利用求導(dǎo)法計(jì)算多連桿端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度

陳鴻翔 沈 衛(wèi)

(浙江省湖州市菱湖中學(xué),浙江 湖州 313018)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1所示,長(zhǎng)均為l的兩桿用鉸鏈P相連,兩桿夾角為2α,其中一根桿的一端O固定不動(dòng),另一根桿的自由端Q以大小和方向恒定的速度v0開始運(yùn)動(dòng),v0平行于兩桿夾角的角平分線。求Q端開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)非常短的時(shí)間,連接兩桿的鉸鏈P的加速度。

圖1

筆者在與學(xué)生共同探討這道兩連桿問(wèn)題中端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度求解問(wèn)題,分別運(yùn)用了參考系變換下運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和求導(dǎo)兩種方法,卻得到了兩個(gè)完全不同的結(jié)果。是其中一種方法中不適用于該問(wèn)題的解決,還是運(yùn)用過(guò)程中忽略了某些細(xì)節(jié)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)差異?

2 解答方法及其分析

2.1 運(yùn)用基于對(duì)稱性的加速度矢量合成法

圖2

圖3

2.2 運(yùn)用求導(dǎo)法求解P點(diǎn)的切向加速度

2.3 連桿運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后P點(diǎn)繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度求解

考慮到問(wèn)題是求解經(jīng)過(guò)非常短的時(shí)間后P點(diǎn)的加速度,不妨考慮當(dāng)經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后P點(diǎn)速度的表達(dá)形式,故畫出連桿OPQ經(jīng)Δt(Δt趨于0)轉(zhuǎn)動(dòng)到OP′Q′的示意圖(圖4)。

圖4

點(diǎn)評(píng)：由于該題只考慮運(yùn)動(dòng)開始后很短的一段時(shí)間內(nèi)P的加速度,因此根據(jù)幾何近似關(guān)系,可充分利用OP桿與PQ桿夾角不變這一幾何特征,求解P點(diǎn)的速度關(guān)系式,進(jìn)而對(duì)該關(guān)系式中的變量α′在零時(shí)刻的取值求時(shí)間的導(dǎo)數(shù),獲取加速度的定量關(guān)系。雖然該方法略為繁瑣,且需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)能力,但是更具有普適性。一旦問(wèn)題中不再具有對(duì)稱性,顯然就難以運(yùn)用2.1中的解法,但是運(yùn)用導(dǎo)數(shù),依舊可以實(shí)現(xiàn)對(duì)連桿端點(diǎn)加速度的定量分析。

3 對(duì)三連桿端點(diǎn)加速度的求解

利用求導(dǎo)法不僅可以定量分析兩連桿端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度,對(duì)于存在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的三連桿問(wèn)題也能夠探討其端點(diǎn)的加速度關(guān)系。

例：圖5所示為用剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)。AB和CD可分別繞過(guò)A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上,BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連,在B、C處均有一鉸鏈。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)到圖5所示位置時(shí),AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成角45°,已知AB桿的長(zhǎng)度為l,BC桿和CD桿的長(zhǎng)度由圖5給定,求此時(shí)C點(diǎn)的加速度(用與CD桿之間的夾角表示)。

圖5

解析：B、C為動(dòng)點(diǎn),在圖5所示時(shí)刻,B點(diǎn)的速度、C的速度及B相對(duì)于C的速度分別為：vB=lω,vC=lωcos 45°,vBC=lωsin 45°。

圖6

點(diǎn)評(píng)：利用求導(dǎo)法解決連桿加速度問(wèn)題,其關(guān)鍵在于確定連桿運(yùn)動(dòng)的幾何特征,能夠在連桿運(yùn)動(dòng)較短時(shí)間的過(guò)程中確定角度變化的關(guān)系,并能夠運(yùn)用速度投影法確定不同端點(diǎn)之間速度的關(guān)系,從而根據(jù)已知的速度推導(dǎo)未知速度的表達(dá)式,對(duì)速度表達(dá)式求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)端點(diǎn)切向加速度的求解。

4 結(jié)語(yǔ)

連桿端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度的計(jì)算作為高中物理中的復(fù)雜問(wèn)題之一,一般都有多樣的解法,一些解法在數(shù)學(xué)運(yùn)算、物理建模上對(duì)學(xué)生有較高要求。筆者認(rèn)為,直觀形象的解法契合學(xué)生的認(rèn)知方式,運(yùn)用求導(dǎo)法解決物理問(wèn)題在數(shù)學(xué)上的要求雖然較高,但是在突出結(jié)論的直觀與形象、反映問(wèn)題的物理本質(zhì)方面顯然更具優(yōu)勢(shì)。如果能從最直觀的物理概念與模型出發(fā),展現(xiàn)問(wèn)題本身所包含的物理思想與內(nèi)涵,相信會(huì)對(duì)學(xué)生提高學(xué)習(xí)物理的興趣起到一定的促進(jìn)作用,會(huì)促進(jìn)學(xué)生拓寬解題視野、提升核心素養(yǎng)。