磁電彈性材料中圓弧形裂紋的反平面斷裂問題

劉欣宇，劉官廳，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

近年來，隨著現代高新技術領域的迅猛發展，磁電彈性材料等相關復合材料的力學、電學和磁學耦合問題的斷裂力學的課題研究引起了廣大學者的關注，尤其在電子技術、超聲技術、傳感技術以及其它先進智能結構中得到了廣泛的應用［1-4］。磁電彈性復合材料是一種新型的多功能復合材料，不僅可以實現磁能、電能和機械能之間的相互轉換，還具有優異的力、電、磁及光學性能［5］。然而，在材料上施加電場或磁場會使材料產生變形，電磁器件在使用過程中受到機械、電/磁載荷的作用而導致的應力集中會促使裂紋的產生和擴展，最終將導致部件失效［6］。因此，國內外許多學者在電磁材料斷裂特性及強度性能等方面進行分析和研究。

Gao 等［7-8］基于Eshelby-Stroh 公式得到橢圓孔的通解，并分析了無限大電磁材料中單個裂紋和共線裂紋問題，得到了應力強度因子和電磁場的顯式解。Chen［9］考慮了熱磁電彈材料動態斷裂的能量釋放率和與路徑無關的積分問題。Guo 等［10］在電、磁不滲透情況下，研究了磁電彈性固體中圓孔產生的多裂紋的反平面問題。Rogowski［11］考慮了電磁彈性耦合介質中橢圓孔邊含有兩個不對稱裂紋的反平面問題，結合復變法與保角映射法，求得了場強因子和能量釋放率的解。王瑋華［12］分析了電磁彈體中正三角形孔邊裂紋和橢圓孔邊四條不等長裂紋的問題，求解出了場強度因子、能量釋放率的解析表達式。劉鑫等［13］利用保角變換技術，研究了磁電彈性材料中的唇形裂紋的反平面問題。郭懷民等［14］提出利用復變函數方法解決了磁電彈性體中的唇形運動裂紋問題。劉鑫［15］引入施瓦茲保角映射，利用復變函數法和疊加原理，研究了電磁彈體中螺形位錯與斜裂紋相互作用。Hu 等［16］研究了在反平面剪切載荷和面內磁電載荷共同作用下的電磁彈體與正交各向異性半空間的界面裂紋問題。楊東升等［17-18］借助Gurtin-Murdoch 表面理論和保角變換技術，研究了磁電彈性材料中含有帶四條納米裂紋的正4n形納米孔的反平面斷裂問題，并利用Cauchy 積分公式，針對磁電彈性壓電材料中橢圓帶四條裂紋的反平面問題進行了研究。

劉又文等［19］首次將不同彈性材料界面共圓弧裂紋版平面問題化為解析函數邊值問題，進而獲得了一般解及幾種典型情況下的應力強度因子；隨后基于復變函數的解析延拓技術與奇性主部分析法，針對反平面集中力作用下的不同彈性材料的圓形界面上多條裂紋的問題進行了研究［20］。Wang 等［21］研究了圓形壓電夾雜與無界壓電基體之間的導電電弧裂紋問題，采用解析延拓的方法，將邊值問題化為標準Riemann-Hilbert問題，結果發現裂尖的應力、應變、電位移和電場均具有振蕩奇點。曾蕓蕓［22］構造了圓弧形裂紋的保角映射函數。申大維等［23］提出求解圓弧裂紋問題的新方法，無限大平面彈性體的某一圓周上分布若干條圓弧裂紋，不論無窮遠處是否受載荷作用，都可化成求解一個復勢函數邊值條件的線性關系問題。基于此法，求得了無窮遠處受雙軸拉伸時圓弧裂紋問題的精確解，進而獲得應力強度因子和位移場以及圓弧裂紋面上的位移。皮建東等［24］對一維六方準晶中的圓弧裂紋以及拋物線裂紋的反平面剪切問題進行了研究。鄭明明等［25］針對含有兩個圓弧裂紋電致伸縮材料的平面問題，應用復變函數方法，獲得了在電場作用下復勢函數的解析解和應力強度因子的精確解。但是，對磁電彈性材料中含有的穿透型圓弧裂紋缺陷，在磁電全非滲透及全滲透邊界條件下的反平面問題，目前尚未見報道。本文研究磁電彈性體中圓弧形裂紋在無窮遠處受到沿磁電極化方向的磁/電載荷和反平面機械載荷的共同作用下的反平面問題，借助保角映射技術和復變函數方法，得到了應力場及位移場的精確解析解，以及在磁電全非滲透及全滲透邊界條件下，裂紋尖端場強度因子和能量釋放率的解析解。

1 磁電彈性材料反平面問題的基本方程

關于x3軸對稱的二維橫觀各向同性磁電彈性材料，取x3軸為磁電極化方向，選垂直于x3軸的x1ox2平面為各向同性面，在遠場加載條件下，二維反平面問題中的反平面的位移u(x1，x2)、面內電勢φ(x1，x2)和磁勢ψ(x1，x2)相互耦合，簡化后的本構方程為

其中k=1、2，所有場分量均只是坐標x1和x2的函數。

磁-電-彈三場平衡方程為

應變-位移關系為

磁-電梯度方程為

其中，重復下標表示求和，下標中的逗號表示對相應坐標求偏導；σij、Di、Bi分別表示應力、電位移和磁感應強度；u、φ、ψ分別表示位移、電勢和磁勢；cijkl、κik和μik分別表示彈性剛度、介電常數和磁通率張量；ekij、qkij和dik分別表示壓電、壓磁和磁電耦合常數；fi、fe和fm分別表示單位體積體力、體電荷密度和體電流。

若不考慮體力、體電荷密度和體電流的作用，即fi=0，fe=0 和fm=0，則

因為矩陣A是非奇異的，所以式（3）等價于

2 磁電全非滲透情況

2.1 問題描述及求解

假設無限大橫觀各向同性磁電彈性介質中包含一穿透型圓弧形裂紋缺陷（圖1），取圓弧裂紋兩端點連線為x1軸，x2軸穿過裂紋中點，設圓弧所在圓的圓心在ic處，圓弧所對應的弦長為2a，弓高為h。

圖1 磁電彈性材料中含有穿透型圓弧形裂紋Fig.1 Magnetoelectroelastic material with a penetrating circular arc crack

考慮無限大橫觀各向同性磁電彈性介質中含有圓弧形裂紋的反平面問題。在無窮遠處受到沿磁電極化方向的磁、電、彈作用。由線彈性理論，可轉化為在無窮遠不受作用，而僅在圓弧形裂紋的表面上受到沿極化方向的磁、電、彈作用，其邊界條件為

根據復變方法，調和方程（7）的解u3k、φ、ψ可表示為任意三個解析函數f1(z)、f2(z)、f3(z)的實部，令

并且z=x1+ix2，Re 表示復變函數的實部，且對任一復函數有

因為fk(z) (k=1，2，3)為解析函數，故有

引入保角映射

則解析函數fk(z) (k=1，2，3)可變換為

經過保角映射，記

根據式（7）、（9）-（15）有

位移和應力均可以由fk(z) (k=1，2，3)表示，當在一定的邊界條件下求得fk(z) (k=1，2，3)時，即可確定問題的位移場以及應力場。

為了求解上述邊值問題，引入保角映射［22］

其中

且|ζ1|＜1，|ζ2|＜1。

該映射將物理平面（z平面）上圓弧形裂紋外部區域Ω 近似地映射到數學平面（ζ平面）上的單位圓γ內部，由點的對應關系可得

將單位圓周γ上的點ζ=σ=eiθ代入式（16），其中ζ為圓內任意一點，并對式（16）等式兩邊分別乘以后沿單位圓γ積分，結合邊界條件（8）得

其中

由于Ψ′k(ζ) (ζ-ζ2)2(k=1，2，3)在單位圓γ內解析，所以有

對保角映射（17）求導得

的邊值，因此由Cauchy 積分公式，對于一切|ζ|＜1，有

將式（22）-（27）代入式（20）得到

對式（28）聯立求解得到

令方程組（29）中ζ=0，可得

將式（31）代入式（29）的Ψ′k(ζ) (k=1，2，3)中，得

2.2 裂尖處的場強度因子

在式（32）中，令

在裂紋尖端處Ⅲ型場強度因子可定義為

其中ζ′為與裂紋尖端對應的點。由式（23），（33）及（34）可分別求得在裂紋端點z=a和z=-a處的場強度因子。

在z=a處，

在z=-a處，

2.3 討論

當a保持不變，而h→0 時，圓弧形裂紋退化為Griffith 裂紋，且在z=a處的場強度因子為

在z=-a處的場強度因子為

以上所得結果與文獻［2］的結果一致。

2.4 能量釋放率

對于磁電全非滲透型裂紋，其能量釋放率公式為［10］

將式（35）和（36）分別代入式（39）中，得到用場強度因子表示的能量釋放率。

在z=a處，

在z=-a處，

其中

以上在磁電全非滲透邊界條件下的結果與文獻［13］結果一致。

3 磁電全滲透情況

對于磁電全滲透邊界條件可表示為［25］

由此，得到磁電全滲透邊界下場強因子的解析表達式，在z=a處，

在z=-a處，

將式（45）和（46）代入式（39），當z=a時

當z=-a時

以上在磁電全滲透邊界條件下的結果與文獻［13］結果一致。

4 數值算例與討論

為了討論圓弧形裂紋的幾何參數對場強度因子的影響，以及磁電全非滲透及磁電全滲透邊界條件下幾何參數、力、電和磁載荷對能量釋放率的影響，本文考慮一種特殊磁電彈性復合材料BaTiO3-CoFe2O4，以壓電材料BaTiO3為夾雜，以壓磁材料CoFe2O4為基底混合而成。磁電彈性復合材料BaTiO3-CoFe2O4相關的材料常數選取見表1。

表1 磁電彈性復合材料BaTiO3-CoFe2O4 材料常數Tab.1 Material parameters of magnetoelectroelastic BaTiO3-CoFe2O4 composite

能量釋放率的臨界值Gcr=5.0 N/m，設=3 Mpa；=0.01 C/m2；=0.001N/Am。

在z=a處，無量綱場強因子K*隨圓弧形裂紋半弦長與弓高比值a/h的變化曲線如圖2 所示。由圖2可知，隨著半弦長與弓高比值a/h的不斷增大，場強度因子呈現增大的趨勢，并且數值增大的速度由快至慢逐漸放緩。當a/h無限增大下去時，即a保持不變，h→0 時，圓弧形裂紋退化為Griffith 裂紋，此時場強因子將會呈現最大值。

圖2 無量綱K* 隨a/h 的變化Fig.2 Variation of dimensionless K* with a/h

在z=a處，能量釋放率G/Gcr隨磁電全非滲透及磁電全滲透邊界條件下遠場機械載荷τ∞32的變化關系如圖3 所示。從圖3 可以看出，在磁電全滲透邊界條件下，當機械載荷τ∞32的絕對值增加時，能量釋放率會隨之增大，這表明機械載荷的增加會促進裂紋的擴展；在磁電非全滲透邊界條件下，當機械載荷τ∞32的絕對值增加時，能量釋放率呈現先減小后增大的趨勢，這表明隨著機械載荷的不斷增加最終還是會對裂紋的擴展起促進作用。

圖3 G/Gcr 隨 的變化Fig.3 Variations of G/Gcr with

在z=a處，能量釋放率G/Gcr隨磁電全非滲透及磁電全滲透邊界條件下電載荷及磁載荷的變化關系如圖4 和圖5 所示。在磁電全滲透邊界條件下，能量釋放率是一個恒定的值，即電載荷及磁載荷的變化對能量釋放率沒有影響；在磁電全非滲透邊界條件下，磁載荷對能量釋放率的影響和電場相類似，正負磁/電場可以使能量釋放率減小或增大，即磁/電載荷既可以抑制又可以促進裂紋擴展。這表明負磁場或正負電場都會抑制裂紋的擴展，然而正磁場會促進或阻礙裂紋的擴展，具體情形主要與所施加的機械載荷以及磁場或電場強度的組合有關。

圖4 G/Gcr 隨的變化Fig.4 Variations of G/Gcr with

圖5 G/Gcr 隨的變化Fig.5 Variations of G/Gcr with

5 結論

本文建立了磁電彈性體中含有的穿透型圓弧形裂紋在無窮遠處受到沿磁電極化方向的磁/電載荷和反平面機械載荷的共同作用下的斷裂力學模型。通過充分利用保角映射技術和廣義復變函數理論得到了該問題的應力場及位移場的精確解析解，并同時獲得了在磁電全非滲透及磁電全滲透邊界條件下，分別在圓弧裂紋的z=a處以及z=-a處的裂紋尖端場強度因子和能量釋放率的解析解。基于解析解并利用數值算例，分析了構型斷裂失效的影響因素并進一步得到許多有用的結論，這些結論可以在工程實踐中提高電磁器件性能以及評估其工作壽命提供理論基礎與指導意義。

（1）隨著圓弧形裂紋半弦長與弓高比值a/h的增加，會引起裂尖處的場強度因子的增大，并且其增大的速度由快至慢逐漸放緩。另外，當a/h無限增大，即a保持不變，h→0 時，圓弧形裂紋退化為Griffith 裂紋，此時場強因子將會呈現最大值。

（2）在磁電全非滲透及磁電全滲透邊界條件下，機械載荷對能量釋放率的影響相類似，即隨著機械載荷的不斷增加，最終還是會促進裂紋的擴展。

（3）在磁電全滲透邊界條件下，能量釋放率是恒定值，即電載荷及磁載荷的變化對裂紋擴展不產生影響，但與材料常數和機械載荷的大小水平有關；在磁電全非滲透邊界條件下，正（負）磁電載荷的增加會阻礙裂紋的擴展。