廣義五階非線性薛定諤方程的怪波與呼吸子的復合波解

董浩楠，扎其勞，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

廣義五階非線性薛定諤方程是描述一維海森堡鐵磁自旋鏈的模型。近年來有較多關于廣義五階非線性薛定諤方程的研究成果，包括對廣義五階非線性薛定諤方程的一類精確解［1］、N-孤子解［2］、N-暗孤子解［3］、高階怪波解［4］和周期怪波解［5］等。

關于復合波的相互作用解有一定的研究基礎，文獻［6］通過使用修正的達布變換討論了怪波與呼吸子相互作用解的動力學行為；文獻［7］討論了具有兩個高階離散算子的廣義非線性薛定諤系統的怪波與呼吸子的相互作用。本文進一步嘗試構造廣義五階非線性薛定諤系統的怪波與呼吸子的復合波解。

1 廣義五階非線性薛定諤方程

對于廣義五階非線性薛定諤方程［8］

其中

方程（1）的Lax 對為

其中

其中λ是復特征值。方程（1）的經典達布變換是特殊的規范變換

通過式（3），方程（2）可以得到新的Lax 對

其中U[1]，V[1]與U，V在方程（3）中有相同的形式。矩陣中的q和s被q[1]和s[1]替換。U[1]，V[1]滿足

這里T[1]=λI-S[1]，其中

Φ1[0]=(φ11[0]，φ21[0])T是方程（3）在q=q[0]和λ=λ1的特殊解。也是方程（3）在q=q[0]和λ=的特解。根據式（6），可以得到方程（1）的一重達布變換

當λ=λk(k=1，2，…，N)，Φk=(φ1k，φ2k)T是方程（3）的基礎解。N重達布變換通過一重達布變換迭代得到。關于方程（1）的N重達布變換為

這里Φi=(φ1i，φ2i)T(i=1，2，3，…，N) 是方程（3）在λ=λi時的基礎解。此處，初值解是Φ1[0]=(φ1i[0]，φ2i[0])T=(φ1i，φ2i)T=Φ1。

2 廣義五階非線性薛定諤方程的復合波解

（1）當λ=λj=ihj，得到方程（2）的如下解：

其中

（2）當λ=λr=i，得到方程（2）如下的解：

這里ε是小參數，且sk=mk+nki。令h=1+f2，在f=0(λ=λr=i) 對Φj(λj) 進行級數展開，得

其中，

其中c1，c2，m1，m2是自由參數，也是方程（2）在λ=的解。應用解（12）可以得到怪波解。

利用達布變換，將解（10）和解（12）進行組合，可以得到方程（1）的復合波解。

情形1假設

其中

通過一重達布變換可以得到方程（1）的一階怪波解

情形2假設

通過二重達布變換可以得到方程（1）的二階怪波解

通過得到的二階怪波解，二重達布變換修正為

這里(φ11，φ21)T通過等式（12）(j=1)得到。

情形3假設

在此基礎上，通過二重達布變換可以得到方程（1）的一階怪波與一階呼吸子的復合波解

情形4通過修正的二重達布變換，將三重達布變換修正為

在此基礎上，通過修正的三重達布變換可以得到方程（1）的二階怪波與一階呼吸子的復合波解

情形5通過修正的三重達布變換

可以得到方程（1）的一階怪波與二階呼吸子的復合波解

3 結論

廣義五階非線性薛定諤方程可以描述五階、四階和三階色散算子光脈沖在非均勻光纖中的傳播。本文選擇廣義五階非線性薛定諤方程Lax 對的兩種特解，應用達布變換給出了該方程的復合解，并詳細討論了怪波和呼吸子之間的相互作用。此外，通過圖1-3 展示不同的參數對復合波解的影響。本文的方法具有一定普遍性，可以應用到其它非線性可積系統的求解。

圖1 式（23）在γ=δ=α=0.01，λr=i，c1=-5，c2=-5 的一階怪波與一階呼吸子的復合波解Fig.1 Hybrid first-order rogue wave and first-order breather with γ=δ=α=0.01，λr=i，c1=-5，c2=-5 of equation（23）

圖2 式（25）在γ=δ=α=0.01，λr=i，c1=c2=-5，m1=20，n1=0 的二階怪波與一階呼吸子的復合波解Fig.2 Hybrid second-order rogue wave and first-order breather with γ=δ=α=0.01，λr=i，c1=c2=-5，m1=20，n1=0 of equation（25）

圖3 式（27）在γ=δ=α=0.01，λr=i，h1=0.5 的一階怪波與二階呼吸子的復合波解Fig.3 Hybrid first-order rogue wave and second-order breather with γ=δ=α=0.01， λr=i，h1=0.5 of equation（27）

本文通過修正的達布變換方法得到了廣義五階非線性薛定諤系統怪波與呼吸子的復合波解。主要得到解的類型如下：一階怪波與一階呼吸子的復合波解、一階怪波與二階呼吸子的復合波解、二階怪波與二階呼吸子的復合波解。此外，本文還討論了參數對復合波解不同的影響。研究結果表明怪波和呼吸子可以獨立存在于復合波解中。