高低指數(shù)環(huán)流不連續(xù)性周期振蕩的物理機制研究

劉 春 , 孫 俊 , 白志娜 , 彭俊凱 , 于 涵

（1.遼寧省遼陽市氣象局，遼陽 111010；2.四川省氣象災害防御技術中心，成都 610072；3.遼寧省盤錦市氣象局，盤錦 124010；4.沈陽農業(yè)大學土地與環(huán)境學院，沈陽 110866）

引 言

指數(shù)循環(huán)是對流層西風環(huán)流變化中最典型的特征現(xiàn)象，關于它的研究起源很早。20 世紀30 年代末期，Rossby[1]就提出了西風指數(shù)的概念，即利用北半球35°N 和55°N 兩個緯圈的氣壓梯度表示西風環(huán)流的強度，研究發(fā)現(xiàn)5 天平均的西風指數(shù)和平均海平面氣壓圖上的大氣活動中心（阿留申低壓）的經(jīng)度位置及其范圍有很好的統(tǒng)計關系。此后，多項研究[2-6]進一步利用高空資料對指數(shù)循環(huán)的觀測事實作了詳細分析。

現(xiàn)在，指數(shù)循環(huán)現(xiàn)象主要是指對流層中層大范圍流型的一種周期變化，表現(xiàn)為兩種流型的交替變動：一種是高指數(shù)的緯向西風環(huán)流體系，其特征是緯向氣流強，而行星波振幅小；另一種是低指數(shù)的經(jīng)向西風環(huán)流體系，其特征是緯向氣流弱，行星波振幅大，表現(xiàn)為阻塞形勢發(fā)展和維持。高低指數(shù)環(huán)流形成約為2—6 周的周期性振蕩，但是兩種流型的交換常有“跳躍”性質，即具有不連續(xù)特征，是西風環(huán)流的最基本問題之一。

由于非線性動力學的發(fā)展，對西風環(huán)流高低指數(shù)不連續(xù)循環(huán)的研究較多。朱抱真和王斌[7]把Pedlosky[8]的弱非線性斜壓不穩(wěn)定理論用于分析超長波和基本西風的不穩(wěn)定性，討論了指數(shù)循環(huán)的過程。金飛飛和朱抱真[9-10]采用安德羅諾夫[11]的不連續(xù)振蕩理論討論了高低指數(shù)不連續(xù)性循環(huán)，研究指出：如果臨界切變相對于熱力強迫是次共振時，熱力強迫波具有大振幅特征，構成低指數(shù)型環(huán)流；如果臨界切變相對于熱力強迫而言遠超共振時，熱力強迫波具有小振幅特征，構成高指數(shù)型環(huán)流。從動力學觀點看，高低指數(shù)環(huán)流的轉換過程背后，必然是大氣方程的分歧在起作用。為此，劉春等[12]采用無窮維Euler-Lagrange理論分析了高低指數(shù)環(huán)流轉換的分歧作用，研究認為：存在一個臨界參數(shù)，當切變參數(shù)的絕對值超過這個臨界參數(shù)，正壓剪切流將分歧出阻塞流型，這意味著阻塞高壓的形成；反之，當切變參數(shù)的絕對值小于這個臨界參數(shù)，阻塞流型將恢復到剪切流，這意味著阻塞高壓的崩潰；在切變參數(shù)變換的過程中，高指數(shù)環(huán)流和低指數(shù)環(huán)流形成了一個不連續(xù)性循環(huán)。

目前，已有研究較好地刻畫了高低指數(shù)環(huán)流不連續(xù)性周期振蕩的某些特征，如不連續(xù)性、振蕩周期等，但這些成果在高指數(shù)的緯向氣流和低指數(shù)的具有阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流等方面缺乏細致分析。因此，有必要做進一步研究。自Stuart[13]提出弱非線性理論以來，這一理論就被認為是研究流動穩(wěn)定性最有效的方法之一，其基本思路是對非線性流動中待解物理量以小參數(shù)的冪級數(shù)展開，并對小參數(shù)的每一階求解。一般而言，在解的高階項上，將保留原方程的非線性特征，故稱為弱非線性理論。Pedlosky[8,14-17]在Charney 等[18-21]的線性斜壓不穩(wěn)定理論的基礎上，結合弱非線性理論和多時間尺度變換，解決了線性模式不能解釋大氣中存在較大波動和渦旋的問題。鑒于高低指數(shù)轉換的不連續(xù)性及低指數(shù)的阻塞形勢均具有典型的非線性特征，因此本文采用Pedlosky[8]提出的非線性方法，研究在一定的垂直切變條件下，當西風環(huán)流在沒有外源強迫作用時，通過自身的波與流的非線性作用，激發(fā)出具有不連續(xù)振蕩特征的流型，該流型不僅可以刻畫出高指數(shù)的緯向氣流和低指數(shù)的具有阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流，還可以刻畫兩者之間的不連續(xù)性周期振蕩。研究過程分為三步：首先利用兩層斜壓模式，通過弱非線性理論和多時間尺度變換，得到一個無外源強迫的斜壓波振幅方程；然后，分析斜壓波在一定的垂直切變條件下具有的不連續(xù)性循環(huán)特征；最后，結合兩層模式的近似解，討論高指數(shù)的緯向氣流和低指數(shù)的具有阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流之間不連續(xù)性周期振蕩的物理機制。

1 斜壓模式的線性理論

指數(shù)循環(huán)是出現(xiàn)在北半球西風帶的一種典型現(xiàn)象，其運動近似滿足準地轉平衡。因此，可用準地轉渦度方程和熱力學能量方程[22-23]描述如下：

式中： β為Rossby 參數(shù)，f0為中緯度地轉參數(shù)，為靜力穩(wěn)定度參數(shù)。

根據(jù)已有研究[7,9-10]，西風環(huán)流的指數(shù)循環(huán)主要是由斜壓不穩(wěn)定引起的。因此，研究采用最簡單的兩層模式的鉛直結構（圖1），即將整個對流層分為上下兩層，5 個等壓面分別用標號0、1、2、3、4 表示。上層運動由寫在等壓面p1上的渦度方程來描寫，下層運動由寫在等壓面p3上的渦度方程來描寫，上下兩層的運動通過寫在等壓面p2上的熱力學能量方程建立起相互聯(lián)系。

圖1 兩層模式的鉛直結構

根據(jù)圖1，可知方程組（1）的上下邊界條件為

若各方程中對p的微商近似用差商代替[22]，則準地轉斜壓兩層模式的閉合方程組（1）可以寫為：

式 中： ψ2采 用 線 性 內 插 方 法 由 ψ1和 ψ3表 示，即ψ2=(ψ1+ψ3) 。可見，式（3）是關于未知變量 ψ1、ψ3、ω2的閉合方程組。

將方程（3c）帶入到（3a）和（3b），消去 ω2，并做無量綱變換如下：

式中：L為緯向特征尺度，U為緯向特征速度。通過量綱變換，得到無量綱方程組如下：

為了敘述方便，將方程組（5）中的撇號去掉，得到方程組如下：

式中：無量綱參數(shù) β=β′L2/U表征行星渦度特征，F(xiàn)=表征內旋Froude 數(shù)，H為鉛直特征尺度。考慮通道流，有以下側邊界條件：

緯向流滿足以下邊界條件：

取準地轉流為：

將式（9）帶入到方程組（6）中，線性化處理為：

滿足邊界條件（7）和（8）的解形式可寫為：

將解形式（11）帶入到方程組（10）中，得到頻散關系如下：

2 斜壓模式的弱非線性理論

上節(jié)給出了描述指數(shù)循環(huán)的斜壓模式，并簡要闡述了它的線性不穩(wěn)定性。根據(jù)弱非線性理論，必須選擇參數(shù)作為冪級數(shù)展開的小參數(shù)。Pedlosky[8]在線性斜壓理論的基礎上，取垂直風切變的臨界值Uc為基本態(tài)，垂直切變在基本態(tài)附近做微小變化，即為：

式中： |Δ|?Uc～o(1) 。對＜2F的情形，有如下條件：

式中：ci為c的虛部。可見，當垂直切變比臨界值增加Δ時，擾動增長率正比于 |Δ|1/2。為此，在初始線性不穩(wěn)定階段，其振幅增長率屬于慢時間尺度[10-12]，即為：

因此，考慮雙時間尺度變換[21]，即為：

取流函數(shù)為：

將變換（17）和流函數(shù)形式（18）帶入到式（6）中，得到以下方程組：

將 φn展開如下：

將式（20）帶入到方程組（19）中，得到各階攝動問題。下面將對各階攝動問題求解，在求解過程中，往往會遇到奇異項，根據(jù)攝動思想，需要通過限制條件將奇異項消除，使方程組（19）的解有意義。|Δ|1/2

（1） 階問題

|Δ|1/2階問題為線性問題，方程組（21）滿足齊次剛性條件（7）和（8）的解可寫為：

（2） |Δ|階問題

將解（22）帶入方程組（23）中，得到以下方程組：

方程組（24）中的非齊次項包括兩類：一類是與x、t無關的，即前一項；另一類是與x、t相關的，且具有自由中性解結構。這兩類強迫都可以強迫出自由波，其中前者強迫出緯向流（平方解），后者強迫的是中性波擾動。因此，都必須加以消除奇異條件的限制。在齊次邊界條件（7）和（8）下，通過消除奇異條件，可以得到 |Δ|階問題的解具有如下形式：

從上述分析可知，通過消除 |Δ|階問題的奇異條件，并不能求出關于振幅A(T)的關系式。因此，為了求出A(T) 和Φ(y,T)(n=1,3)，需要進一步考慮更高階的問題。

（3） |Δ|3/2階問題

將解形式（22）和（25）帶入方程組（26）中，可得：

同 |Δ|階問題一樣，方程組（27）的非齊次項包括與x、t相 關 的F11(x,t,y,T)和F21(x,t,y,T) ，以 及 與x、t無關的F21(y,T)和F22(y,T)。由于這兩類強迫均可引起共振強迫，必須加以消除奇異條件的限制，通過消除奇異條件，得到關于振幅A(T)的方程：

其中，

3 高低指數(shù)環(huán)流的不連續(xù)性周期振蕩

本節(jié)將進一步討論高低指數(shù)環(huán)流的不連續(xù)性周期振蕩，為此，需要給出兩層模式的流場。分析式（22）、（25）和（29）可知， |Δ|1/2和|Δ|階的解中含有斜壓波振幅A(T) 。因此，需對 |Δ|3/2階問題通過消除奇異條件得來的振幅方程（28）進行求解。

方程（28）為二階非線性方程，將其改寫為關于振幅A(T) 及其變化率的方程組，形式如下：

方程組（30）是自治的：有閉軌族Lh:H(A,S)=h，-k2(c+N|A(0)|2)＜h＜0 ；當h→0 時，Lh趨于同宿軌L；

其中H=S2-k2(c+N|A(0)|2)A2+k2NA4。

除上述閉軌族之外，分析平衡點的穩(wěn)定性可知：方程（30）存在 (0,0) 和共3 個平衡點，其中 (0,0) 為鞍點，為中心。可見，在同宿軌L及兩個中心之間，仍為閉軌族。

取緯向特征尺度L=3×106m ，鉛直特征尺度H=103m ，緯 向 特 征 風 速U=10 m/s ，Rossby 參 數(shù)β=10-11m/s ，中緯度地轉參數(shù)f0=4.87×10-4m-1， 緯向波數(shù)k=2 ，經(jīng)向波數(shù)mπ=2 ，臨界切變風速Uc=8 m/s，上層風速U1=12 m/s ，下層風速U3=9 m/s，斜壓波速c=2 m/s 。由無量綱變換（4）可知：內旋Froude 數(shù)F=59.7 ，|Δ|=0.1，c0i≈4.215×10-4，N≈0.01087 ，γ=0.37。在這組參數(shù)下，中心點在原點附近。

因此，在一般的初始條件下，方程是在同宿軌L外的閉軌上運動。取初值A(0)=0和S(0)=1（從相圖可以看出，初值并不影響其周期性），則得到A(T)-S(T)相圖（圖2）。

圖2 具有跳躍性質的同宿軌道（ A(T)-S(T)）

由于c0i?1和N?1，則方程（30b）可近似為：

如圖2 所示，在閉軌上半部，S≈1；在閉軌下半部，S≈-1。此時，在上半部和下半部之間，存在一個明顯跳躍。分析時序變化（圖3，已通過變換T=|Δ|1/2t進行了轉換）可知：一方面，S(t)呈不連續(xù)性振蕩；另一方面，S(t)在較長時間內呈現(xiàn)常數(shù)。波幅變化率S(t) 的整個圖像類似于方形波，而波幅A(t)呈明顯的跳躍特征。

圖3 時序變化（a.S (t) ，b.A(t)）

將首次積分分解為如下形式：

這意味著，在大氣運動的非線性作用下，無外源強迫的斜壓運動是保守方程，總能量是守恒。

上文通過動力方程的方式，分析了波幅A(t)和波幅變化率S(t)的變化情況，二者的跳躍特征為分析西風環(huán)流的不連續(xù)振蕩提供了基礎。因此，結合式（18）、（20）、（22）、（25）和（29），可得到近似到 |Δ|階 的 ψn解：

式中： -Uny(n=1,3)分別為兩層模式的上層（400 hPa）和下層（800 hPa）的平均緯向流場， |Δ|1/2階項為二者的線性波動， |Δ|階項為二者的非線性波動，非線性波動保留了無量綱兩層斜壓渦度方程組（6）的非線性特征。

考慮到大氣的高低指數(shù)環(huán)流主要出現(xiàn)在對流層的中上層，為此，下文主要針對上層（400 hPa）的流場ψ1來分析西風環(huán)流的不連續(xù)性周期振蕩。一方面，由上文可知， γ=0.37 ，其與 |Δ|1/2接近，式（34 a）的第三項與第二項同量級。因此，在考慮ψ1的運動變化時，必須要考慮波幅變化率的作用。而根據(jù)圖3可知，波幅變化率具有不連續(xù)性，并且在較長時間內處于定常狀態(tài)（如第11 天到第17 天），這與西風環(huán)流的不連續(xù)特征具有一致性。另一方面，斜壓波振幅A(t)及其變化率均為周期變化。可見，400hPa流場ψ1具有不連續(xù)性周期振蕩特征。在上述取值條件下，可得出400 hPa 西風環(huán)流的空間結構變化（圖4）。

圖4 一個周期內400 hPa 西風環(huán)流 ψ1的空間結構變化（a.第1 天，b.第8 天，c.第9 天，d.第11 天，e.第14 天，f.第17 天，g.第19 天，h.第27 天，單位：3000 km）

從圖3 和圖4可以看出：從第1 天到第8天，斜壓波振幅變化率為正，方程組（30）無奇點，西風環(huán)流為平直的緯向環(huán)流（圖4a、b）；到第9天，振幅變化率由正轉向負，方程組（30）出現(xiàn)了一對位置接近的對稱的弱的雙中心結構，該結構使得平直的緯向環(huán)流在南北向開始向中心彎曲（圖4c）；隨著振幅變化率快速變化，到第11天，位置接近的對稱中心結構也急劇擴展為對稱的偶極子結構，緯向環(huán)流轉換為具有偶極型阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流（圖3d）；振幅變化率在第11 天到第17天處于波谷（近似為常數(shù)），因此偶極型阻塞形勢在這段時間內得以維持（圖4e、f）；隨后，振幅變化率快速變化，到第19 天，偶極子退化為弱的雙中心結構（圖4g）；到第20 天，振幅變化率由負轉向正，方程組（30）無奇點，西風環(huán)流又恢復為平直的緯向環(huán)流（圖4h），直到第28 天為一個周期。

分析線性穩(wěn)定性可知，當F越大時，垂直切變臨界值Uc也越大。這意味著，當垂直切變足夠大時，斜壓大氣將會出現(xiàn)高低指數(shù)環(huán)流的不連續(xù)性振蕩。進一步分析發(fā)現(xiàn)，高低指數(shù)環(huán)流不連續(xù)振蕩過程中有三個關鍵點：（1）斜壓波振幅A(t)由正轉向負或由負轉向正的過程中，發(fā)生了分歧，是造成緯向環(huán)流和經(jīng)向環(huán)流的轉換在比較短時間內完成的原因；（2）400 hPa流場 ψ1的非線性項，是產(chǎn)生偶極型阻塞形勢的關鍵，而振幅變化率的方波特征，是能夠較長時間維持具有偶極型阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流的原因；（3）斜壓波振幅方程組（30）作為周期系統(tǒng)，通過斜壓波振幅A(t)及振幅變化率調節(jié)非線性項的大小，控制偶極型阻塞形勢的發(fā)展和消亡，是維持整個西風環(huán)流在緯向環(huán)流和經(jīng)向環(huán)流間無限循環(huán)的原因。

4 結論與討論

西風環(huán)流中長期變化是結構復雜的低頻振蕩，包括瞬變的Rossby 波、準定常阻塞形勢的維持以及指數(shù)循環(huán)等多種振蕩。探討這些低頻振蕩是動力學研究中長期天氣預報和氣候變化的物理基礎，而關于指數(shù)循環(huán)，由于其過程涉及到不連續(xù)性、分歧、周期振蕩等非線性的復雜現(xiàn)象，一直沒有得到徹底解決。為此，本文結合弱非線性理論和分歧理論，分析了高低指數(shù)環(huán)流不連續(xù)性振蕩的物理機制，發(fā)現(xiàn)當垂直切變足夠大時，西風環(huán)流出現(xiàn)不連續(xù)性周期振蕩的原因主要有以下三個方面：（1）斜壓波振幅的分歧，是造成緯向環(huán)流和經(jīng)向環(huán)流的轉換在比較短時間內完成的原因；（2）對流層中上層流場的非線性特征，是產(chǎn)生偶極型阻塞形勢的關鍵，而斜壓波振幅變化率的方波特征，是能夠較長時間維持具有偶極型阻塞形勢的經(jīng)向環(huán)流的原因；（3）斜壓波振幅及振幅變化率通過周期性的調節(jié)非線性項大小，控制偶極型阻塞形勢的發(fā)展和消亡，是維持整個西風環(huán)流在緯向環(huán)流和經(jīng)向環(huán)流間無限周期循環(huán)的原因。

需要指出的是，本研究僅考慮了無外源的斜壓模式，這導致斜壓方程是周期性的，而非準周期性。因此，下一步將考慮外源強迫對方程的影響，進而更全面地揭示高低指數(shù)環(huán)流不連續(xù)性準周期振蕩的物理機制。