基于λ-Bernstein基函數模型的擬合研究*

程文韜,沈蘇琴

(安慶師范大學 數理學院,安徽 安慶 246000)

石油是全球性的重要資源,我國是主要石油消費國和進口國之一,隨著國際油價的上漲和國內汽油價格的波動,需要建立健全石油風險規避機制。2004年8月25日,燃料油期貨作為首個能源期貨品種在上海期貨交易所上市。何瑩[1]研究了中國燃料油期貨市場有效性及價格發現功能,我國燃料油期貨自上市以來,其市場有效性和價格發現發揮的水平如何,一直是監管者和投資者十分關心的問題。

本文基于Bernstein基函數擬合模型[2-5],提出構造廣義的Bernstein基函數擬合模型,即λ-Bernstein基函數擬合模型。選取某一時段燃料油期貨收盤價格的數據資料,以擬合精度為要求,利用MATLAB,通過模擬構建λ-Bernstein基函數來擬合燃料油價格,并對擬合效果進行分析。

1 模型構建

1.1 λ-Bernstein基函數的確定

λ-Bernstein基函數[6-10]為

設原始時間序列數據為Yi,i=1,2,…,n,以λ-Bernstein基函數擬合的總體模型為

(1)

其中,βj(j=0,1,…,m)為系數矢量,在這里也稱為擬合曲線的控制點;ε(t)是總體模型的誤差項。

1.2 λ-Bernstein基函數建模

設參數化后時間序列數據為Y(t),0≤t≤1,以m次λ-Bernstein多項式

為基函數,構造總體模型為

(2)

擬合這一時間段的數據點,得到樣本回歸方程為

(3)

(4)

其中,e(t)為誤差項。

樞紐錨固是在對外客運樞紐布局的基礎上，充分發揮城市交通網絡的功能，如道路、軌道交通等。在對外客運樞紐設計中，發揮錨固區域交通網絡的作用，如高速公路、干線公路、城際公路、鐵路以及公路客運班線等。因此，城市綜合客運樞紐的錨固能夠為人民群眾出行的便捷性提供保障。

πi+1-πi=C。

為了整理方便,讓πi取整數序列,即為

πi=i,i=1,2,…,n。

將參數化后的結果再進行規范化,即可得到規范參數化結果

以下采用規范參數化后的結果進行討論。

采用最小二乘法[11]來確定擬合的曲線,并建立相應的模型。設所需的擬合曲線為

(5)

樣本模型為

(6)

為求控制點βj(j=0,1,…,m),需使得

達到最小。

根據要求可以得到

(7)

1.3 模型改進

在用最小二乘法進行參數估計時,隨著控制點個數m的增加,會出現嚴重的多重共線性,導致控制點的精度和穩定性下降。為了消除共線性,采用嶺回歸[12-15]來改進控制點的估計,設嶺參數為k,則有

其中,I是m+1階單位矩陣。選擇合適的嶺參數k,即可保證控制點的估計值具有較好的有效性。

2 實例分析

2.1 參數的選取

根據第1部分構建的模型,對2011-2022年燃料油期貨收盤價格的月數據進行分析,用嶺回歸對參數估計進行改進,為此雖犧牲了部分擬合精度,但消除了共線性,提高了結果的準確性。嶺參數k根據(8)式選取。

(8)

其中,λmax和λmin分別是設計矩陣BTB的最大特征值和最小特征值。

圖1 基函數建模流程圖Fig. 1 Basis function modeling flowchart

2.2 燃料油收盤價建模

2011-2022年燃料油期貨收盤價格的原始數據如圖2所示。

圖2 原始燃料油時間序列的變化圖Fig. 2 Diagram of time series of original fuel oil

根據第1部分的模型以及2.1節選取的參數,得到控制點的估計值,如表1所示。

表1 控制點的估計值Tab. 1 Estimates of control points

因此,由控制點的估計值得到擬合曲線如圖3和圖4所示。圖3為最小二乘估計得到的擬合曲線,其調整的擬合優度達到95%,但存在共線性。圖4為嶺估計得到擬合曲線,減少了共線性的影響,其調整的擬合優度達到90%,結果穩定性更高。由于數據不光滑且有個別離群點,一定程度上會影響擬合精度。

圖3 最小二乘擬合結果Fig. 3 Least squares fitting results

圖4 嶺回歸擬合結果Fig. 4 Ridge regression fitting results

由此繪制殘差比圖像,如圖5和圖6所示。圖5是圖3中擬合曲線和實際曲線的誤差圖,圖6是圖4擬合曲線和實際曲線的誤差圖。圖5誤差范圍小,但結果穩定性低;圖6誤差比圖5稍高一點,但結果穩定性高。圖中極個別點誤差較大是由于數據不光滑導致的,若選取光滑的數據,精度會提高,誤差會更小。

圖5 最小二乘—殘差比圖Fig. 5 Least squares-residual ratio graph

圖6 嶺回歸—殘差比圖Fig. 6 Ridge regression-residual ratio chart

3 總結

本文在傳統Bernstein基函數模型的基礎上,推廣得到λ-Bernstein基函數模型,λ-Bernstein基函數模型的優勢在于可通過調整模型參數λ的大小,控制擬合曲線的形狀,從而提高擬合精度,且實證出λ取-1時比λ取0時,擬合效果更好,即λ-Bernstein基函數模型的靈活性和擬合精度均比原有的Bernstein基函數模型好。