廣義矩陣代數上的一類非線性局部可導映射

侯習武, 張建華

(陜西師范大學 數學與統計學院, 西安 710119)

1 引言與預備知識

近年來, 關于環和代數上各類局部可導映射的研究備受關注[1-11]. 例如: Hou等[1]研究了素環上的冪等元處可導映射; 孟利花等[2]研究了三角代數上的冪等元處非線性可導映射; Wong等[3]證明了上三角矩陣代數上的零點非線性可導映射可以寫成內導子和可加導子之和; Wang[4]在階數大于3的全矩陣代數上給出了零點非線性可導映射的具體結構; An等[5]對von Neumann代數上的Q點可導映射進行了刻畫.受上述研究工作啟發, 本文主要研究廣義矩陣代數上的一類非線性局部可導映射.

設R是一個交換幺環,A是一個定義在R上含單位元的代數,Q是A中的一固定元,φ是A上的映射.若對任意的X,Y∈A, 映射φ(無可加性假設)滿足

φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y),

(1)

則稱φ是A上的導子.進一步, 如果φ還滿足可加性, 則稱φ是A上的可加導子.若對任意的X,Y∈A且XY=Q時, 映射φ(無可加性假設)滿足式(1), 則稱φ是A上的Q點非線性可導映射.進一步, 如果φ還滿足可加性, 則稱φ是A上的Q點可導映射.

記上述Morita context為(A,B,M,N,ξMN,ζNM).集合

按通常的矩陣加法和下述乘法運算:

設1A,1B分別是A和B的單位元, 記

2 主要結果

引理1對任意的1≤i≠j≤2, 有:

1)φ(0)=0;

2)φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi;

3)φ(Pi)+φ(Pj)=0.

證明: 取X=Y=0, 則φ(0)=0.取X=Pi,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 則

0=φ(0)=φ(PiPj)=φ(Pi)Pj+Piφ(Pj)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pi+Piφ(Pj)Pj.

從而

Piφ(Pj)Pi=0,Piφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pj=0.

(2)

取X=Pi,Y=Pi(1≤i≤2), 則

φ(Pi)=φ(Pi)Pi+Piφ(Pi).

(3)

對式(3)等號兩邊同乘Pi, 可得

Piφ(Pi)Pi=0.

(4)

于是由式(2),(4), 有

φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi,φ(Pi)+φ(Pj)=0.

證畢.

注1令U=P1φ(P1)P2-P2φ(P1)P1, 定義G到G的映射φ為φ(X)=φ(X)-[X,U].

由引理1可直接驗證:

1)φ(0)=φ(P1)=φ(P2)=0;

2) 對任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一個是冪等元時,φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y)成立.

引理2對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有φ(Xij)∈Gij.

證明: 對任意的Xii∈Gii, 一方面, 取X=Xii,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 則

0=φ(XiiPj)=φ(Xii)Pj+Xiiφ(Pj)=φ(Xii)Pj.

(5)

另一方面, 取X=Pj,Y=XiiPi(1≤i≠j≤2), 則

于是由式(5),(6), 有φ(Xii)=Piφ(Xii)Pi∈Gii.

對任意的Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xij, 則

φ(Xij)=φ(PiXij)=φ(Pi)Xij+Piφ(Xij)=Piφ(Xij).

另一方面, 取X=Xij,Y=Pj, 則

φ(Xij)=φ(XijPj)=φ(Xij)Pj+Xijφ(Pj)=φ(Xij)Pj.

于是有φ(Xij)=Piφ(Xij)Pj∈Gij.證畢.

引理3對任意的Xii∈Gii,Xjj∈Gjj,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij);

2)φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).

證明: 1) 對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pi, 則

φ(Xii)=φ((Xii+Xij)Pi)=φ(Xii+Xij)Pi+(Xii+Xij)φ(Pi)=φ(Xii+Xij)Pi.

(7)

另一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pj, 則

φ(Xij)=φ((Xii+Xij)Pj)=φ(Xii+Xij)Pj+(Xii+Xij)φ(Pj)=φ(Xii+Xij)Pj.

(8)

于是由式(7),(8), 有φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij).

2) 對任意的Xii∈Gii,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xii+Xji, 則

φ(Xii)=φ(Pi(Xii+Xji))=φ(Pi)(Xii+Xji)+Piφ(Xii+Xji)=Piφ(Xii+Xji).

(9)

另一方面, 取X=Pj,Y=Xii+Xji, 則

φ(Xji)=φ(Pj(Xii+Xji))=φ(Pj)(Xii+Xji)+Pjφ(Xii+Xji)=Pjφ(Xii+Xji).

(10)

于是由式(9),(10), 有φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).證畢.

引理4對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiXij)=φ(Xii)Xij+Xiiφ(Xij);

2)φ(XijXjj)=φ(Xij)Xjj+Xijφ(Xjj).

證明: 1) 對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Xii,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中2), 可得

2) 對任意的Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Xjj, 由引理2和引理3中1), 可得

引理5對任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xij+Yij)=φ(Xij)+φ(Yij);

2)φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii).

證明: 1) 對任意的Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中1), 可得

2) 對任意的X11∈G11,Y11∈G11,Y12∈G12, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

φ(X11Y12+Y11Y12)=φ(X11Y12)+φ(Y11Y12)=φ(X11)Y12+X11φ(Y12)+φ(Y11)Y12+Y11φ(Y12).

(11)

另一方面, 有

于是由式(11),(12), 可得(φ(X11+Y11)-φ(X11)-φ(Y11))Y12=0.再由G12是G11的忠實左模和引理2知,

φ(X11+Y11)=φ(X11)+φ(Y11).

(13)

對任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

另一方面, 有

于是由式(14),(15), 可得X12(φ(X22+Y22)-φ(X22)-φ(Y22))=0.再由G12是G22的忠實右模和引理2知,

φ(X22+Y22)=φ(X22)+φ(Y22).

(16)

于是由式(13),(16), 有φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii)(1≤i≤2).證畢.

引理6對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

證明: 對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 一方面, 取X=P1,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

另一方面, 取X=P2,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

于是由式(17),(18), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

證畢.

引理7對任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii);

2)φ(XijXji)=φ(Xij)Xji+Xijφ(Xji).

證明: 1) 對任意的X11∈G11,Y11∈G11,X12∈G12, 由引理4中1), 一方面有

φ(X11Y11X12)=φ(X11Y11)X12+X11Y11φ(X12).

(19)

另一方面, 有

于是由式(19),(20), 可得

(φ(X11Y11)-φ(X11)Y11-X11φ(Y11))X12=0.

再由G12是G11的忠實左模和引理2知,

φ(X11Y11)=φ(X11)Y11+X11φ(Y11).

(21)

對任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中2), 一方面有

φ(X12X22Y22)=φ(X12)X22Y22+X12φ(X22Y22).

(22)

另一方面, 有

于是由式(22),(23), 可得

X12(φ(X22Y22)-φ(X22)Y22-X22φ(Y22))=0.

再由G12是G22的忠實右模和引理2, 知

φ(X22Y22)=φ(X22)Y22+X22φ(Y22).

(24)

于是由式(21),(24), 有φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii)(1≤i≤2).

2) 對任意的Xii∈Gii(1≤i≤2), 由引理5中2), 可得

0=φ(Xii-Xii)=φ(Xii+(-Xii))=φ(Xii)+φ(-Xii),

進而有φ(-Xii)=-φ(Xii).

對任意的Xij∈Gij,Yji∈Gij(1≤i≠j≤2), 由引理3和φ(-Xii)=-φ(Xii), 可得

于是有φ(XijYji)=φ(Xij)Yji+Xijφ(Yji).證畢.

下面給出本文的主要結果.

定理1設G=G(A,M,N,B)是一個廣義矩陣代數,M是(A,B)的忠實雙邊模,N是(B,A)的雙邊模,φ是G上的一個映射(無可加性假設), 如果對任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一個是冪等元時, 式(1)成立, 則φ是G上的可加導子.

證明: 對任意的X,Y∈G, 有X=X11+X12+X21+X22,Y=Y11+Y12+Y21+Y22, 其中X11,Y11?A,X12,Y12?M,X21,Y21?N,X22,Y22?B.由引理5和引理6, 有

再由φ的定義可知,φ是廣義矩陣代數G上的可加映射.又對任意的X,Y∈G, 由注1、 引理4和引理7, 有

故φ是廣義矩陣代數G上的可加導子.進而由φ的定義可知,φ是廣義矩陣代數G上的可加導子.證畢.

推論1設G=(A,M,N,B)是一個(n-1)-無擾的廣義矩陣代數,M是(A,B)的忠實雙邊模,N是(B,A)的雙邊模,φ是G上的一個映射(無可加性假設), 如果對任意的X1,X2,…,Xn∈G, 且X1,X2,…,Xn(n≥2)至少有(n-1)個是冪等元時,

(25)

成立, 則φ是廣義矩陣代數G上的可加導子.

證明: 當n=2時, 由定理1知結論成立.假設當n=i-1(i≥3)時結論成立, 下證當n=i(i≥3)時結論成立.

因為對任意的X1,X2,…,Xi∈G且X1,X2,…,Xi至少有(i-1)個是冪等元時,

(26)

成立, 所以取X1=X2=…=Xi=I, 由(i-1)-無擾性可得φ(I)=0.再分別取X1=I和Xi=I, 有

(27)

(28)

于是由式(27),(28)知, 對任意的X1,X2,…,Xi∈G(其中X1=I或Xi=I), 如果X1,X2,…,Xi至少有(i-1)個是冪等元時, 式(26)成立, 則φ是廣義矩陣代數G上的可加導子.進而可知當n=i(i≥3)時結論成立.證畢.

設H是復數域上的Hilbert空間,B(H)表示H上的全體有界線性算子,V是一個作用在H上的von Neumann代數,I∈B(H)是單位算子,Z表示V的中心,V′={T∈BH:TB=BT, ?B∈V}為V的換位子.若Z=V′∩V=I, 則稱V是因子von Neumann代數.

推論2設V是一個因子von Neumann代數,φ是V上的一個映射(無可加性假設), 如果對任意的X1,X2,…,Xn∈V, 且X1,X2,…,Xn(n≥ 2)至少有(n-1)個是冪等元時, 式(25)成立, 則φ是V上的可加導子.