磁子霍爾效應*

金哲珺雨 曾釗卓 曹云姍 嚴鵬

(電子科技大學物理學院,電子薄膜與集成器件國家重點實驗室,成都 611731)

1 引言

自旋電子學(spintronics)是以自旋為基礎,研究對固態系統中自旋的主動控制和操縱的一個多學科領域[1].傳統的自旋電子學以電子自旋為研究對象,但是電荷在移動過程中會帶來不可避免的焦耳熱,使得電子體系中難以實現信息的低能耗輸運.自旋波(spin wave)是由于電子自旋之間交換作用而在磁體中自發產生的一種元激發,因其具有波的形式而被稱為自旋波,其量子化的準粒子又被稱為磁子(magnon).由于磁子在傳輸信息的過程中不需要電荷的移動,因此也不存在現代電子技術固有的缺點.此外,磁子的粒子自由度,如自旋角動量、動量和能量以及自旋波的波動自由度,如相位、頻率和振幅等都可以用于傳輸信息.這些特性使得基于磁子(或自旋波)的自旋電子學器件在傳輸信息的過程中具有諸多優點,如低能耗、較長的傳輸距離以及豐富的信息自由度等.這也催生了一個年輕領域——磁子學(magnonics)[2–4].

霍爾效應(Hall effect)一直是信息傳輸過程和設計自旋電子學存儲器件的核心.不同類型的霍爾效應可以實現電子的電荷流和自旋流在不同傳播方向之間的轉化.具體來說,傳統的霍爾效應通過外磁場實現縱向電場和橫向電流之間的轉變[5].反常霍爾效應(anomalous Hall effect)則是不需要外磁場作用的情況下實現自旋極化電流之間的相互轉化[6–9].自旋霍爾效應(spin Hall effect)通過自旋-軌道耦合來實現縱向電荷流和橫向自旋流之間的轉變[10–13].拓撲霍爾效應(topological Hall effect)則描述了實空間拓撲誘導的縱向電荷流轉變為橫向自旋流這一現象[14–17].另一方面,霍爾效應分為由外稟因素誘導的非本征霍爾效應和內稟因素主導的本征霍爾效應.其中本征霍爾效應強烈依賴于電子自旋和倒空間的貝里曲率 (Berry curvature).貝里曲率最初起源于微分幾何,它表征了波函數隨波矢k的變化速度與k空間能帶結構的關聯性.自20 世紀70年代以來,這種貝里曲率一直在反常霍爾效應的背景下進行討論,但當時它并不被稱為貝里曲率.直到Berry[18]在1984年發表了開創性的工作,它的數學性質和在物理現象中的作用才進一步得到了澄清.除了倒空間拓撲之外,實空間拓撲也會誘導霍爾效應,具體來講,當電子經過拓撲磁織構時,其自旋會沿著磁結構的自旋進行絕熱演化,相應的角動量轉移過程誘導了一個虛擬磁場的產生,繼而使得電子或者磁子發生偏轉,這被稱為拓撲霍爾效應.該現象最早在MnSi 體系中被觀測到,被證明是來自于一種拓撲磁孤子——斯格明子(skyrmion)的貢獻[14].斯格明子的概念起源于由Skyrme[19]提出的非線性σ 模型,隨后在中心反演對稱破缺磁性材料中被發現[20–22],被認為是一種具有拓撲保護的磁結構.但自旋和k空間的能帶拓撲并不是電子體系的專屬,作為一類典型的玻色子,磁子也具有自旋角動量和相應的能帶拓撲,而磁子與廣泛存在的拓撲缺陷之間的相互作用更是難以避免.探索由倒空間和實空間拓撲引起的磁子霍爾效應是磁子學的重要研究方向.

本綜述將回顧磁子霍爾效應的發展歷程,介紹由自旋-軌道耦合誘導的磁子霍爾效應,以及基于拓撲磁孤子的拓撲霍爾效應,還有同貝里曲率偶極子(Berry curvature dipole)相關聯的非線性霍爾效應和最新報道的基于三磁子過程的磁子非線性拓撲自旋霍爾效應.最后簡要討論該領域的未來,并探討一些潛在的研究方向和尚未解決的問題.

2 磁子霍爾效應

無論是玻色子還是費米子,其本征自旋霍爾效應通常都來自于貝里相位(Berry phase)誘導的虛擬磁場,即貝里曲率.具體來說,類似于電動力學中利用矢勢構建電磁場,貝里相位可以被近似為動量空間的磁通量,而貝里曲率則對應著動量空間的磁場.該等效磁場將對輸運電子產生一個正比于貝里曲率的橫向速度,這便是導致電子霍爾效應的內稟機制.其在粒子輸運方程中的作用可以通過將玻色子或費米子的波函數近似為波包的方法得到.這種半經典的方法最早應用在電子體系,具體來說,在周期性系統中,電子波函數可以表示為布洛赫波函數:ψnk(r)=un(k,r)eik·r.盡管這個布洛赫波函數是空間擴展的,但電子波包可以被構造為布洛赫波的線性組合,其在參數空間(k,r)的半經典運動方程為[23]

其中,En是電子第n個本征態的本征值,e是電子電荷,? 是約化普朗克常數,?n(k) 為電子的貝里曲率.(1)式第一個等號右邊的第二項垂直于電場E方向,這正是電子本征霍爾效應的來源.

2.1 交換自旋波的磁子霍爾效應

在不考慮偶極相互作用的情況下,類比電子的半經典運動方程,構造出短波長自旋波的波包運動方程[24]:

其中εn是磁子第n個本征態的本征值,U(r) 為體系的勢能.同樣地,倒空間的貝里曲率

也是決定磁子霍爾效應的關鍵因素,其中un,k是布洛赫函數的周期部分,εαβγ為反對稱張量.由于磁子不存在電荷,因此不受電場的調控,但是磁體系中的能量變化可以形成有效的電場力:?U(r).對于共線磁體而言,磁子在體系邊界處會受到不為零的有效電場力,這直接導致了在邊界處磁子的反常速度k˙×?n,和相應的邊界磁子流

其中x=a和x=b分別代表體系內和體系外,ρ(ε)為磁子的分布函數.該磁子流和邊界的形狀無關,因此其具有極強的魯棒性,可圍繞整個邊界運動,如圖1(b)和圖1(c)所示[24].

圖1 (a)磁子波包的自轉和繞著系統邊界的磁子流;(b)沿著邊界傳輸且與邊界形狀無關的磁子流;(c)平衡態時的邊界磁子流;(d)溫度梯度導致的有限熱霍爾磁子流[24]Fig.1.(a) Self-rotation of a magnon wave packet and a magnon edge current;(b) the magnon near the boundary proceeds along the boundary,irrespective of the edge shape;(c) magnon edge current in equilibrium;(d) under the temperature gradient,a finite thermal Hall current will appear[24].

與電子體系類似,除了圍繞邊界的運動外,磁子波包在運動過程中也會經歷所謂的自轉.類比于電子的自轉角動量的表達式,可以得到磁子波包的自轉角動量:

貝里曲率可表示為

方程(4)和貝里曲率有著極高的相似性.

因此,磁子波包的自轉行為和繞邊界的旋轉過程都由動量空間有限的貝里曲率決定.圖1(a)給出了磁子的自旋運動和繞邊界的運動[24].當系統處于平衡態時,磁子流沿著系統邊界循環傳播,其在兩個相反邊界處的大小相等,導致通過磁體的總熱流為零.在施加溫度梯度(圖1(d))后,磁子將從高溫區流向低溫區,這就打破了兩個相反邊界處的熱流平衡,從而導致橫向非零熱霍爾磁子流的產生[24].此外,Zhang 等[25]研究表明,這些邊界磁子流實際上是由非平凡的拓撲磁子能帶所導致的手性邊界態.這些邊界態存在單向傳播和拓撲保護的特性,因而能夠免疫缺陷和無序的干擾.總之,具有魯棒特性的磁子霍爾效應起源于磁子的非平凡能帶結構.

在電子體系中,電子的自旋霍爾效應通常來自于由自旋-軌道耦合誘導的貝里曲率.在中心反演對稱性破缺的體系中,自旋-軌道耦合通常會在自旋哈密頓量中引入Dzyaloshinskii-Moriya (DM)相互作用[26,27].2010年,Katsura 等[28]預測了在具有DM 相互作用的 Kagome 晶格體系中磁子流的熱霍爾效應,該效應同年被Onose 等[29]在共線鐵磁絕緣體Lu2V2O7中所證實.Lu2V2O7體系可以由以下哈密頓量來描述:

式中,第一項代表海森伯交換能,第二項代表DM 相互作用,第三項則是磁場導致的塞曼能.DM 相互作用的強度和形式由Dij=Dij·n決定,其中Dij為體系DM 矢量的方向,n代表沿磁場方向的單位矢量.為了計算不同磁子態之間的傳輸矩陣元,將哈密頓量轉變為自旋算符的表達式:

式中Aei?i=J+iDij,其幅角?i由DM 相互作用的強度所決定.

(7)式中矩陣元的虛部表明了DM 相互作用在磁子輸運過程中類似于一個矢勢,并且作為一個“軌道磁場” (orbital magnetic field),其產生一個作用于磁子的有效洛倫茲力,繼而誘導磁子的霍爾效應.值得注意的是該矢勢一方面依賴于DM 矢量的方向,即當DM 矢量和自旋平衡態垂直時不會對矢勢有所貢獻,另一方面也強烈依賴于材料的晶格類型.若要保證DM 相互作用誘導的有效磁通不會被抵消,則需要單位晶格內的有效磁通不為零[30].以燒綠石和鈣鈦礦結構為例,DM 相互作用誘導的幅角?i在燒綠石的晶胞內不抵消,繼而誘導了有限的總磁通,如圖2(a)所示.而在扭曲的鈣鈦礦結構中,DM 相互作用誘導的總幅角為零,其相應的總磁通也為零,如圖2(b)所示.

圖2 DM 相互作用在燒綠石(111)平面中誘導的幅角 ?i 分布(a)和在扭曲的鈣鈦礦的z-x 平面中誘導的幅角分布(b)[30];(c) 磁子的霍爾效應示意圖[29]Fig.2.Spital distribution of ?i induced by DM interaction in the (111) plane of the pyrochlore lattice (a) and the z-x plane of the distorted perovskite structure (b)[30];(c) schematic of magnon Hall effect[29].

上述結果表明了電子的自旋-軌道耦合會同時誘導電子和磁子的霍爾效應.但是電子和磁子的自旋角動量存在一定的差別,在磁子體系中是否也存在對應的自旋-軌道耦合? 即隨動量空間變化的磁子極化,并且相應的耦合能否誘導磁子的霍爾效應? 為了解決這些問題,Shen[31]研究了反鐵磁體系中偶極相互作用對磁子極化和輸運的影響,通過在哈密頓量中考慮偶極相互作用并考慮長波近似條件,可以求得磁子在該體系中的本征函數:

式中,αk和βk分別對應反鐵磁中的左旋和右旋磁子波函數,?k為波矢在x-y平面的方位角.該本征波函數表明了左旋和右旋磁子的耦合,產生了波矢k依賴的自旋進動軌跡 (即波矢依賴的磁子極化),如圖3(a) 所示.這類似于電子體系的自旋-軌道耦合.考慮磁子沿著面內方向傳播,并參考電子體系中誘導自旋霍爾效應的貝里曲率表達式[11],可以得到兩種磁子模式的貝里曲率:

圖3 (a)磁子的極化,即自旋的進動軌跡和波矢的關系;(b) 偶極-偶極相互作用力在反鐵磁體系中誘導的磁子自旋霍爾效應的示意圖[31]Fig.3.(a) The polarization,i.e.,the trajectory of the spin precession as a function of wave vectors;(b) schematic of magnon spin Hall effect induced by the dipolar interaction[31].

其中,cs由海森伯交換能和體系晶格參數決定,?k則由磁子色散和cs決定.由方程(9)可知,兩種磁子會獲得相反的貝里曲率,繼而導致磁子自旋霍爾效應,如圖3(b)所示.

2.2 靜磁自旋波的磁子霍爾效應

上述的磁子霍爾效應都是基于短波長自旋波,即交換自旋波的霍爾效應.然而,磁性體系中廣泛存在著的偶極相互作用在長波長自旋波的輸運過程中扮演著極為重要的角色.根據波長的不同,自旋波可以分為靜磁自旋波、交換靜磁自旋波和交換自旋波[32,33],如圖4(a)所示.根據靜磁自旋波的平衡態和波矢的相對方向,其也可以分為三種類型,如圖4(b)所示.與交換自旋波類似,靜磁自旋波同樣能經歷由貝里曲率誘導的磁子霍爾效應.但不同的是,其貝里曲率的表達式需要重寫為 -εαβγIm ×[34],其中εαβγ是反對稱張量,這是由靜磁自旋波特殊的歸一化關系所決定的,即〈mn,k|σy|mn,k〉=1.當自旋平衡態M0躺在面內時(θ=π/2)系統在時間反演操作和面內旋轉180°的聯合操作下保持不變,使得貝里曲率為零.這對應著靜磁后向體模式(BVMSW)和靜磁表面自旋波(MSSW)模式.另一方面,對于靜磁前向體模式(FVMSW),由于其飽和磁化強度是面外方向的(θ=0)[35],所以貝里曲率不為零.

圖4 (a) 磁橢球中磁子的色散關系;(b) 釔鐵石榴石 (YIG) 中不同類型的靜磁模自旋波[35]Fig.4.(a) Dispersion relation of SW for a magnetic ellipsoid;(b) different types of magnetostatic SWs in yttrium iron garnet (YIG)[35].

當只存在偶極相互作用時,系統第n個本征值(n為整數)對應的靜磁自旋波波函數為

圖5(a)和圖5(b)分別給出了在H0=Ms的情況下,靜磁前向體模式的本征值和貝里曲率對k和n的依賴性.

圖5 在H0=M0 情況下,靜磁前向體模式的色散關系(a)和貝里曲率分布(b)[34]Fig.5.Dispersion (a) and Berry curvature (b) for the magnetostatic forward volume-wave mode for H0/M0=1 [34].

根據靜磁自旋波的貝里曲率,也可以估計其在kBT??ωH情況下的熱霍爾電導[34]:

其中,r=H0/Ms,N=L/lex,lex是交換長度,L則為磁體的層厚度.(12)式表明靜磁自旋波的熱霍爾電導與溫度無關.

3 拓撲磁子霍爾效應

除倒空間拓撲之外,實空間拓撲也同樣可以誘導出攜帶自旋的粒子的霍爾效應.具體來講,當攜帶自旋角動量的粒子經過空間非共線磁織構時,由于自旋角動量的轉移,粒子會經歷一個感生磁場,在有效洛倫茲力的作用下,粒子運動軌跡發生偏轉,這一現象被稱為拓撲霍爾效應.該效應最早在電子體系中被報道[14].同樣,攜帶自旋角動量的磁子在經過實空間的拓撲磁織構時也會經歷由虛擬磁場誘導的有效洛倫茲力,這一現象被稱為拓撲磁子霍爾效應[36].

3.1 虛擬電磁場理論

磁子在經過拓撲磁織構時感受到的有效磁場的來源可以這樣來理解: 當把非共線磁織構中的自旋通過局域旋轉矩陣變換到z軸時,規范變換會將原本的空間導數轉變為協變導數的形式?μ+Aμ,μ=x,y.這里,Aμ=R-1?μR是一個3×3 的反對稱矩陣,R是旋轉矩陣:

式中,θ和?分別代表自旋的極化角和方位角.對自旋應用Holstein-Primakoff (HP)變換[37]:

代入磁體系的拉氏量:

其中Λ=(?×S)/(1+S·?) 是沿著方向?的磁單極的磁矢勢.保留到玻色算子a,a?的二階項,可以得到不考慮磁子-磁子相互作用的二階哈密頓量:

進一步地,假設磁子呈現波包的形式,并且假設其波型在經過斯格明子時近似不變,進而可以對磁子波包應用集體坐標理論[38,39].在該近似下,自旋波波函數對時間的偏導轉變為?tψ=?rψ·v,其中v=?ω/?k為磁子群速度,這一近似在描述斯格明子和疇壁的動力學中被廣泛使用[40,41].通過這一假設可以進一步簡單地將體系的拉氏量寫作波包的位置和動量的函數[38]:

其中,ω為磁子頻率,S0為自旋平衡態,A12=-▽?cosθ代表來自交換能的有效矢勢.值得注意的是磁子的產生湮滅算符通常和磁子在某個態下的占據數有關,而拉氏量中的a?a就對應著磁子的粒子數.本文認為磁子的粒子數和自旋波振幅的平方相關.隨后對體系拉氏量應用歐拉-拉格朗日方程,可以得到如下的動力學方程:

式中,msw=1/2A代表歸一化的磁子波包有效質量.方程(18) 表明磁子在經過斯格明子時會經歷來自交換能和DM 相互作用誘導的虛擬磁場B=Bzez的作用,其中

通常來講,由交換能誘導的虛擬磁場的總磁通等于斯格明子的拓撲荷,而DM 相互作用誘導的虛擬磁場的總磁通近似為零[36].因此,磁子的運動軌跡主要取決于磁織構的拓撲荷.當拓撲荷不為零時,磁子會經歷一個斜散射(skew scattering)過程.而當拓撲荷為零時,磁子則會經歷一個邊跳躍(side jump) 過程[38],這類似于電子被雜質散射后導致的反常霍爾效應,如圖6(a)所示.

圖6 (a)磁子經過磁織構之后的斜散射和邊跳躍行為[38];磁子經過(b)亞鐵磁和(c)反鐵磁斯格明子之后的偏轉軌跡[42,43];(d)散射理論計算得到的不同入射磁子能量下的微分散射截面,εgap 為k=0 時的磁子能量[47];(e)磁子的彩虹散射過程[47]Fig.6.(a) Skew scattering and side jump of spin wave across magnetic texture[38];the trajectories of spin wave across (b) antiferromagnetic and (c) ferrimagnetic skyrmion[42,43];(d) differential cross section evaluated from scattering theory for various energies,εgap is the magnon gap[47] at k=0;(e) the rainbow scattering process of magnons[47].

在反鐵磁或者亞鐵磁中,由于體系具有相反自旋的兩套子晶格,使得磁子的極化會擁有全自旋自由度.因此,磁子會經歷所謂的拓撲磁子自旋霍爾效應,即具有相反極化的磁子流經歷自旋依賴的相反的有效洛倫茲力,繼而被斯格明子分離[42–45],如圖6(b)和圖6(c)所示.

3.2 散射理論

3.1節的虛擬電磁場理論適用于斯格明子尺寸大于磁子波長的情況,并且忽略了一些粒子數不守恒的項,如a?a?和aa等.當磁子的波長大于斯格明子直徑時,可以采用散射理論去處理該情況下的磁子-斯格明子散射行為.該方法最早于2014年由Iwasaki 等[46]用于研究磁子和斯格明子的耦合體系.同年由Schütte 等[47]完成了更系統的研究.考慮包含交換能、體DM 相互作用和塞曼能的系統的哈密頓量為

為了描述磁子,可以使用由3 個相互正交的單位向量 (e1,e2,e3)定義的局域坐標系,其中e3=S0/|S0|=e1×e2,S0代表自旋的平衡態.相應的磁子波函數為,其中δ1(2)描述了自旋波在兩個正交方向的振幅分量.將自旋哈密頓量表達為磁子波函數的函數,并保留其二階微擾部分,可以得到相應的本征方程:

式中,m代表散射磁子攜帶的軌道角動量,哈密頓量H(m)=H0(m)+V(m),H0(m) 和V(m)分 別為不存在斯格明子時系統的哈密頓量和斯格明子帶來的有效散射勢,分別表示為

式中,τx(z) 代表泡利矩陣,I代表單位矩陣,ρ為自旋和斯格明子中心的距離.在沒有斯格明子的情況下,方程(22)的本征值和波函數分別為ε=,本征函數中的 Jm為貝塞爾函數,a為體系晶格參數.對應的本征值代表了基態情況下鐵磁磁子的色散關系.在高能散射的情況下(磁子頻率較高的情況),非對角元的散射矩陣可以忽略(vx),可以只考慮vz和v0帶來的影響.而在非高能散射的情況下(磁子頻率較低的情況),由于斯格明子勢是空間依賴的,則需要對實空間上每個位置的本征方程進行對角化,求得對應的本征值和波函數.在遠離斯格明子的區域,磁子的波函數可以寫為

其中,χ為斯格明子所在平面的方位角,f(χ) 代表方向依賴的磁子的散射強度,通常由無窮遠處散射波的相移決定.采用半經典的散射理論可以計算f(χ)以及對應的微分散射截面和散射角的依賴性[48],如圖6(d)所示.顯而易見,相對于磁子入射方向(χ=0),微分散射截面具有很強的非對稱性,代表著明顯的偏向散射過程.通過計算該體系波函數在實空間的分布,可以明顯看到磁子經過斯格明子之后的多峰散射過程,即彩虹散射過程 (rainbow scattering),如圖6(e)所示.

3.3 磁子的朗道能級

當在二維電子氣中施加外磁場時,會出現分立的量子化能級,稱為朗道能級 (Landau level).與之對應的,磁子在經過由斯格明子誘導的虛擬磁場時,也可能會出現對應的磁子朗道能級.Kim 等[43]考慮磁子在斯格明子晶體中的情況,并將斯格明子誘導的虛擬磁場做一個空間平均化處理.此時,在斯格明子體系中的磁子可由如下薛定諤方程描述:

其中q對應磁子的手性,類比為磁子的有效電荷.有效磁場可以近似為斯格明子拓撲荷對空間的平均,其中V是系統的體積.相應的磁子回旋頻率為ωc=Bz/m,其本征值給出磁子體系中的朗道能級εn=?ωc(n+1/2),n為整數.

4 磁子的非線性霍爾效應

前兩節的磁子霍爾效應和拓撲霍爾效應都對應著霍爾磁子流對外界激勵的線性響應.2015年,Sodemann 和Fu[49]在理論上首次預測了存在于時間反演對稱性體系中的霍爾電流,該電流與外界電場有二階響應關系.由于這種非線性響應,他們將其命名為非線性霍爾效應.為了求得非線性∫霍爾電流的表達式,可從霍爾電流的密度出發,其中f(k)為電子分布函數,va為電子速度.分布函數f(k) 可以通過級數展開至電場的二階項:

其中,f0是沒有外場下的電子分布函數,f1和f2為

式中,τ 為電子的弛豫時間.相應地,可以得到保留到電場二階項的霍爾電流其中,

(27)式中的第二項是完全和貝里曲率無關的項,當考慮時間反演對稱的體系時,該項也會消失.因此可以著重于與拓撲相關的第一項,將霍爾電流重寫為以及,其中

顯而易見,在存在時間反演對稱∫性的體系中,電子的霍爾電流由貝里曲率偶極子決定.圖7(a)給出了由貝里曲率誘導的反常霍爾效應和貝里曲率偶極子誘導的非線性霍爾效應[50].

圖7 (a)由貝里曲率誘導的反常霍爾效應和貝里曲率偶極子誘導的非線性霍爾效應示意圖[50].(b)非線性磁子流和交換系數J1的關系[51].磁子的(c)能帶、(d)貝里曲率和(e)貝里曲率偶極子在動量空間的分布[51]Fig.7.(a) Schematics of the anomalous Hall effect induced by the finite Berry curvature and the nonlinear Hall effect induced by the finite Berry curvature dipoles in the entire space,respectively[50].(b) Nonlinear magnon current as a function of exchange constant J1 [51].Distribution of (c) the band structure,(d) berry curvature,and (e) berry curvature dipole of magnons in the momentum space[51].

相應地,類似的處理方法可以映射到磁子體系.以由溫度梯度誘導的反常能斯特效應為例,其對應的霍爾磁子流的表達式為

其中En(k),?n(k),ρ(E,T(x))分別代表能量本征值、第n條能帶的貝里曲率和能量為E的磁子在溫度T下的分布函數,T(x)=T0-x?T是隨空間變化的溫度分布.為了獲得和溫度梯度呈現非線性關系的貝里曲率,可從體系的玻爾茲曼輸運方程出發:

其中,τ和ρ0分別代表磁子的弛豫時間和平衡分布函數.考慮這是一個沒有外場的穩態系統,上述方程可以進一步約化為

將x˙重寫為 (1/?)?kxEn(k),?/?x重寫為-?T?/?T0,并將(29)式代入磁子流的表達式,可以得到與溫度梯度呈現二階響應的磁子流表達式:

其中,c1(ρ0)=(1+ρ0)ln(1+ρ0)-ρ0ln(ρ0),方程(30)的第一項對應線性磁子的能斯特效應;第二項則代表磁子流對溫度梯度的非線性響應(二階),其和磁子的貝里曲率偶極子相關聯.如果考慮方程更高的階數,可以得到磁子流對溫度梯度的三階、四階響應.圖7(b)給出了反鐵磁蜂巢晶格中的非線性磁子流和交換系數的關系[51].非線性磁子流由其在k空間的能帶分布(圖7(c))、貝里曲率(圖7(d))和貝里曲率偶極子(圖7(e))決定[51].

5 磁子非線性拓撲自旋霍爾效應

當自旋波的激發振幅較大時,線性化方程已不足以描述磁子行為,需要討論自旋波高階相互作用項的影響.這些非線性高階項通常表述為磁子-磁子散射過程(magnon-magnon scattering).其中最常見的非線性過程是三磁子和四磁子散射過程.三磁子散射包括三磁子融合和三磁子分裂兩種類型,一般情況下是由磁偶極相互作用或者非共線磁織構誘導[52].三磁子融合是指兩個磁子融合為一個磁子,其逆過程為三磁子分裂,對應一個磁子分裂為兩個磁子(圖8(a)),三磁子過程可以用于產生磁子頻率梳[53,54],如圖8(b)所示.四磁子散射主要是指兩個磁子轉變為另外兩個磁子[55],主要由交換相互作用誘導產生,如圖8(c)所示.需要指出的是,磁子作為玻色子,在磁子-磁子散射過程中粒子數可以不守恒,但需要遵循能量和動量守恒.

圖8 (a)非線性三磁子過程示意圖;(b) 三磁子散射誘導的磁子頻率梳示意圖[53];(c) 非線性四磁子過程示意圖Fig.8.(a) Schematic diagram of the nonlinear three-magnon process;(b) schematic diagram of three-magnon scattering induced magnon frequency comb[53];(c) schematic diagram of the nonlinear four-magnon process.

在光學體系中,非線性光在傳輸過程中和線性光一樣會獲得貝里相位[56?58].而在磁子體系中,非線性磁子也同樣可能會經歷由非共線磁織構導致的虛擬磁場.最近,Jin 等[59]系統研究了由于三磁子過程誘導的磁子非線性拓撲霍爾效應,揭示了非線性磁子在經過斯格明子時會感受到額外的規范場,繼而具有更大的霍爾角,如圖9(a)所示.具體來說,該工作考慮了在反鐵磁系統中入射磁子和斯格明子呼吸模之間的相互作用,并以此來誘導三磁子過程,產生磁子頻率梳.為了考慮哈密頓量中不同磁子模式的貢獻,將玻色算子展開為,其中ks,kp和kq分別為入射模as、合頻模ap和差頻模aq在無窮遠處的波矢,ψr為呼吸模ar的波函數.相應的哈密頓量為(考慮歸一化的自旋矢量S=1)H=H2+H3.其中代表磁子線性過程的二階哈密頓量為

圖9 (a)磁子非線性拓撲自旋霍爾效應示意圖;(b)虛擬磁場B 和B'的空間分布以及對應磁子的運動軌跡(分別在B 和B+B'作用下);(c)不同磁子模式的波函數的等值線分布;(d)線性非線性霍爾角和入射磁子頻率 ωs 以及非線性階數m 的關系[59]Fig.9.(a) Schematic illustration of the nonlinear topological magnon spin Hall effect in magnon-AFM skyrmion scattering;(b) spatial distribution of dimensionless field B and B' as well as the corresponding spin wave trajectories in real space;(c) isoline maps for different magnon modes;(d) the Hall angle as a function of the incident magnon frequencie ωs and mode index m[59].

哈密頓量中的l0為平衡態下反鐵磁體系的奈爾矢量.而代表非線性過程的三階哈密頓量為H3=H3s+H3p+H3q,其中H3s,H3p和H3q分別表示入射、融合和分裂磁子模所貢獻的哈密頓量,具體表達式為

其中,Aνν′=Ax,νν′ex+Ay,νν′ey代表由局域坐標變換帶來的規范場(ν,ν′=1,2,3);eθ和e?為 極坐標系中的兩個單位矢量;而ωs,ωp,ωq和ωr是入射模、融合模、分裂模和斯格明子呼吸模的頻率,并且符合能量守恒ωp(q)=ωs±ωr.顯而易見,傳統的規范場A12只出現在二階哈密頓量中,而規范場A13和A23則出現在磁子的非線性過程中.對體系的總拉氏量運用歐拉-拉格朗日方法,可以得到不同模式波包的運動方程:

其中B與方程(17)中的虛擬磁場等價,是導致傳統磁子霍爾效應的虛擬磁場.這里 ? 和e是約化普朗克常數和單位電荷,而代表來自于三磁子非線性過程的額外的有效洛倫茲力:

代表來自于三磁子過程貢獻的額外虛擬磁場.由于斯格明子的旋轉對稱性,矢勢A13的貢獻為零.這里

代表了磁子的重疊積分,其中V是系統的體積.在整個磁子和斯格明子的散射過程中,自旋波波包可以看作是在虛擬磁場B和B'下運動的點粒子.進一步考慮4 種磁子模式之間的關系:

可以將方程(33) 轉變為

這里,msw,i=?ωi/J為反鐵磁中自旋波波包的有效質量,σ=?1 表示左右旋磁子,e為元電荷,,其中為斯格明子呼吸模的粒子數,g為三磁子耦合強度,ε=ω-ωr.圖9(b)給出了虛擬磁場Bz/B0和的空間分布,其中B0=?/a2e,a是體系的晶格參數.可以看出它們的大小在同樣的數量級.通過數值求解方程(35)在B′=0和B′≠0 的情況,可以得到對應的磁子運動軌跡(圖9(b)).顯而易見,三磁子過程誘導的虛擬磁場會誘導更大的磁子霍爾角.進一步,微磁學模擬也論證了上述的理論分析,即相較于入射波模式,差頻和合頻模式具有更為顯著的磁子霍爾角,如圖9(c)所示.值得注意的是,隨著非線性階數m的增加,磁子的霍爾角也幾乎呈現線性增加的趨勢,如圖9(d)所示.這一過程可以類比為光經過大氣層之后經歷的多次折射現象.

在該體系中,散射磁子流和入射磁子流之間存在非線性響應.具體來說,當磁子經過斯格明子時,通過三磁子過程激發出斯格明子的呼吸模式.隨后入射磁子和斯格明子呼吸模耦合產生融合與分裂模.假設呼吸模的磁子數正比于入射波的磁子數即ar=cas,根據方程(35),相應的融合和分裂模式的磁子數可以表示為

其中ns,np和nq分別代表入射磁子、融合和分裂模式磁子的磁子數.顯而易見,其散射磁子數和入射磁子數確實呈現非線性的關系.這種全新的非線性霍爾效應起源于四點.1)玻色子粒子數不守恒的內稟性質: 單個磁子可以分裂為多個磁子,也可以與其他磁子合并成一個磁子,這在低能費米子體系中沒有對應.2) 非線性三磁子散射形成的磁子頻率梳: 頻域上一串離散的具有相同頻率間隔的自旋波譜線.3)隱藏的規范場: 分析表明剩下的兩個規范場矩陣元出現在磁織構的非線性磁子輸運中,它們作用在磁子頻率梳上,產生巨大的磁子霍爾角.4)反鐵磁磁子具有的兩種自旋態: 分別對應右旋和左旋的磁矩進動模式.

6 總結與展望

本文回顧了磁子霍爾效應最新的研究進展.以電子霍爾效應為起點,介紹了由能帶拓撲和實空間拓撲引起的磁子霍爾效應和磁子拓撲霍爾效應.進一步地,考慮磁子流對外界刺激的二階響應,可以得到由貝里曲率偶極子誘導的磁子非線性霍爾效應.而這一非線性效應也可以推廣到由實空間磁織構引起的拓撲霍爾效應當中,導致磁子非線性拓撲自旋霍爾效應.值得指出的是,近年來,磁子霍爾效應家族正在不斷發展壯大.除了本文主要介紹的霍爾效應外,還包括磁子能斯特效應和磁子塞貝克效應等[60,61].隱藏在磁子傳輸過程中更多新奇的物理效應值得進一步挖掘.具體來說,斯格明子晶體中磁子的朗道能級通常具有非零的陳數,繼而對磁子的霍爾效應產生貢獻.但是目前大部分基于磁子朗道能級的研究都局限于線性區域,不涉及非線性效應.單個斯格明子的存在破壞了體系的空間平移對稱性,而大量斯格明子構成的斯格明子周期結構(斯格明子晶體)能恢復這種對稱性.在磁子體系中,三磁子相互作用所主導的非線性哈密頓量會對磁子能帶引入厄密和非厄密的自能修正.其中厄密的自能項會對磁子能帶進行重整化而非厄密自能則會影響磁子能帶的展寬[62].基于上述磁子非線性作用對倒空間拓撲可能帶來的影響,斯格明子晶體中隱藏在磁子-磁子相互作用中的規范場對磁子朗道能級的影響也值得進一步探索.

在真實材料中,磁子-聲子散射通常是不可避免的,其可以通過兩種不同的方式去影響磁子.首先,聲子激發造成的晶格畸變可能會影響磁矩之間交換作用的大小和各向異性.其次,晶格振動可能會產生顯著的磁子-聲子耦合形成磁子極化子,并在耦合體系的能譜中形成反交叉.在磁性絕緣體中,由溫度梯度形成的熱霍爾流可以由磁子或聲子單獨攜帶,也可以由新的準粒子-磁子極化子攜帶[63].具體來說,當磁化方向上的鏡像對稱性被破壞時,自旋-晶格相互作用將會引起熱霍爾效應,并且熱霍爾電導率由磁子和聲子之間的耦合強度決定.但是這種磁體系中的非本征霍爾效應都集中在磁子的線性輸運過程中.非本征磁子非線性霍爾效應的理論也值得進一步的發展和探索.

迄今為止,磁子霍爾效應的研究對象大多局限于傳統的鐵磁或反鐵磁材料體系.近年來,轉角范德瓦耳斯層因為其中的拓撲平帶具有諸多新奇拓撲物態現象,包括非平凡超導和Mott 絕緣態等[64,65]而廣受關注.如在轉角石墨烯中,無序散射和貝里曲率偶極子均會誘導電子的非線性霍爾效應[66,67].而轉角體系也會形成特殊的磁子拓撲保護態,繼而對磁子的霍爾效應產生影響[68].另外,由于轉角體系中的摩爾超晶格也存在斯格明子等拓撲磁結構,其中的非線性磁子輸運會受到倒空間和實空間拓撲的共同調制,其背后的物理機制有待進一步探索和闡明.此外,也可以考慮偶極-偶極相互作用對非線性霍爾效應的影響,探索線性霍爾磁子流和非線性磁子流對于翻轉磁矩的作用,利用非線性霍爾磁子流的巨大霍爾角設計相關的磁子學器件,挖掘在不同對稱性磁體中磁子的非線性霍爾效應,探索靜磁自旋波的拓撲霍爾效應等.總之,對磁子霍爾效應的研究為理解相關的基本物理概念和現象提供了新的視角.可以斷定,對凝聚態物理和拓撲物理等領域中不同物理機制誘導的霍爾效應的研究以及相關應用的開拓方興未艾,有著誘人的前景.