因此求得：

通過求解可以得到似然函數值θi，表示集料屬于ci時通過機器視覺測量的最大Feret 短徑屬于xi的概率P(xi|ci)，如表2 所示。

表2 集料的似然概率P( xi|ci)

2.2.3 后驗概率

通過上述步驟可以得到貝葉斯公式所需要的先驗概率P(ci)和似然P(ci|xi)，此處貝葉斯公式如下：

式中，N為集料實際粒徑區間個數，這里N=4。拌合站質檢人員通過來料取樣得到被測樣品（其顆粒數約1 500 顆），被測樣品經機器視覺測量后得到最大Feret短徑數據集。然后應用貝葉斯公式（7）對被測樣品進行計算，從而得到被測樣品的每顆集料的后驗概率P(ci|xi)，如表3 所示。

表3 規格為S9 集料的某被測樣品的后驗概率P(ci|xi)

表3 中得到了每顆集料在不同ci的可能性值，同樣可以理解為單顆石子在不同ci的分配值。通過將各ci區間的被測樣品的可能性值進行概率累加，從而獲得了不同ci區間的可能顆粒數量，此值為2.3 節中二項分布B（n，y）中的y值奠定基礎。此時已經可以初步計算集料分布的占比情況，如表4 所示。

表4 貝葉斯統計下的實際和預測粒徑分布情況 %

通過表4 可以發現質量與數量的不同規格下實際粒徑分布和預測粒徑分布的對比情況，但此數據是忽略了樣本數量大小的情況下得到的結果，所以此結果和實際粒徑分布的真實結果是有偏差的。因此，下一步運用貝葉斯推斷的方法對結果進一步準確預測。

2.3 推斷階段

在貝葉斯推斷中，首先是找到一個關于θ（顆數占比）合適的先驗分布（fθ）；然后根據2.2 節中累加所得的可能顆粒數量確定觀測數據yi的分布模型，其是基于θ的條件概率p(yi|θ)；當獲得到yi的一個特定值后，就可以通過貝葉斯推斷來計算θ的后驗分布f(yi|θ)以及期望E（θ）。

2.3.1 先驗分布

首先為θ選擇一個先驗分布，對于集料符合什么先驗分布，其實并不清楚，只能確定θ位于[0，1]之間，因此選擇beta 分布作為參數θ的先驗分布。其概率密度函數為：

式中：θ是未知參數；α和β為控制beta 分布圖像的參數；為伽馬函數，可以理解為正則項，保證f(θ)的積分為1。可利用3 組（α,β）分別為(0.25,0.25)、(1,1)、(5,5)的beta 分布作為先驗分布來觀察不同的先驗分布對后驗分布的影響。其3 組（α,β）參數的先驗分布如圖7 所示。從而可以得到類似于U 型分布、均勻分布、正態分布的形狀，具有較好的通用性。

圖7 三組不同參數下的先驗分布

2.3.2 觀測數據分布

對于觀測數據的分布，被測樣品總顆數為n時，此時每個ci的數量yi落在此區間的概率可認為是符合二項分布B（n,yi），從而獲得了一個二項分布集合，二項分布表達式為：

2.3.3 后驗分布

針對后驗分布的計算，由貝葉斯定理可得：

由式（8）和式（9）代入式(10)可得：

由于先驗分布已確定，因此參數α和β已知，同樣被測樣品總顆數為n和屬于ci的可能顆粒數量yi已知，因此對式（11）進行合并歸一化：

可以看出后驗分布也是一個beta 分布，此beta 分布的期望值表示為：

式中E(θ)即為待估參數θ的估計值，也就是預測的占比情況，只不過新的beta分布參數發生了變化，其中α′=α+yi，β′=β+n-yi。

3 實驗及結果分析

3.1 合格級配占比分析

針對級配合格的集料，為了探究樣本數量以及不同參數的先驗分布對篩分準確率的影響，取3 組數量分別為300、900、1 500 顆的集料作為被測樣本，同時結合2.3.1 節中3 組不同參數的先驗分布對其預測。被測樣本通過篩網篩分，從而得到真實粒徑的分布，再根據2.2 節中方法得到集料顆粒在不同ci的可能顆粒數量，如表5 所示。

表5 合格級配下的集料可能顆粒數量

由表5 的內容可以確定觀測數據的二項分布集，根據貝葉斯推斷的方法可以得到三種不同先驗下的各個ci的后驗分布，以c1為例，其后驗分布如圖8 所示。圖8中黑線是粒徑分布的實際占比，另外三條虛線代表三個不同先驗的預測占比，可以看出當樣本數量較小時，三種不同參數先驗分布預測的粒徑分布是逐漸向實際占比靠攏的，但符合正態分布的先驗分布效果較差；當樣本數量足夠大時，三種不同參數先驗分布的預測占比與實際占比幾乎重合。由此可見，當樣本數量足夠時，不同的先驗分布對后驗分布的預測影響不大，因此后續實驗選擇參數α=1、β=1 的均勻分布作為先驗分布。

圖8 合格級配下c1(19～26.5 mm)的后驗分布

通過計算期望得到對應規格下的預測占比以及與實際占比的偏差。其中以第3 組實驗數據為例進行計算，其質量與數量的實際和預測粒徑分布以及偏差結果如表6 所示。

表6 合格級配下的占比情況%

根據表6 可以看出，與表4 貝葉斯統計的結果相比，貝葉斯推斷得到的結果不論是數量偏差還是質量偏差都有所精進，由此可見貝葉斯推斷方法推斷整體的粒徑分布精度提高了。其中貝葉斯推斷方法推斷數量上預測粒徑分布與實際粒徑分布最大偏差有2.00%，質量上預測粒徑分布與實際粒徑分布最大偏差有1.80%，符合拌合站快速檢測要求。

3.2 不合格級配占比分析

為驗證方法的可靠性，對集料重新進行配比，選取三種被測樣品進行實驗，分別為均勻占比、大集料占比偏多、小集料占比偏多。每種樣品顆粒數量為1 500 顆，其質量根據2.2.1 節中所得質量-數量轉化系數進行換算。因為標準中集料級配的結果是以質量占比來呈現粒徑分布的，所以后續實驗結果以質量占比進行呈現。由3.1 節實驗結果表明，不同先驗分布對后驗分布的計算影響不大，因此以均勻分布作為先驗分布對下面實驗進行計算。

3.2.1 均勻配比

均勻配比情況下，4 個規格按各占25%的比例進行分配，根據質量-數量轉化系數對數量進行相應換算，再通過貝葉斯統計推斷方法預測均勻分配下集料占比，其占比情況如表7 所示。

根據表7 可以看出，通過貝葉斯推斷方法推斷的質量上預測粒徑分布與實際粒徑分布最大偏差只有0.50%，符合拌合站快速檢測要求。

3.2.2 大集料占比偏多

大集料偏多情況下，4 個規格按照5∶3∶3∶3 的比例進行分配，利用質量-數量轉化系數對數量進行相應換算。根據貝葉斯推斷方法預測的占比情況如表8 所示。

表8 大集料比例偏多的占比情況%

根據表8 可以看出，貝葉斯推斷方法推斷質量上預測粒徑分布與實際粒徑分布最大偏差有1.67%，符合拌合站快速檢測要求。

3.2.3 小集料占比偏多

小集料偏多情況下，四個規格按照4∶4∶4∶5 的比例進行分配，同樣利用質量-數量轉化系數對數量進行相應換算。根據貝葉斯統計推斷預測的占比情況如表9所示。

表9 小集料比例偏多的占比情況%

根據表9 可以看出，通過貝葉斯推斷方法推斷的質量上預測粒徑分布與實際粒徑分布最大偏差只有1.13%，符合拌合站快速檢測要求。

綜上所述，針對3 組不合格級配來說，當集料粒徑偏大時，預測的質量粒徑分布與實際粒徑分布的偏差較大；當集料粒徑偏小時，預測的質量粒徑分布結果要更好一些。這也反映了當集料顆粒較大時，其形狀復雜度要高一些；而集料顆粒較小時，其形狀更接近于球體，復雜度更低。

4 結 語

本文針對集料的級配快速檢測要求，提出一種集料的視覺檢測法。由于視覺采集數據的局限性，引入了貝葉斯統計推斷的方法，提高了集料級配的篩分精度，解決了只有集料顆粒局部二維信息下而無法推導集料顆粒全局信息的問題。實驗結果證明，利用貝葉斯統計推斷方法進行預測，可以實現拌合站現場快速檢測的需求。

注：本文通訊作者為陸藝。