波箔片制造誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響

葉寅淼，馬希直

(南京航空航天大學直升機傳動技術國防科技重點實驗室，江蘇南京 210016)

近年來徑向波箔氣體軸承由于其獨特的剛度和阻尼特性，受到越來越多的關注。然而其理論模型預測的性能始終與實際工作時的性能存在差距。

1983年，HESHMAT等[1]首次提出一種耦合的波箔氣體軸承模型，將波箔片簡化為簡單的彈性地基，其中剛度是由單個波紋的分析結果計算得到的。1992年，KU和HESHMAT[2]提出了波箔氣體軸承中波箔片的變形理論，得出靠近固定端的波紋具有更高的剛度，增加平箔片和波箔片之間的摩擦因數是實現庫侖阻尼和更高剛度的有效方法。1993年，KU和HESHMAT[3]研究了軸承設計參數(如波箔結構、載荷分布、表面涂層和潤滑劑等)對波箔片靜剛度的影響，認為波箔厚度的變化對局部剛度的影響很小，但減小波距會顯著增加局部剛度。2006年，RUBIO和SAN ANDRéS[4]測量了4個商用版軸承在無軸旋轉條件下的承載能力，并提出了一個疊加了各波紋剛度的物理模型。結果表明，靜態測量顯示軸承存在非線性剛度，加載和卸載試驗證明靜剛度存在滯后現象；軸承靜剛度隨著波箔徑向位移的增加而增加。

2007年，LE LEZ等[5]提出了一種新的波箔軸承結構模型，他們把波箔片簡化成多自由度桁架系統。2010年，FENG和KANEKO[6]將波箔片的每個波紋簡化為2個剛性連桿和一個水平彈簧，其相互作用力和摩擦力通過水平彈簧與波箔片實現彈性耦合。研究表明，波箔軸承的徑向間隙和摩擦因數的變化會顯著改變軸承的性能。

2013年，劉享承[7]將分離式波箔軸承的波箔片簡化成梁-桿單元，平箔片則采用板單元建模，計算得到軸承的靜剛度特性。2015年，謝仕龍等[8]研究了固定方式對波箔氣體軸承靜剛度的影響，結果表明C型固定方式能使軸承具有更大的靜剛度。

2018年，任曉樂等[9]提出了包括波箔片覆蓋軸承整個圓周、上半周和下半周的3種徑向氣體軸承，對其進行承載特性的分析，結果表明波箔片覆蓋下半周的軸承承載力表現較好。

2019年，ARGHIR 和BENCHEKROUN[10]提出了考慮間隙和摩擦的接觸力學的波箔軸承的簡化模型。該模型假設平箔片和波箔片之間以及波箔片和套筒之間并不是始終存在接觸，通過考慮結構中的間隙和接觸狀態，可以處理波箔片的制造誤差。該模型相比于其他理論模型更接近實際情況。雷群等人[11]建立了波箔片的歐拉梁模型，探究摩擦力對波箔剛度的影響，發現摩擦力的存在能使波箔片剛度變大。

2020年，白超斌等[12]利用流固耦合方法，對一種波箔結構柔性支撐柱面氣膜密封進行了研究，結果表明柔性支承結構滿足柱面氣膜密封的正常運作。2021年，李勇德等[13]研究了加工和裝配誤差對螺旋槽動靜壓氣體軸承的影響，結果表明裝配誤差對軸承穩定性影響較大；而在轉子對中穩定的情況下，加工誤差對軸承穩定性的影響不大。

2022年，呂昕[14]應用懸臂彎曲梁模型和線性彈簧模型來等效箔片結構中的平箔片和波箔片，求解多葉式波箔氣體動壓軸承的靜態特性。蔡鵬程等[15]提出了基于Timoshenko梁單元的徑向波箔軸承變形理論，得到了不同載荷分布下波箔片的變形。龔霖等人[16]使用CFD軟件Fluent分析了徑向動壓氣體軸承的承載能力，分析了偏心率和長徑比等軸承參數的影響。

在實際制造過程中，由于波箔片尺寸較小，但成型方式較為簡陋，使得其成型精度不理想，制造誤差較大。而之前的研究方向主要集中在如何簡化波箔軸承的模型以模擬軸承的性能，可是這些模型與實際工作時的軸承因為制造誤差的存在，使得模擬結果與大部分實驗結果的誤差較大。目前波箔片的制造誤差對軸承影響的研究較少，所以對此進行分析討論十分重要。

本文作者首先采用Timoshenko梁單元對波箔片結構進行建模，獲得了波箔片靜剛度的簡化模型，并與采用實體建模的模型對比，了解波箔片結構的靜剛度特性；然后對徑向波箔軸承整體進行建模，分析其靜剛度，并與文獻模型對比進行驗證；之后引入2種制造誤差，探究制造誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響。

1 波箔片靜剛度簡化模型

波箔片作為徑向波箔軸承中起主要支承作用的部件，應對其靜剛度進行分析。參考文獻[15]建立了基于Timoshenko梁單元的波箔片簡化模型。相比于其他梁模型，Timoshenko梁模型考慮了剪切變形的影響，在波紋和平段的連接點處釋放其轉動自由度，模擬實際情況中可能存在的平段處與接觸面部分分離的情況，圖1所示為可能的波箔片變形示意圖。在不考慮摩擦的情況下，波箔片簡化模型受力情況如圖2所示，在每個波紋的頂點處施加相同的遞增載荷，其最大值為100 N。波箔片相關參數見表1。

表1 波箔片參數

圖1 波箔片變形示意

圖2 波箔片簡化模型

2 波箔片靜剛度有限元模型

借助ABAQUS軟件，用實體單元建立了波箔片的模型進行分析。在波箔片上下方均建立了剛體部件，對上方的剛體進行位移加載，模擬對波箔片的加載過程，而下方的剛體則采用固定約束，模擬地面的邊界條件。和簡化模型一樣不考慮摩擦。位移加載的大小為30 μm，這能使整個結構的最大von Mises應力小于1 000 MPa，保證材料始終處在彈性階段?；谟邢拊Ｐ偷玫讲ú撵o剛度曲線，并與簡化模型的靜剛度曲線進行比較，如圖3所示。

圖3 簡化模型和有限元模型的波箔片靜剛度曲線

通過對比2種模型的靜剛度曲線可以看出，簡化模型和有限元模型的靜剛度曲線較為吻合，并且均呈線性變化，但簡化模型的靜剛度略大。分析此現象形成的可能原因之一是實體模型中波紋之間平段的約束沒有簡化模型的嚴格。

3 徑向波箔軸承模型

3.1 理想徑向波箔軸承有限元模型

建立徑向波箔軸承模型如圖4所示。采用解析剛體對套筒和軸頸進行建模，而平箔片和波箔片則采用八結點線性六面體單元進行網格劃分。經過網格無關性分析，并結合計算精度與成本，劃分波箔片網格單元數為170 100，平均長寬比為5.3；劃分平箔片網格單元數為79 800，平均長寬比為6.45。

圖4 徑向波箔軸承示意

考慮了平箔片和波箔片以及波箔片和套筒之間的摩擦，摩擦因數設為0.15；而將軸頸與平箔片之間的摩擦忽略。軸頸和平箔片之間的半徑間隙為20 μm。在分析過程中設置3個分析步，在3個分析步中均對套筒施加固定約束，并在平箔片和波箔片的固定端施加固定約束。在第一個分析步中對軸頸施加指向為Uy=-20 μm的位移約束，以消除半徑間隙。在第二個分析步中繼續對軸頸施加指向為Uy=-20 μm的位移約束，實現加載過程。在第三個分析步中對軸頸施加指向為Uy=40 μm的位移約束，完成卸載。在3個分析步中均計算軸頸的反作用力。軸頸的最大位移設置為40 μm，使整個結構的最大von Mises應力小于1 000 MPa，保證材料始終處在彈性階段。

得到徑向波箔軸承的靜剛度曲線如圖5所示。在加載時，徑向波箔軸承的靜剛度曲線整體呈線性變化，與前文中簡化模型和有限元模型類似。但是在加卸載過程中，波箔氣體軸承的靜剛度存在明顯的滯回曲線，造成該現象的主要原因是摩擦耗能。

圖5 徑向波箔軸承靜剛度曲線

圖6所示是軸頸在最大位移時的軸承應力云圖?？梢钥闯觯ú艿降妮d荷主要集中在下部即整個波箔的中間。如圖7所示，以固定端為起始位置，從順時針90°、180°、270°的局部位置的接觸狀態可以看出，在90°及270°處，平箔片和波箔片存在接觸分離的現象，波箔片無法提供應給的支承作用。因此，實際提供支承即提供剛度的部分只有180°附近的部分波紋。

圖6 軸頸最大位移處徑向波箔軸承應力云圖

圖7 不同位置處平箔片和波箔片接觸情況

3.2 模型驗證

采用前文的建模方法，參照文獻[10]的徑向波箔軸承結構尺寸建立了有限元模型。由于軸承結構尺寸的區別，其與前文模型有以下設置不同：平箔片和波箔片以及波箔片和套筒之間的摩擦因數為0.1。軸頸和平箔片之間的半徑間隙為31.8 μm。第一個分析步中對軸頸施加的位移約束為Uy=-31.8 μm。在第二個分析步中對軸頸施加的位移約束為Uy=-48.2 μm。在第三個分析步中對軸頸施加的位移約束為Uy=80 μm。軸頸的最大位移為80 μm。

得到徑向波箔軸承的靜剛度曲線如圖8所示，并將其與參考文獻[10]得到的靜剛度曲線進行對比，將文獻中的模型稱為Fatu模型。如圖8所示，文中建立的模型與Fatu模型相差較小。通過計算得到文中模型的靜剛度與Fatu模型的誤差為4.3%，因此，可以認為文中建立的模型及分析是可信的。

圖8 文中模型結果和Fatu模型結果對比

4 考慮誤差的徑向波箔軸承模型

從前文的研究中可以發現，波紋提供的支承是徑向波箔軸承靜剛度的主要來源。而在實際的波箔片制造中，由于模具誤差、加載方式、固定方式等因素，會導致波箔片產生各種制造誤差，而最有可能影響軸承靜剛度的誤差是波高誤差和波距誤差。波箔片通常采用冷沖壓工藝成型，在成型過程中，回彈是不可避免的，這會導致波高小于設計值。軸承在完成裝配后，波高誤差會使平箔片和波箔片之間存在間隙，對靜剛度造成影響。并且由于每個波紋的回彈量不一致，波距也受到影響，和設計值存在差距，這可能會影響實際提供支承的波紋數量。因此研究這2種誤差對軸承靜剛度的影響很有必要。2種誤差的定義如圖9和圖10所示。

圖9 波高誤差示意

圖10 波距誤差示意

4.1 波高誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響

設計了2個存在不同波高誤差的波箔片，其誤差的平均值、標準差如表2所示。雖然2號波箔片波高誤差的標準差相對較大，但其從固定端順時針180°附近(即中間部分)的7個波紋的波高誤差均在1%及以下。

表2 波箔片的波高誤差

將其代入有限元模型進行分析，得到2種軸承的靜剛度曲線，并與前文中理想模型的靜剛度曲線進行對比，結果如圖11所示。

圖11 不同波高誤差的徑向波箔軸承靜剛度曲線

通過對比不同波高誤差的徑向波箔軸承的靜剛度曲線，可以看出波高誤差對于靜剛度有較明顯的削弱作用。

通過1號軸承與理想軸承的對比可以看出，波高誤差對軸承的靜剛度有較大的削弱作用。且在軸頸位移小于35 μm時，1號軸承的靜剛度很小，這是因為此時起支承作用的只有平箔片，平箔片和波箔片因為波箔片的波高誤差還未接觸，而平箔片對于靜剛度的貢獻很小。

通過2號軸承與理想軸承的對比可以看出，相比于1號軸承，2號軸承的靜剛度與理想軸承的差距較小。這是因為2號軸承除了中間部分波紋的波高和1號軸承一樣，正如前文所述，起主要支承作用的是這部分波紋。

在徑向波箔軸承實際工作時，產生的氣膜壓力主要集中在中間部分，因此在波箔片的生產制造中，可以對這部分的波高誤差進行較為嚴格的控制，而對兩端的波高誤差要求可以適當地放寬，這樣可以在工藝方面投入較小而獲得較好的性能。

除此以外，由1號和2號軸承的靜剛度曲線可以看出，在消除半徑間隙后的一段曲線呈現了非線性的趨勢，這與文獻[4]中的實驗測得的非線性靜剛度曲線相似?？梢酝茰y波高誤差是造成這種非線性剛度的原因，因為每個波紋的波高都不同，在加載過程中，隨著軸頸的位移和平箔片相繼接觸，當平箔片和波紋接觸后，波紋才能起到支承作用，即提供剛度，剛度因此隨著軸頸位移的增加而變大。

4.2 波距誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響

與前文相類似，設計了一個存在波距誤差的波箔片，將其命名為3號軸承，其誤差平均值為2.24%。將其代入有限元模型進行分析，得到其靜剛度曲線，并與前文中理想模型的靜剛度曲線進行對比，結果如圖12所示?？梢钥闯觯啾扔诓ǜ哒`差，波距誤差對于軸承靜剛度的影響較小。造成該現象的主要原因是波距誤差會改變實際起支承作用的波紋的位置和角度，但對起支承作用的波紋數量影響較小。

圖12 不同波距誤差的徑向波箔軸承靜剛度曲線

4.3 制造誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響

對前文所述徑向波箔軸承的靜剛度曲線在消除半徑間隙后進行求導擬合，得到不同軸承靜剛度隨軸頸位移變化如圖13所示。

圖13 不同軸承靜剛度隨軸頸位移變化

可以看出，4個徑向波箔軸承的靜剛度隨軸頸位移整體呈現一個具有負二次導數的關系。且通過不同軸承靜剛度隨軸頸位移變化的對比可以更加直觀地看出，1號軸承在15 μm(即前文所述軸頸總位移35 μm)處，其靜剛度有一個明顯的提升，正如前文所述，平箔片和波箔片在此前尚未接觸，且平箔片撓度較大，無法提供支承；在此后平箔片和波箔片接觸，波箔片提供支承，靜剛度的變化趨勢和理想軸承類似。而2號軸承由于控制了中間部分波紋的波高誤差，靜剛度的變化和理想軸承相近。除此以外，只具有波距誤差的3號軸承的靜剛度變化和理想軸承更加相近，因此波距誤差對徑向波箔軸承的靜剛度的影響小于波高誤差。

結合上述分析，在波箔片的生產制造中應盡可能提高波高的精度，而對波距的精度要求可以適當放寬。

5 結論

(1)Timoshenko梁模型和實體模型的波箔片靜剛度曲線較為吻合，且均呈線性變化。

(2)由于摩擦耗能的存在，徑向波箔軸承的靜剛度有著明顯的滯回特性，并且通過觀察平箔片和波箔片的接觸情況，發現只有中間的部分波紋起到了支承作用。

(3)波高誤差對軸承的靜剛度有較為明顯的削弱作用，但在控制了中間的部分波紋的誤差后，削弱作用明顯降低。而波距誤差對軸承的靜剛度影響較小。

(4)波高誤差對徑向波箔軸承靜剛度的影響大于波距誤差。在實際的設計和制造時應提高對波高的精度要求，且可以適當放寬對波距的精度要求。