外圓磨削非線性動(dòng)力學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證＊

封 超 張金峰 許芝令 王保義

（①山東科技大學(xué)工程實(shí)訓(xùn)中心，山東 青島 266590；②山東科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266590；③青島?？諌毫θ萜饔邢薰?，山東 青島 266000；④濟(jì)南重工集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250100）

顫振思想源于對(duì)切削加工的研究，切削顫振是在20 世紀(jì)初由Taylor F[1]提出的。Arnold R N[2]對(duì)車削過程中顫振的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了較為詳細(xì)的描述，并構(gòu)建了顫振理論的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。系統(tǒng)開始失穩(wěn)后，顫振就隨之發(fā)生，表現(xiàn)形式不盡相同，最終表現(xiàn)在零件成型后的表面質(zhì)量上。Arnold 指出，每輪完成的加工表面轉(zhuǎn)成下一輪切屑的上表面。由于切屑的厚度會(huì)影響切削力，因此表面再生的現(xiàn)象造成切削力不僅與當(dāng)前工件和刀具間的相對(duì)位置有關(guān)，還與上個(gè)切削周期的相對(duì)位置有關(guān)。根據(jù)Arnold 的理論，Tobias S A[3]、Tlustry J[4]、Altintas Y[5]分別建立了關(guān)于車削再生顫振的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)模型。

在微磨削過程中，微磨削系統(tǒng)的不穩(wěn)定是直接影響微磨削的加工質(zhì)量和精度的原因之一，研究磨削顫振對(duì)提高磨削加工的穩(wěn)定性以及提升工件質(zhì)量有重要的意義。最初是以Snoeys R[6]模型為基礎(chǔ)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性展開研究并揭示顫振的過程。Inasaki I[7]等利用磨削過程的特征方程研究方程解從而得出磨削加工的穩(wěn)定極限和不穩(wěn)定增長(zhǎng)指數(shù)。Hashimoto F[8]對(duì)砂輪和工件間的動(dòng)態(tài)干涉的表述、顫振的增長(zhǎng)速率以及接觸剛度的處理都進(jìn)行了理論研究和實(shí)驗(yàn)分析。Srinvasan K[9]系統(tǒng)研究了特征方程及其根的分布規(guī)律。Weck M[10]和Chung K[11]分別對(duì)工件和砂輪的再生顫振理論展開了系統(tǒng)性研究。近幾年，外圓磨削在模型構(gòu)建[12]，摩擦效應(yīng)[13]，檢測(cè)方法與分析[14]，表面質(zhì)量[15]及納米磨削[16]等方面有很大進(jìn)展，但是從非線性動(dòng)力學(xué)出發(fā)探究外圓磨削特性的較少，因此，本文對(duì)外圓磨削顫振展開詳細(xì)建模與實(shí)驗(yàn)分析。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立與求解

1.1 動(dòng)力學(xué)模型建立

磨削加工中，砂輪安裝在砂輪機(jī)上，工件被夾具固定。為了實(shí)現(xiàn)連續(xù)磨削，工作過程中砂輪以較高的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，并沿工件的軸線做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。將磨削系統(tǒng)等效為彈簧質(zhì)量模型，如圖1 所示。

圖1 磨削加工動(dòng)力學(xué)模型

被加工工件w以恒定角速度ωw旋轉(zhuǎn)，視為質(zhì)量彈簧振子之一，其質(zhì)量是mw、阻尼是cw、剛度是kw。砂輪裝到機(jī)床上且平行于工件，定義為另一個(gè)質(zhì)量彈簧振子，以轉(zhuǎn)速ωg旋轉(zhuǎn)，同時(shí)沿工件水平方向以速度vf移動(dòng)，砂輪質(zhì)量是mg、等效直徑是D、剛度是kg、磨粒有效長(zhǎng)度是L、阻尼是cg。根據(jù)磨削過程動(dòng)力學(xué)[11]，計(jì)算得出磨削系統(tǒng)的非線性延遲微分方程為

式中：砂輪質(zhì)量m1，mg；工件質(zhì)量m2，mg；砂輪阻尼c1，Ns/mm；工件阻尼c2，Ns/mm；砂輪剛度k1，N/mm；工件剛度k2，N/mm；δxs指機(jī)床施加初始進(jìn)給后產(chǎn)生的靜態(tài)切削深度，mm；δxd是工件與砂輪動(dòng)態(tài)作用下的動(dòng)態(tài)切削深度，mm；磨削加工某一瞬時(shí)的總切削深度δ為二者之和，在研究線性穩(wěn)定邊界時(shí)二者是關(guān)鍵因素。

式中：K是磨削力系數(shù)，N/mm；s1是微砂輪刃密度，mm-2；γ、ε是指數(shù)參數(shù)；vw是工件線速度，mm/s；vg是微砂輪的線速度，mm/s；D是等效砂輪直徑，mm。

經(jīng)驗(yàn)系數(shù)β是介于0 和1 之間的因子（0<β<1）。FNS是靜態(tài)接觸力，N，其表達(dá)式為

式中：Sf是機(jī)床對(duì)工件施加的初始進(jìn)給量，mm。

式中：τ1表示砂輪因材料損失而產(chǎn)生位移所引起的時(shí)間延遲，s；τ2表示工件的時(shí)間延遲，s；τ1=2π/ω1，τ2=2π/ω2；ω1是砂輪轉(zhuǎn)速，rad/s；ω2是工件轉(zhuǎn)速，rad/s；α是重疊因子，定義為

式中：w2表示砂輪的橫向?qū)挾龋琺m；vf是砂輪的橫向速度，mm/s。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型微分方程

假設(shè)(x1,x2)=(δxsp,δxdq)是式（1）的平衡點(diǎn)，那么p和q應(yīng)該滿足如下關(guān)系：

進(jìn)行坐標(biāo)變換把平衡點(diǎn)移到原點(diǎn)，得到式（1）的三階展開式為

式（8）中： δy=x-xτ1-(y-αyτ2)，h=K′ε(δxsr)ε-1，ε11=

由于非線性方程無法用來直接研究加工參數(shù)對(duì)磨削過程穩(wěn)定性的影響，根據(jù)穩(wěn)定邊界理論求特征值，需要對(duì)非線性模型進(jìn)行數(shù)值線性處理，然后在特征參數(shù)的基礎(chǔ)上研究各個(gè)加工參數(shù)對(duì)磨削過程穩(wěn)定性的影響。對(duì)時(shí)滯微分方程進(jìn)行線性化處理，得到系統(tǒng)穩(wěn)定性方程為

1.3 方程特征根

用數(shù)值分析對(duì)參數(shù)(ωg,ωw,vf,δxs) 進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域的確定，具體方法為：對(duì)于給定的控制參數(shù)值，根據(jù)Thompson 顫振理論，假設(shè)λd為特征值，引入Faddeev 算法求解方程，通過特征值的實(shí)部F(ωg,ωw,vf,δxs) =Re(λd)來定義實(shí)函數(shù)F，多項(xiàng)式λ通過遞歸公式推出：

歐拉公式對(duì)F(ωg,ωw,vf,δxs) =Re(λd)進(jìn)行數(shù)值處理，得出各參數(shù)微分方程特征值的具體表達(dá)式如下：

綜上所述，影響非線性模型參數(shù)穩(wěn)定的變量除了進(jìn)給速度、等效砂輪長(zhǎng)度、等效砂輪直徑外，初始進(jìn)給量以及磨粒分布密度等也起關(guān)鍵作用，針對(duì)不同參數(shù)展開多因素研究才能對(duì)加工穩(wěn)定性影響因素有更全面的掌握。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù) Kuhn H W 的算法[17]，分別對(duì)時(shí)域響應(yīng)圖以及特征根分布圖進(jìn)行Matlab 數(shù)值模擬，通過改變參數(shù)，得到不同的特征值位置圖，分析特征值的變化規(guī)律對(duì)參數(shù)穩(wěn)定圖的影響，得出預(yù)測(cè)方法的可行性、結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2.1 進(jìn)給速度實(shí)驗(yàn)

為了得到參數(shù)空間中不同速度下的(ωg,ωw,vf)空間曲線，設(shè)定初始加工參數(shù)分別是：砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，砂輪轉(zhuǎn)速ωg=3 140 rad/s，進(jìn)給速度vf=10 mm/min，等效砂輪長(zhǎng)度L=12 mm，初始進(jìn)給量Sf=0.002 mm，等效砂輪直徑D=0.5 mm，磨削力系數(shù)K=2 400 N/mm。為了判斷磨削過程的穩(wěn)定性，繪制出一組以vf為變量的參數(shù)穩(wěn)定圖，如圖2a和圖2b 所示的用函數(shù)曲面的截面研究參數(shù)空間中當(dāng)曲面F為0 的輪廓。

圖2 不同進(jìn)給速度下的參數(shù)穩(wěn)定圖

圖2 a 中，水平線是保證磨削過程重疊的下限，曲線是代表加工是否穩(wěn)定的上限，陰影區(qū)域是磨削加工過程中不發(fā)生顫振的有效空間。綜合圖2，vf=10 mm/min 時(shí)的陰影面積最小，vf=12 mm/min 時(shí)陰影面積增加，而vf=18 mm/min 時(shí)陰影面積最大，即穩(wěn)定區(qū)域是隨進(jìn)給速度的增大而增加的。

下面分別從時(shí)域和特征值兩方面對(duì)圖2 的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)定ωw=1.2 rad/s，ωg=3 140 rad/s，L=12 mm，D=0.5 mm，s1=1 300 mm-2初始進(jìn)給量sf=0.002 mm，比例系數(shù)K=2 400 N/mm，如圖3 所示。選取不同的進(jìn)給速度，發(fā)現(xiàn)進(jìn)給速度為10 mm/min 時(shí)，磨削中出現(xiàn)顫振現(xiàn)象，如圖3a 所示；進(jìn)給速度增至12 mm/min 時(shí)磨削過程趨于穩(wěn)定，如圖3b 所示。

圖3 不同進(jìn)給速度下的時(shí)域響應(yīng)圖

圖4 為選取與圖3 相同的參數(shù)設(shè)置，進(jìn)給速度從10 mm/min 提高到12 mm/min 所繪制的特征值位置圖，觀察發(fā)現(xiàn)圖4a 存在部分特征值實(shí)部大于零，即磨削過程有不穩(wěn)定現(xiàn)象，而圖4b 的特征值實(shí)部均為負(fù)數(shù)，可見圖4b 是穩(wěn)定磨削加工。進(jìn)給速度的提高使特征值向左移動(dòng)引起磨削過程從不穩(wěn)定到穩(wěn)定狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。

圖4 不同進(jìn)給速度下的特征值位置變化圖

綜合圖2～圖4 的研究結(jié)果，得出參數(shù)穩(wěn)定圖、時(shí)域響應(yīng)圖和特征值位置圖三者關(guān)于進(jìn)給速度對(duì)磨削加工過程穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的。

2.2 砂輪長(zhǎng)度實(shí)驗(yàn)

式（6）中砂輪的長(zhǎng)度影響重疊因子大小，最終影響預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定性，圖5 對(duì)不同砂輪長(zhǎng)度時(shí)加工穩(wěn)定性變化研究。砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，砂輪轉(zhuǎn)速ωg=3 140 rad/s，進(jìn)給速度vf=10 mm/min，工件轉(zhuǎn)速ωw=1.25 rad/s，初始進(jìn)給量Sf=0.002 mm，等效砂輪直徑D=0.5 mm，磨削力系數(shù)K=2 400 N/mm。為了判斷磨削過程的穩(wěn)定性，繪制出一組以砂輪長(zhǎng)度L為變量的參數(shù)穩(wěn)定圖如圖5a 所示，圖5b 所示為用函數(shù)曲面的截面研究參數(shù)空間中當(dāng)曲面F為0的輪廓繪制的截面圖。

圖5 不同砂輪長(zhǎng)度時(shí)的空間參數(shù)穩(wěn)定圖

圖5 中，砂輪長(zhǎng)度增加，極限穩(wěn)定性曲線上限在減小，表示磨削重疊下限的水平線也是減小的。綜合圖5，砂輪長(zhǎng)度L為16 mm 時(shí)的陰影面積最小，L為14 mm 時(shí)陰影面積增加，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中L為8 mm時(shí)陰影面積最大，即穩(wěn)定區(qū)域是隨砂輪長(zhǎng)度的增大而減少的。

下面分別從時(shí)域和特征值兩方面對(duì)圖5 的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)定工件轉(zhuǎn)速ωw=1.3 rad/s，砂輪轉(zhuǎn)速ωg=3 140 rad/s，砂輪直徑D=0.5 mm，進(jìn)給速度vf=10 mm/min，砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，初始進(jìn)給量sf=0.002 mm，比例系數(shù)K=2 400 N/mm。如圖6 所示，選取不同的砂輪長(zhǎng)度L，發(fā)現(xiàn)L=12 mm 時(shí)，過程趨于穩(wěn)定，如圖6a 所示；但砂輪長(zhǎng)度增至14 mm 時(shí)磨削過程出現(xiàn)顫振現(xiàn)象，如圖6b 所示。

圖6 不同砂輪長(zhǎng)度的時(shí)域響應(yīng)圖

圖7 為選取與圖6 相同的參數(shù)設(shè)置，砂輪長(zhǎng)度從12 mm 增大到14 mm 所繪制的特征值位置圖，觀察發(fā)現(xiàn)圖7a 特征值實(shí)部均為負(fù)數(shù)，是穩(wěn)定磨削加工；而圖7b 存在部分特征值實(shí)部大于零的現(xiàn)象，即磨削過程不穩(wěn)定。砂輪長(zhǎng)度的增加使特征值向右移動(dòng)引起磨削過程從穩(wěn)定到不穩(wěn)定狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。

圖7 不同砂輪長(zhǎng)度的特征值位置圖

綜合圖5～圖7 的研究結(jié)果，得出參數(shù)穩(wěn)定圖、時(shí)域響應(yīng)圖和特征值位置圖三者關(guān)于砂輪長(zhǎng)度對(duì)磨削加工過程穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的。

3 結(jié)語(yǔ)

為了提高磨削加工的產(chǎn)品表面質(zhì)量，從3 個(gè)方面開展研究并取得結(jié)論如下：

（1）對(duì)比磨削動(dòng)力學(xué)宏觀結(jié)構(gòu)構(gòu)建起非線性動(dòng)力學(xué)微觀模型，并推導(dǎo)出磨削非線性動(dòng)力學(xué)方程。

（2）對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理計(jì)算出系統(tǒng)特征值，并進(jìn)行穩(wěn)定性預(yù)測(cè)，得出影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素，主要包括等效砂輪長(zhǎng)度、砂輪轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、磨粒分布密度、等效砂輪直徑、初始進(jìn)量、磨削力系數(shù)和工件轉(zhuǎn)速等。

（3）以進(jìn)給速度和砂輪長(zhǎng)度為例，使用Matlab繪制出各因素不同取值時(shí)一系列的穩(wěn)定區(qū)域圖，并研究各參數(shù)在狀態(tài)變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)圖和特征值位置圖，發(fā)現(xiàn)進(jìn)給速度從10 mm/min 提高到12 mm/min 時(shí)磨削過程從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)，而砂輪長(zhǎng)度從12 mm 增大到14 mm 時(shí)磨削過程從穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)；對(duì)穩(wěn)定圖、時(shí)域響應(yīng)圖、特征值位置圖三者綜合分析，發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)論均一致，由此證明動(dòng)力學(xué)模型的正確性。