浸潤數學文化,促進深度學習
——《確定位置》教學有感

○ 南通師范學校第二附屬小學 吳 青

在數學學習中，我們經常會遇到人為規定的情形。為了幫助學生更好地認識這種人為規定的必要，更好地理解、掌握數學知識，我們需要和學生一起探究規定背后的數學淵源，從歷史、人文、科學等多角度分析規定的合理性，溝通數學與其他學科之間的聯系，從而讓數學學習浸潤科學文化的底蘊。

一、問題緣起

小學六年級學習的《確定位置》，是讓學生用帶有角度的方向和距離，描述平面上各點的準確位置，比如燈塔在輪船的北偏東30°方向6 千米處，這種表示物體位置的方法其實類似于極坐標法。

本課教學有一個重點，就是要用“北偏東30°”這樣的方式來描述物體的準確方向。在生活中我們經常說“東北”這個方位詞，但是“東北”只是一個大概的方向，只要在東和北之間都可以叫做東北。要想準確地指定東和北之間的某一個具體方向，就必須加上一個角度，比如說成“北偏東30°”。

但是，為什么要說成“北偏東”而不是“東偏北”，對學生來說有些難以理解。如果我們只是簡單地告訴學生，這是人們約定俗成的說法，一定要說成“北偏東”，那么經過多次練習鞏固之后，他們會逐漸掌握正確的表述方式，但是并沒有真正理解其本質，這對于學生素養的培養顯然是不利的。

其實采用“北偏東”這種說法，雖說是人為規定的，但卻有著極豐富的文化、科學等方面的歷史淵源。

二、追根求源

為什么東北要說成“北偏東”而不是“東偏北”？這其中涉及古人在認識、探索宇宙過程中逐步積累起來的科學知識與生活經驗。

1.中西方語言文化。

在漢語中，“東北”這個詞語的構成和“紅花”“大樹”等詞語相同，后面的“北”是中心詞，而前面的“東”是形容詞，來修飾中心詞“北”，表示“偏向東的北”。

而在英語中，東北可以說成north easterly。我們知道，north 表示北，east 表示東，那么加上后綴-erly 之后，easterly 就表示“東的，向東的”。很顯然，north easterly 表示 “偏向東的北”。

看來，不管是漢語還是英語，表示東北方向的詞組，都是以“北”為中心詞，表示“偏向東的北”或“從北偏向東”，因此可以簡單說成“北偏東”。

類似地，西北方向也是以北為標準，要說成“北偏西”，而東南和西南方向則是以南為標準，要說成“南偏東”“南偏西”。

2.北極星。

古人在確定方位時，都不約而同地選擇以北和南為標準，而不是以東和西為標準，這是為什么？

東、南、西、北這四個方向都是古人在認識大自然的過程中形成的，然而它們之間卻是有差別的。幾千年前，古人就開始夜觀天象，經過長期的觀察研究，他們發現日月星辰都在不停地運動，而只有一顆星在天空中的位置看起來幾乎不動，古人將之稱為“北極星”。

后來人們知道，因為地球在不停地自轉，就造成了日月星辰看起來在不停地繞著地球轉動；而地球自轉軸所指的方向正好對著北極星附近，因此北極星在天空的位置看起來就幾乎不變。人們把北極星所指的方向定為北，那么相反的方向就是南，有了“北”和“南”，就可以確定“東”和“西”這兩個方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉時，總是通過北極星來辨別方向。

可能有人會認為，我們可以把早晨太陽升起的方向定為“東”，晚上太陽落下的方向定為“西”。有了“東”和“西”，再確定“南”和“北”，不是也可以嗎？

公寓網采用四層組網架構：即互聯網與管理云層、核心層、匯聚層以及接入層。接入層ONT提供FE電口接入公寓用戶，并提供統一的無線SSID，ONT上聯到網絡中心機房OLT，中間無源全光纜。匯聚層收容各校區OLT收容業務，通過PTN系統連校園網寬帶BRAS。核心層由BRAS負責高速數據轉發和計費認證等功能，并與校園網互聯。互聯網與管理云層中包含運營商端認證系統和公寓網云管理端。

由于地球繞太陽公轉的同時，還在傾斜著自轉，這就造成每天早晨日出的位置都在不停地變化。通過長時間的觀察可以發現，冬天日出的方向在“正東偏南”，夏天日出的方向在“正東偏北”。而且處于不同地理緯度上的地區，日出位置也不相同。因此，用這種方法得到的“東”和“西”，存在著很大的不確定性，所以不適合用來比較準確地確定位置。因此我們通常是以“南”“北”方向為標準。

3.指南針。

我們出門在外，除了可以根據北極星來確定方向之外，還可以通過指南針來指示“南”“北”方向。指南針為什么能夠指出“南”“北”方向？因為地球內部有一個巨大的磁場，可以根據磁鐵同極相斥、異極相吸的特點，用指南針上的磁鐵指出“南”“北”方向。

其實指南針指的方向只是地磁場的南極和北極，而非真正的地理南極和北極，但是地磁場的兩極位于地理兩極附近，差距不大，所以我們仍然可以通過指南針來指示“南”“北”方向。

從上面的分析中我們可以看出，中西方語言都是以“南”和“北”為標準，而地球自轉和地球磁場也都決定了“南”“北”方向的重要性，所以我們在確定方向時，一般是以“南”和“北”為標準，要說成“北偏東”，而不說成“東偏北”。

在課堂上，我們和學生簡要地從這三個方面進行分析，明確了“北偏東”這種說法的根源。和直接告訴學生的教學方式相比，這樣的教學過程把枯燥的說教變為生動的探究，能夠激發學生強烈的學習熱情，使他們產生濃厚的學習興趣，又培養了嚴謹、認真的探究精神，拓寬了學生的知識面，同時也有助于對知識的理解和掌握。

三、縱向比較

對小學生來說，《確定位置》的學習貫穿了整個小學階段，一共安排了四次學習任務。教師需要通讀教材，對教材的編排有一個整體的認識，這樣才能有的放矢地開展好每一次教學活動。

一年級，剛剛跨入小學大門，學生就認識了前、后、左、右，這是最基礎的確定位置的方法，只能確定以觀測者為中心的前后、左右這兩條直線上的方向，這也相當于以觀測者為原點的直角坐標系的兩條坐標軸上的方向。這時的方向，與觀測者的朝向有關，因此具有不確定性，一旦觀測者的朝向發生了變化，那么前、后、左、右這四個方向也隨之變化。

二年級，學生通過早晨面向太陽時的前、后、左、右，認識了東、南、西、北四個方向，并在此基礎上又進一步認識了東北、東南、西北、西南這四個方向，此時四面八方中的這八個方向不再受觀測者朝向的影響，而是完全依賴于地球的自轉與太陽的東升西落，此時描述的方向更加準確。

六年級最后一次學習確定位置，則是用帶有角度的方向和距離來確定位置，這相當于極坐標系中用有序數對（ρ，θ）來確定平面上點的位置。因為這時的角度是以南、北方向為基準的，所以不再受觀測者朝向與位置的影響。

可以看出，小學階段四次學習確定位置的方法，螺旋式上升，逐步提高要求，使得確定位置的方法越來越精確。我們需要針對每一次確定位置的特點開展有效教學，幫助學生更好地理解并鞏固應用。而在六年級畢業總復習時，我們可以和學生一起回顧幾次確定位置的方法，分析它們之間的區別和各自的側重點，幫助學生融會貫通，建立完整的知識網絡。

四、教學實踐

在小學階段的四次確定位置的教學中，除了用方向和距離確定位置以外，用數對確定位置同樣也值得我們關注。

1.教學現狀分析。

教學數對時，我們通常會創設一定的操作探究情境，幫助學生理解數對的概念以及數對的表示方法。比如，在教室點陣圖中給出小軍的具體位置（第4 列第3 行），讓學生描述并記錄下來，于是出現了（4，3）、（3，4）等不同的記法；也有的教師先告訴學生（4，3）這個記法，讓學生在教室點陣圖中找到相對應的位置，于是出現了第4 列第3 行、第4 行第3 列等不同的答案。

如果教師告訴學生，我們在用數對表示位置時，通常是“先列后行”，即先說第幾列再說第幾行。經過大量的練習，大部分學生都能正確書寫，但還有少數學生會錯誤地寫成“先行后列”。到了六年級畢業總復習階段，這樣的錯誤仍然存在。這說明有的學生始終沒有分辨清楚，表示數對到底是“先列后行”還是“先行后列”；而那些會正確表示數對的學生，并不理解為什么“先列后行”而不是“先行后列”，只是機械地進行記憶和練習，這非常不利于以后的學習。

在我們的生活中，有許多場合都涉及確定位置，比如電影院或者大禮堂的座位是“第幾排第幾座”（即第幾行第幾個），飛機上的座位也是如此，電腦上的word 表格和excel 表格中同樣也都是“先行后列”，這些對學生理解、掌握數對中“先列后行”的表示順序會產生負遷移，會對數對的正確表示方法進行干擾，容易混淆。因此，應讓學生理解數對所蘊含的數學文化知識，從而真正認識到數對“先列后行”的合理性。

2.數對起源追溯。

數對其實就是二維坐標的原型，是平面上點的位置的抽象。小學階段學習用數對確定位置，就是讓學生對平面直角坐標系和二維坐標有一個初步的認識，為進一步學習平面直角坐標系作鋪墊。

關于數對的產生，我們可以向學生介紹笛卡爾發明數對的故事。據說笛卡爾躺在床上，發現墻角處有一張很大的蜘蛛網，一只蜘蛛在網上爬來爬去。笛卡爾靈機一動，可以把蜘蛛網最中心的位置作為原點，標為（0，0），通過原點的水平方向的蛛絲作為橫軸，豎直方向的蛛絲作為縱軸，橫軸和縱軸上面的點分別用數字1、2、3……來表示。蜘蛛網上的每一個交叉點都可以用縱、橫兩條線來確定，并用兩個數字表示出來，這樣就用兩個數字組成的有序數對確定了平面上每一個點的位置。笛卡爾發明的這個平面直角坐標系，把平面上形象的點和抽象的數聯系起來，從而開創了一門新的數學分支——解析幾何。

在平面直角坐標系中，對于平面上的任意一點，是先找橫軸上的數（橫坐標），再找縱軸上的數（縱坐標），這時數對的表示方法恰好是“先橫后豎”，這和學生的生活經驗正好是吻合的。而橫坐標對應著“第幾列”，縱坐標對應著“第幾行”，所以平面直角坐標系中“先看橫坐標，再看縱坐標”的順序，正好對應著數對中的“先列后行”的順序。

當學生了解了數對的產生過程，知道了數對與平面直角坐標系之間的淵源，他們也就能夠更好地理解數對“先列后行”的順序。

3.聯系生活實際。

其實，數對“先列后行”的順序，對學生來說同樣有著豐富的生活體驗，每天和同學一起在教室里學習，對教室位置的描述有著深刻的體會。我們在教室里都會說某個學生是“第幾組第幾個”，不就是“第幾列第幾行”的意思嗎？結合教室里的現實環境進行分析，學生能深刻領會數對“先列后行”的意義，而教材中通過教室的座位圖來教學數對，也正是想利用學生的生活經驗進行正遷移，達到有效的知識同化。因此，在實際教學中，我們可以從教室的座位開始引入新課。

而那些從藏寶圖、藥柜圖、森林圖等進行導入的教學方式，則是將數對與學生的生活經驗生生割裂，人為地加大了數對的學習難度，相當于事倍功半，這是不可取的。

教學時，我們還應該向學生介紹確定位置在生活中的實際應用，如地球經緯度、雷達圖、棋盤等，也可以初步滲透三維空間中確定位置的方法，幫助學生拓展知識面，真正掌握確定位置的方法。

在幾千年的數學發展的歷史長河中，數學與科學、藝術、文化等相互滲透，形成了獨特的數學文化。數學教學中，我們可以不斷讓學生浸潤數學文化，拓展知識面，促進深度學習。