雙(G/G′，1/G)展開法求解（3+1）維mKdvZK 方程和（3+1）維YTSF 方程的新孤子解

楊 超，孫峪懷，韓夢娜

（四川師范大學 數學科學學院，四川 成都 610066）

非線性演化方程（NLEEs）被廣泛應用于固體物理、相對論物理、光纖、化學物理、化學運動學、流體力學以及平面波傳播、河流流動等方面，促進了物理學、化學和材料科學的發展，非線性演化方程的研究越來越受到關注。因此，學者們提出了許多求解非線性演化方程的方法，如雅各比橢圓函數展開法［1］、輔助方程法［2］、改進F展開法［3］、Hirota 雙線性［4］、廣義Kudryashov 法［5］、exp 函數法［6］、tanh 函數法［7］和改進的(G/G′)展開法［8］、一次積分法［9］、改進Khater 法［10］和擴展直接代數法［11］等。許多學者都傾向于使用雙(G/G′，1/G)擴展法，這種方法比之前的技術更加高效可靠。例如Chowdhury 等［12］研究納米離子電流方程和孤子方程，得到三角函數解和雙曲函數解，Iqbal 等［13］給出修正Zakharov-Kuznetsov 方程和Gerdjikov-Ivanov 方程的t型、Kink 型、鐘型、奇異解以及完整行波解的周期奇異解。Khatun 等［14］給出修正Camassa-Holm（MCH）方程的雙曲函數、三角函數和有理函數，以及廣義（3+1）維時空（gCH-KP）方程表示的孤波解。此外定義了以下（3+1）修正Korteweg-de vries-Zakharov-Kuznestsov 方程［15］

其中，U(x，y，t)是該方程的因變量，t是時間變量，x，y，z是空間變量，系數b非零。Tasbozan 等［16］用直接代數方法求解方程（1），Yaslan 等［17］確定解以及幾種不同類型的mKdVZKE 解，Arslan 等［18］統一了解析方法求解不同分數參數的孤子解。

對于（3+1）維Yu-Toda-Sassa-Fukuymama（YTSFE）方程［19］

其中，U(x，y，t)是該方程的因變量，t是時間變量，x，y，z是空間變量。

Cevikel 等［19］使用擴展tanh-coth 法、sine-cosine 方法和(G/G′)展開法求解方程（2）的周期解和周期奇異解。本文用雙(G/G′，1/G)展開法討論λ不同取值范圍時（3+1）維mKdvZK 方程和（3+1）維YTSF 方程從而獲得其新形式的精確解。

1 雙(G/G′，1/G)展開法求解過程

考慮以下非線性演化方程（NLEEs）

步驟1行波變換

將式（4）代入式（3），得到常微分方程

步驟2假設方程（5）的精確解具有如下形式：

且?，ψ滿足等式

其中μ，λ是待求常數。

以下分類討論基于上述G(ξ)常微分方程的通解。

對于λ＜0，

對于λ=0，

其中A1、A2為任意常數。

步驟3將式（6）代入方程（5），合并與?和ψ相關的同類項，使其系數均為零，得到一系列關于未知參數的方程組，然后根據關于G(ξ)的常微分方程的通解，將未知參數代入式（6）中的方程，從而得到非線性演化方程的精確解。

2 求解（3+1）維mKdvZK 方程

對方程（1）進行行波變換

由此得到

對式（16）進行一次積分，可以得到

通過平衡式（17）中的最高階線性項和最高階非線性項，得到n=1，可以假設方程（1）有如下形式的解：

情況1對于λ＜0，

將方程（1）的結果代入式（18），根據式（9）和式（10）得出以下精確解：

其中ξ=my+nz，b=b。

其中ξ=my+nz+kt，b=b。

其中ξ=my+nz，b=b。

情況2對于λ＞0，

將方程（1）的結果代入式（18），根據式（11）和式（12）得出以下精確解：

其中ξ=my+nz，b=b。

其中ξ=my+nz+kt，b=b。

情況3對于λ=0，

將方程（1）的結果代入式（18），根據式（13）和式（14）得出以下精確解：

其中ξ=my+nz，b=b。

當參數A1，A2，μ，l，m，n，λ，a0，a1，b1取特殊值時，u4，u7的三維圖和二維圖如圖1 和圖2 所示。

圖1 u4 三維圖和二維圖Fig.1 3D and 2D drawings of u4

圖2 u7 三維圖和二維圖Fig.2 3D and 2D drawings of u7

3 求解（3+1）維YTSF 方程

對方程（2）進行行波變換

由此得出

平衡式（17）中的最高階線性項和最高階非線性項，得出m=1，則認為方程（2）有如下形式的解：

情況1對于λ＜0，

將方程（2）的結果代入式（29），根據式（9）和式（10）得出以下行波解：

其中ξ=x+y+z-ct。

其中ξ=x+y+z-ct。

情況2對于λ＞0，

將方程（2）的結果代入式（29），根據式（11）和式（12）得出以下行波解：

其中ξ=x+y+z-ct。

情況3對于λ=0，

將方程（2）的結果代入式（29），根據式（13）和式（14）得出以下行波解：

當參數A1，A2，μ，y，z，c，λ，a0，a1，b1取特殊值時，u1，u7的三維圖和二維圖如圖3 和圖4 所示。

圖3 u1 三維圖和二維圖Fig.3 3D and 2D drawings of u1

圖4 u7 三維圖和二維圖Fig.4 3D and 2D drawings of u7

4 結論

本文通過行波變換和代入變換將（3+1）維mKdvZK 和（3+1）維YTSFE 轉化為常微分方程，然后利用雙(G/G′，1/G)展開法得到兩個方程的新精確解。對于mKdvZK，其中u1、u4與文獻［15］中式（4.29）相似，u5與文獻［18］中式（4.32）相同，同時u1、u2、u3、u6、u7、u8與已有的文獻不同。對于YTSFE，其中u1、u2、u3與文獻［19］中式（5.28）、（5.29）相同，u6與文獻［19］中式（5.30）相似，同時u4、u5、u7與現有的文獻不同。該方法適用于求解非線性演化方程，能夠提供了大量新的精確解，在實際應用中具有重要意義。