簡諧運動的證明與周期推導

馬仕彪

(安徽省濉溪中學)

簡諧運動原來分布在高中物理教材的選修部分,在高考中屬于選考內容,而新高考又將其重新列入高考的必考內容,其重要性再次凸顯。簡諧運動很好地體現了力和運動的關系,是高中物理的重要內容,是高中物理中最典型、最特殊的運動模型之一,而關于簡諧運動的證明及其周期的推導等都是高考的熱點和難點,因此有必要將該內容進行拓展和研究。

一、從簡諧運動的基本問題說起

1.教材對簡諧運動的定義

(1)運動學定義,如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數的規律,即位移—時間圖像x-t是一條正弦曲線,滿足關系式x=Asin(ωt+φ0)。

(2)動力學定義,如果質點的回復力F與位移x的大小成正比,方向總是指向平衡位置,即滿足關系F=-kx,其中“-”表示回復力與位移的方向相反,k為回復力系數,對于某一簡諧運動k為常數。

2.關于簡諧運動的證明

按照簡諧運動的定義,要證明簡諧運動即證明x=Asin(ωt+φ0)或F=-kx,更多的情況下,一般采用F=-kx的方法。

如圖1所示的彈簧振子,滿足簡諧運動,對于其周期,我們采取兩種方法進行研究。

圖1

方法1:動力學法

方法2:運動學法

圖2

值得注意的是,對于任一簡諧運動,周期公式中的k為恢復系數,但不一定為彈簧的勁度系數。

4.簡諧運動的其他特征

(1)對稱性:位移、速度、加速度等都關于O點具有對稱性;

圖3

(1)選擇物塊的平衡位置為坐標原點,沿斜面向下為正方向,用x表示物塊相對于平衡位置的位移,證明物塊做簡諧運動;

(2)彈簧的最大伸長量;

(3)為使斜面體始終保持靜止狀態,μ滿足的條件(假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力)。

(3)方法一:設物塊位移為正,斜面體受力情況如圖4所示,在水平方向上有f+FN1sinα-Fcosα=0,在豎直方向上有FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0,又FN1=mgcosα,F=k(Δx+x),聯立可得f=kxcosα,FN2=Mg+mg+kxsinα。

圖4

定義1 復雜情境 協同過濾推薦系統中用戶情感、社交圈、用戶位置、基礎設施和物理條件等信息的集合，用向量表示為

二、常見的簡諧運動——單擺運動

圖5

三、非常見的簡諧運動模型

1.勻速圓周運動徑向方向上的簡諧運動

如圖6甲所示,質量為m可以看作質點的小球圍繞O點以角速度ω、半徑為r做勻速圓周運動。

以O點建立平面坐標系xOy,從小球過y軸開始計時,由向心力公式,有F=mω2r,將F沿x軸方向進行分解,有Fx=Fsinφ=mω2rsinφ=mω2·x,方向與x軸方向相反,即Fx=-mω2·x=-kx,因此小球在x軸方向做簡諧運動。

當然,也可以利用位移時間關系進行證明。如圖6乙所示,小球在x軸方向的投影為x=rsinφ=rsinωt,亦可證明小球在x軸方向做簡諧運動。

甲

如圖7所示,空間存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場,電場強度大小為E、方向沿y軸正方向,磁感應強度大小為B、方向沿z軸正方向。現有一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子(不計重力),從坐標原點O處由靜止開始運動。

圖7

圖8

【例2】如圖9甲所示,在x>0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場,電場強度大小為E,磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O處以初速度v0沿x軸正方向射入,粒子的運動軌跡如圖9甲所示,不計粒子的重力。現只改變入射粒子初速度的大小,發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡不同,但具有相同的空間周期性,如圖9乙所示。

(1)求粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離s;

(2)當入射粒子的初速度大小為v0時,其y-t圖像如圖9丙所示,寫出y-t的函數表達式。

甲

(2)在y方向上,由圖9丙可以看出旋輪線向上偏,說明Δv=v0-v1>0。

3.含理想自感線圈電磁感應電路中的簡諧運動

圖10

4.液體中的簡諧運動

圖11

【例3】海上浮桶式波浪發電燈塔的原理如圖12甲所示。浮桶內的磁體固定在暗礁上。密閉浮桶的內置線圈與浮筒保持相對靜止,隨著波浪上下起伏,線圈相對于磁體在豎直方向上運動,且始終處于磁場中。浮桶下部始終浸沒在海水中,上部始終沒有進入海水中,其外側圓周的橫截面積為S,如圖12乙所示中陰影部分,忽略阻力的作用。

圖12

(1)證明浮桶的振動是簡諧運動;

(2)若某次振動的振幅為0.6 m,周期為6 s,且t=0時,浮桶位于振動的最低點,以向上為正方向,寫出這次振動的方程;

(3)已知海浪的周期始終為T=3.0 s,海水的密度為ρ=1.0×103kg/m3,橫截面積S=0.20 m2。該線圈與阻值R=15 Ω的燈泡相連,線圈的匝數N=200匝,直徑D=0.40 m,總電阻r=1.0 Ω,固定磁體在線圈所處位置產生的輻向磁場的磁感應強度大小為B=0.20 T,浮桶隨波浪上下運動可視為受迫振動。g=10 m/s2,且π2=10。

①當浮桶及線圈的總質量m為多大時,該浮桶式波浪發電機的發電功率達到最高?

解：(1)設浮桶及線圈的總質量為M,由平衡條件,有ρgx0S=Mg,振動時有F=-ρg(x+x0)S+Mg,可得F=-ρgS·x=-kx,所以浮桶做簡諧運動。

5.地球隧道中的簡諧運動

圖13

6.電場中的簡諧運動

圖14

【例4】如圖15所示,電荷量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細桿上,相距為d。若桿上B的右邊套一帶電荷量為-q的小環C,小環C恰好處于平衡狀態,將小環向右拉離平衡位置一小位移x(x?d)后靜止釋放,證明小環C將做簡諧運動并推導其周期。

圖15

五、結束語

簡諧運動的證明和周期的推導是簡諧運動中最基本的問題,也是最重要的問題,這也是研究簡諧運動的入口,沿著這個入口,會通往嶄新的一頁,可以感悟到簡諧運動之美,體會“簡諧”真正的含義。