參數依賴延遲的Gray-Scott 模型穩定性和分支分析

肖 越，馬淑芳

（東北林業大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150040）

Gray-Scott 模型［1-2］是一種重要的反應擴散系統，起源于模擬自催化化學反應，其化學反應過程為

其中U，V為兩種化學物質，V作為催化劑對自身生產起催化作用，P為一種惰性產物，不參與反應過程。該反應過程的無量綱反應擴散方程形式為

其中u(x，t)，v(x，t)分別表示在x點處t≥0 時抑制劑與催化劑的濃度，a表示入流率，a+b表示催化劑V的移出率，Du和Dv分別表示化學物質U，V的擴散系數。

迄今，已有許多文章從不同的角度對系統（1）進行了研究［3-12］。2009 年，Kyrychko 等［11］對系統（1）施加了延遲反饋控制項

其中f(u，v)=-uv2+a(1-u)，g(u，v)=uv2-(a+b)v，K為反饋強度，A為2×2 的控制矩陣。研究控制矩陣A取(?是相位)等情況時，延遲反饋控制對系統（2）的時空斑圖的影響。在每種情況下，在控制強度和時滯的參數空間中找到了穩定邊界。在時空混沌的情況下，施加的控制既可以穩定均勻穩態，也可以導致平凡穩態和傳播行波之間的雙穩態。

此外，為了獲得關于系統（1）的動力學的信息，研究者也對常微分系統進行了討論。

系統（3）是系統（1）中Du=Dv=0 的情形。文獻［12］研究了系統（3）對應的三次多項式系統在龐加萊盤中的相位圖。相位圖和相應的分岔圖顯示了這類系統的豐富性和復雜的動力學。

基于上述討論，本文將研究如下形式的一類具有延遲反饋項Gray-Scott 模型：

其中，p＞0，τ＞0 表示延遲；K是常數，Ke-pτ表示延遲反饋強度。受過去歷史記憶消退效應的啟發，延遲反饋強度隨著延遲τ的增加而衰減，當延遲τ趨于無窮時，反饋就消失。對于依賴于延遲的反饋控制研究也已取得了很多成果［13-16］。通過研究成果可以看出，參數對延遲τ的依賴性使得系統的動力學性質變的更加復雜。本文選擇延遲τ和衰減率p作為分岔參數，將分析系統（4）產生Hopf 分岔和穩定轉換的條件。

1 正平衡點的穩定性和Hopf 分支的存在性

經過計算，系統（4）存在三個平衡點，分別為

在平衡點E1處將系統（4）線性化，得

系統（4）的特征方程為

令λ=iω，分離實虛部，得到

令θ=ωτ，由于τ∈[0，+∞)，從而θ∈[0，+∞)。由式（7）可推得

化簡得

解得

顯 然，若K＜0，＞max(a，b)，有sinθ＞0，ω+＞0；若K＞0，＞max(a，b)，有sinθ＜0，ω-＞0。本文僅考慮K＜0，＞max(a，b)情況（K＞0，＞max(a，b)討論方法類似）。

根據式（7），有

進一步，有

令θ=θ0+2nπ，n=0，1，2…，由于sinθ＞0，那么θ0∈(0，π)。

當τ=0 時，方程（5）變為

討論τ＞0 的情況。由于θ滿足式（12），且減小p的值或增大τ的值會導致θ的個數持續增加，這種變化同時也會引起Hopf 分支。由式（12）中p=p+的幾何圖，可以直觀看到Hopf 分支的出現頻率，如圖1 所示，其中n=0，1，2，3 的情況分別由藍色、橙色、黃色、紫色線條表示。根據圖1 可得以下結論：

圖1 式（12）確定的參數p 關于θ0 的值Fig.1 The values of parameter p versus θ0 determined by equation（12）

（1）若p＞，特征方程（5）不存在純虛根，此時不產生Hopf 分支，系統（4）對所有的τ＞0 都是穩定的；

（3）若p=，特征方程（5）存在（2n+1）個純虛根，這表明隨著時延遲的改變系統（4）會發生（2n+1）次Hopf 分支。

對每個n，都能通過計算最大值。由式（12），有

而由式（9），有

結合式（13）與式（14），有

其中

討論系統（4）的穩定性轉換和Hopf 分支。對于給定的τ，假設方程（5）存在一組共軛根λ=α(τ)±iω(τ)。為了簡單起見，定義τc=τn，ωc=ωn(n=0，1，2…)，此時有α(τc)=0 以及ω(τc)=ωc，對方程（5）關于τ求導，有

將式（11）代入式（16），化簡得

同時，由于

結合之前的研究，可知系統（4）在τ=0 時是穩定的。當τ繼續增大時，情況保持不變，直到對應一對實部為零的特征根的第一個臨界值τ0的出現，此時系統開始由穩定變為不穩定狀態，并在τ0處產生Hopf 分支；當τ繼續增大到第二個臨界值τ1時，系統由不穩定再次變為穩定狀態。因此在(τ，p)平面內形成了一個穩定域，如圖2 所示，陰影部分即為穩定域，并且在這個區域的邊界上會產生Hopf 分支。

圖2 當a=0.1，b=0.02，K=-0.5 時，系統（4）在(τ，p)平面上的Hopf 分支曲線Fig.2 Hopf bifurcation curves of system（4）in the (τ，p) plane for a=0.1，b=0.02，K=-0.5

2 數值模擬

令a=0.1，b=0.02，K=-0.5，p=0.1，此時平衡點E1=(u1，v1)=(0.174，0.688)。計算可知滿足假設條件sinθ＞0，＞max(a，b)。基于前文研究，當τ=1 時，E1是穩定的，如圖3 所示；當τ=2.514時，產生周期解，如圖4 所示。此外，隨著τ的繼續增大，解將趨于常值平衡點E0。另外，根據文獻［11］可知在遠離圖靈和Hopf 區域的參數范圍內，系統總是以E0或E1結束。在圖5 給出了τ=3 時，系統在E0處結束。

圖3 當τ=1 時，系統（4）的時間序列曲線Fig.3 Time series curves of system（4）when τ=1

圖4 當τ=2.514 時，系統（4）的時間序列曲線Fig.4 Time series curves of system（4）when τ=2.514

圖5 當τ=3 時，系統（4）的時間序列曲線Fig.5 Time series curves of system（4）when τ=3

3 小結

本文研究了一類具有延遲反饋控制的Gray-Scott 模型，其中反饋控制強度為Ke-pτ。這種參數依賴于延遲的反饋控制，使得系統的穩定性以及分支分析變得更加復雜。研究給出了確定平衡點穩定條件的幾何方法和解析方法，并討論了該模型的Hopf 分支。主要結果如下：

（1）除時滯τ外，系統（4）的Hopf 分支強烈依賴于參數p，虛特征根的橫截條件由參數p(θ)變化決定；

（2）在(τ，p)平面上作出了系統（4）的Hopf 分支曲線，并且標記出了穩定域（圖2）；

（3）本文通過數值模擬的方法驗證了當τ持續增大時，系統（4）會由穩定狀態轉為不穩定狀態。