工業機器人標定技術分析與研究

陳天炎，韓澤明

（1.福建船政交通職業學院 軌道交通學院，福建 福州 350007；2.福建理工大學 交通工程學院，福建 福州 350108）

定位精度是影響工業機器人性能的重要因素，人們需要經常對工業機器人進行標定，以提高機器人的定位精度來滿足工業生產上的需要.但是由于機器人零部件的加工制造誤差、裝配誤差、關節磨損和傳動誤差等的影響，機器人的絕對定位精度較低，限制了機器人在高精度領域的應用幅度與深度.因此，對工業機器人的絕對定位精度做進一步的研究，具有極為關鍵的現實價值與意義.

機器人在運動過程中工具中心點（TCP）的位置和姿態是通過運動學數學模型嚴密計算得到的，運動學模型中含有機器人所有連桿結構尺寸和關節運動參數，這些參數的計算取值與機器人實際參數值之間存在誤差，導致計算結果與實際位姿二者之間存在一定的誤差.現階段在實踐層面上有如下兩種方法用于實現對末端絕對定位精度的提升.1）借助高精度加工設備，并加強與先進裝配的配合，據此規避與降低機器人出廠時的內部誤差；2）應用更優量的測量工具和方法，對機器人的結構參數進行辨識、分析與校正，此種方法為機器人標定方法[1].從成本出發，第二種方法實現與普及的成本更為低廉；實際效果上，機器人標定方法可以更好地補償與補救由于機器人的磨損或者結構變形等情況引致的精度降低情況[2].綜合來看，現階段應用機器人標定方法具有更強的可行性，也是現階段學術界的主要研究內容與方向[3-4].

Judd 等[5]在對機器人標定方法的研究中發現，絕對定位誤差的主要原因在于機器人運動學模型在參數上出現了誤差傳導.因此，現階段有關于機器人標定技術的研究重點在于辨識機器人運動學參數的誤差[6-7].需要指出的是，當前關于運動學參數誤差造成機器人絕對定位精度降低的研究中，通常是假定機器人基坐標系和法蘭坐標系是已知或者是可以直接測量的.實踐中絕大部分的機器人法蘭坐標系和機器人基坐標系是“隱藏”的，無法直接測量得到，需要通過特殊的測量和計算方法才能獲得[8].文獻[9]使用FARO ARM 測量臂對機器人進行標定，使用四元素法獲取機器人基坐標系.文獻[10]用激光跟蹤儀對機器人進行標定，針對IRB2400機器人特定的結構，控制軸1和軸2旋轉，以及測量底座平面來確定機器人基坐標系，使用激光跟蹤儀配套軟件實現坐標變換.在現有機器人標定測量過程中，基本都忽略測量得到的機器人基坐標系和法蘭坐標系的位姿誤差，而這也是機器人位姿誤差模型的重要組成部分，應當在機器人標定過程中給予一并考慮.

機器人位置誤差模型或位姿誤差模型均可實現對機器人的標定.由于大部分測量設備都能實現對機器人末端位置的測量，相對而言位置誤差模型適用的測量設備更加廣泛（如三坐標測量機、6或7軸測量臂、激光跟蹤儀（配靶球即可）），更具備通用性.為提升機器人的絕對定位精度，針對如下兩種誤差：1）機器人隱藏的法蘭坐標系和機器人基坐標系的測量誤差；2）機器人運動學模型參數誤差.將這兩種誤差予以統一，將其確定為絕對定位誤差來源，并且基于此進行建模，提出一種相對通用的測量方法，給出參數誤差辨識與補償算法.

1 機器人標定建模

1.1 機器人運動學建模

Denavit等[11]于1955年推出的一種具有較好通用性與普適性的4參數DH模型，是目前使用最廣的機器人運動學模型.在實際應用中發現，存在于軸關節之上的某種微小偏差極有可能在DH模型之上反映為一種數值畸變，這也可以理解為參數數值不連續.針對這一問題，Hayati[12]提出了修正后的MDH模型，通過在y軸上增添了一項旋轉參數改善模型表現，使得原有的4參數模型，變為5參數模型.即

式（1）中：θi、di、ai、αi分別表示連桿i的關節轉角、關節偏置、連桿長度、連桿扭角.關節βi僅存在相鄰軸平行的情況下，其他的情況直接將βi=0帶入式(1).

根據式(1)可以得到一般N自由度機器人的運動學模型.即

機器人標定一般要借助各種有效的測量手段與方式，盡可能地獲取在其基坐標系下的機器人末端的位姿誤差.實際機器人末端法蘭坐標系和基坐標系是隱藏的，需要構建與測量結果直接相關的測量坐標系.因此，將測量儀的實際測量位置定義為檢測中心點（DCP），并且將DCP 確定為構建坐標的原點，據此來構建研究所需要的測量坐標系.因此在對機器人末端位姿進行測量時，需要得到機器人DCP 坐標系相對于法蘭坐標系出現的位置變換情況、機器人基坐標系相對于測量儀坐標系出現的位置變換，從而得到DCP 坐標系在測量儀坐標系下的位姿模型，如圖1 所示.標定的首要步驟就在于構建DCP 坐標系的位置模型.

圖1 DCP坐標系位置模型

1.2 機器人法蘭坐標系標定模型

構建模型的關鍵在于基于測量辨識與獲得機器人末端的實際位姿誤差，但機器人末端法蘭坐標系一般情況下是“隱藏”的，無法直接通過測量設備測量得到.使用測量設備實際測量的位置相對于法蘭坐標系存在一定偏移量（如圖2所示）.

圖2 實際測量點與法蘭坐標系

式中：D表示DCP;L表示測量儀器實測點DCP.

假設機器人在某個狀態下法蘭坐標系位置為O，控制機器人末端位置不變，只改變姿態，通過對多個點進行測量，即可以借助于對球心的擬合，據此可以獲取O點位置坐標.從理論層面分析，擬合空間之中的4 個非共面點，就可以獲取球心坐標.因此，首先假設球心坐標為(a,b,c)，半徑為R，并且將這4 個測量點的坐標設定為(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)(x4,y4,z4).據此得到方程組為

通過求解式(4)得到法蘭坐標系的原點位置，后續需要進一步導出法蘭坐標系姿態.若可以確保機器人控制器在TCP 坐標系下，其運動方向是沿著確定的法蘭坐標系的x，y，z三軸.那么就可以在控制器每一次的運動進程之中，提取出2 個以上的點，由此來表述并確定其坐標軸方向，然后獲取法蘭坐標系的x，y，z軸在測量儀坐標系下的矢量n,o,a，并且最終得到位姿矩陣，即

據此可以計算得到由機器人末端法蘭坐標系到設定的DCP點之間的位姿變換，即

1.3 機器人基坐標系標定模型

從實踐層面分析，在實際測量機器人末端位姿的過程中，所獲取到的數據是較之于測量儀器自身所處的坐標系來進行討論的.因此，為確保所獲取到的實際位姿與名義位姿具有可比性，需要將二者統一至同一個坐標系之中.

具體來看，可以將機器人末端法蘭坐標系名義位置和姿態用PN和RN來呈現，測量儀測量得到的某點的實際位姿用PC來表示.并且將前提條件設定為不考慮DCP坐標系姿態，基于此，可以基于空間幾何變換，得到下述的變換關系

式中：T、R分別表示測量儀坐標系到機器人基坐標系的旋轉變換和平移變換；E表示3×3的單位矩陣；PL為法蘭坐標系到DCP點的位置變換，上標N為“Nominal”縮寫，表示名義值（下同）.

式(9)中，共計有12個未知數，因此，需要獲取到最少4個點的位置.實際上，為了減少誤差所使用的位置數遠多于4組，這就使得式(9)成為了超定方程組.令

則超定方程組用矩陣可表示為

式中：A為TNL元素組成的系數矩陣；B為測量值PC組成的矩陣.

應用最小二乘法來對式(11)進行求解，得

據此可以得到測量儀坐標系與機器人基坐標系之間的變換關系X.這樣可以將測量到的末端位姿和控制器中顯示的末端位姿予以統一.

2 DCP位置誤差模型

在計算機器人基坐標系時使用的機器人末端位置是直接從示教器中讀取的，這與機器人實際位置存在偏差，因此計算所得的機器人基坐標系相對于測量儀坐標系的位置也存在偏差.同樣，在測量和計算DCP 位置時，由于測量擾動的影響，計算得到的DCP 位置也存在一定的誤差.將通過模型計算得到的DCP 位置和機器人基坐標系位置分別定義為名義DCP 和名義基坐標系，如圖3 所示.DCP的名義位置與實際位置產生一定誤差的影響要素主要有運動學參數誤差、基坐標系位置誤差，以及DCP坐標系位置誤差.

2.1 機器人運動學參數誤差

實踐中，由于機器人的磨損變形是絕對存在的，因此各連桿參數始終存在誤差，使得運動學模型參數在名義值和實際值上也將出現偏差.整體來說，影響到機器人末端位姿的參數誤差主要有

其中：Δβi僅在相鄰軸呈現平行狀態.如若不然，則確定Δβi=0.

此外，可以將機器人基坐標系到末端法蘭坐標系之間的實際變換關系表述如下

式中：R表示Rot，旋轉變換；T表示Trans，平移變換.

2.2 機器人基坐標系參數誤差

機器人基坐標系誤差可以基于式(13)計算得到的名義位姿矩陣呈現，即

式(14)中用來呈現姿態與位置的參數共計有12個，為了降低需要辨識與測量的參數數量，將其改寫為一個平移變換和三個旋轉變換組合成的一個6參數模型，即

機器人基坐標系的參數誤差就可以表述為[Δxc,Δyc,Δzc,Δθxc,Δθyc,Δθzc].

式中：上標R為“Real”縮寫，表示實際值.

2.3 DCP坐標系參數誤差

假定機器人DCP坐標系相對于機器人末端法蘭坐標系的位姿變換矩陣為，并參考前文中機器人基坐標系誤差的推導方法，可以獲取到機器人末端法蘭坐標系跟DCP 實際坐標系二者之間的變換模型，即

并且在確定了3個位姿模型的基礎之上，將其進一步整合，可以構建在測量儀坐標系下的DCP實際位姿模型，將這一變換矩陣表述如下

式中：R表示DCP坐標系在測量儀坐標系下呈現的姿態；P則代表的是DCP坐標系在測量儀坐標系下呈現的位置.

DCP的實際位姿可以表示為

影響DCP位姿精度的參數誤差為

位置誤差模型相對而言更具備通用性，因此忽略DCP姿態誤差，設參數誤差集合為Δq，結合式(19)，DCP的實際位置模型可以表示為

據此，可以將DCP位置誤差與模型之中的各參數誤差之間所具有的數學關系表述為

式(21)中位姿誤差和各參數誤差呈非線性關系，直接求解難度較大.從偏微分角度分析，對于含有n個參數誤差的模型，式(21)可以寫成

式(22)可以簡化為

式中：ε表示DCP位置誤差；Δq表示標定模型所有的參數誤差；M表示誤差系數矩陣.

3 參數誤差辨識及補償

3.1 冗余性參數分析

文件得到了機器人DCP 位置誤差模型：ε=MΔq.其中ε可以測量獲取，而M代表的是誤差系數矩陣，M是經由誤差模型進行推導得到，Δq是需要求解的參數誤差.由此可知，為獲取參數誤差的解，僅需要將ε代入至DCP 位置誤差模型中，計算Δq.但是考慮到實踐中不可避免地存在機器人運動學參數冗余，對Δq的求解準確性與精度產生直接影響.因此，設定代表機器人連桿坐標系{i}到連桿坐標系{i+1}的齊次變換，在只考慮位姿變換時，可以把β≈0直接帶入式(1)，得到

根據機器人微分運動學，結合式(23)可以得到連桿坐標系{i}和連桿坐標系{i+1}之間的微分變換關系[14]，即

假設機器人的自由度數為N，將式（26）的兩邊均乘以，確保兩個坐標系之中的微分誤差都可以實現向機器人末端的轉換.由此可得

由式(27)可知，連桿坐標系{i}的微分誤差dzi和δzi對末端造成的影響可以由連桿坐標系{i+1}的微分誤差來呈現.這說明連桿坐標系{i}與連桿坐標系{i+1}各自的微分誤差dzi和δzi具有相關性，存在冗余性.將測量儀坐標系到機器人基坐標系的變換模型參數中dz和δz確定為冗余參數.則有

觀察式(28)可知，Gi中變量只有a和α.針對a和α取不同值，得到表1.

表1 機器人運動學參數冗余性辨識

3.2 參數辨識算法

如前文所述，機器人DCP 的位置及姿態的微分誤差模型表述為

去掉Δq中的冗余性參數，可以辨識參數的數目N，由此可以確定，Mp、Mδ均為3×N的系數矩陣.實踐中，為了規避誤差對求解精度的干擾，需要借助大量的數據對模型進行擬合.具體來看，設定實踐中共計測量得到K組(K>N/3)機器人位置數據，可以獲取到方程組為

式(30)是一個超定方程組，可以使用最小二乘法求解，由此可得

式中：M+表示系數矩陣M的廣義逆.

3.3 參數誤差補償算法

大部分機器人控制器生產廠家不會對修改權限授權，僅可以調整關節角度θ.處于不同位姿的機器人，其運動學參數d、a、α、β的誤差，各自對機器人的位姿誤差具有差異化的影響.因此，使用牛頓迭代法逐步調整各關節的角度θ，從而實現對運動學參數誤差導致的機器人末端的位姿偏差的補償.假設機器人目標位姿為TN，將Δdi,Δai,Δαi,Δβi代入模型求得TR,再將名義位置與實際位姿的差對各關節角求偏導，可得

由式（32）可求得各關節實際轉角，再通過關節實際轉角求得應該給定的指令位置，使機器人達到實際位置.

4 結束語

為促進機器人產業的發展，擴大機器人在高精度領域的應用，對機器人精度的提升方法進行研究.首先從實際測量角度出發，建立DCP 坐標系，并給出相對通用的DCP 坐標系和機器人基坐標系的測量方法，建立完整的誤差模型；然后利用微分運動學建立微分誤差模型，得到誤差辨識方程，并且具體分析誤差模型之中存在的冗余性參數誤差，明確提出對冗余性參數誤差進行辨識的可行方法；最后提出了對參數誤差進行補償的具體方法.研究工作對機器人工作精度提升有一定的研究意義.