例談選函數圖像常用的方法

■北京市第十九中學 公衍錄(特級教師)

選擇符合題意的函數圖像一直是高考考查的熱點問題之一，下面結合實例介紹選函數圖像常用的幾種方法，供同學們參考。

一、根據函數表達式選擇函數圖像

先根據題意和物理規律，推導出圖像縱、橫坐標軸代表的物理量滿足的關系式——函數表達式，再依據“函數表達式與函數圖像相對應”選出符合題意的圖像。例如，若函數表達式形如y=kx+b，則對應的函數圖像為直線;若函數表達式形如y=ax2+bx+c(a≠0)，則對應的函數圖像為拋物線。

例1在t=0時刻，將一物體(可視為質點)豎直向上拋出，忽略空氣阻力。以拋出點為坐標原點、豎直向上為正方向，如圖1所示的四個選項中能正確反映該物體的動量p隨時間t變化、動能Ek隨位移x變化的圖像是( )。

圖1

解析:設物體的初速度為v0，則t時刻物體的速度v=v0-gt，動量p=mv，解得p=mv0-mgt，因此物體的動量p與時間t是一次函數關系，對應的函數圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項A 正確，B 錯誤。根據速度與位移的關系式，動能，解得，因此物體的動能Ek與位移x是一次函數關系，對應的函數圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項C、D 錯誤。

答案:A

例2滑沙是人們喜愛的一項游樂活動。如圖2所示為滑沙場地的一段，人和滑車從斜面頂端A點由靜止下滑，斜面的傾角為θ，取沿斜面向下為正方向，如圖3 所示的四個選項分別是人和滑車沿斜面向下運動過程中的加速度a與時間t、速度v與位移x、重力的瞬時功率P重與時間t、動能Ek與位移x的關系圖像，其中正確的是( )。

圖2

圖3

解析:選由人和滑車組成的整體為研究對象，在整體沿斜面下滑的過程中，根據牛頓第二定律得mgsinθ-f=ma，解得，因此a-t圖像是一條平行于t軸的直線，選項A 錯誤。根據速度與位移的關系式v2=2ax，解得，因此v-x圖像是一條過原點且開口向右的拋物線的一部分，選項B 錯誤。整體在t時刻的瞬時速度v=at，重力的瞬時功率P重=mgvsinθ，解得P重=mgasinθ·t，因此P重-t圖像是一條過原點的傾斜直線，選項C 錯誤。在整體沿斜面下滑位移x的過程中，根據動能定理得Ek=(mgsinθ-μmgcosθ)x，因此Ek-x圖像是一條過原點的傾斜直線，選項D 正確。

答案:D

例3如圖4 所示，足夠長光滑斜面傾角為θ，在沿斜面向上的恒力F作用下，物體從斜面底端由靜止開始向上運動，當物體滑動到某一高度處時撤去恒力F。以地面為零勢能面，設物體的重力勢能為Ep，機械能為E，則在物體沿斜面向上運動的整個過程中，如圖5所示的Ep和E隨時間t變化的圖像正確的是( )。

圖4

圖5

圖6

解析:撤去恒力F前，設物體做勻加速運動的加速度大小為a1，末速度為v，位移為x1，根據運動學公式得F-mgsinθ=ma1，;撤去恒力F后，設物體做勻減速運動的加速度大小為a2，位移為x2，根據運動學公式得mgsinθ=ma2，。撤去恒力F前，t時刻物體的重力勢能，其中a1為定值，因此Ep-t圖像為過原點且開口向上的拋物線的一部分。撤去恒力F時，設物體沿斜面方向的位移為x0，撤去恒力F后，t時刻物體的重力勢能，其中a2、v均為定值，因此Ep-t圖像為開口向下的拋物線的一部分，選項A 正確，B 錯誤。根據除重力、彈力以外的其他力做功等于物體機械能的增加量可知，撤去恒力F前，物體的機械能，因此E-t圖像為過原點且開口向上的拋物線的一部分。撤去恒力F后，只有重力做功，物體的機械能保持不變，因此E-t圖像是一條平行于t軸的直線，選項C、D 錯誤。

答案:A

二、利用圖像斜率的情況選擇函數圖像

先分析圖像斜率表示的物理量，例如v-t圖像的斜率表示加速度，x-t圖像的斜率表示速度，再利用已知條件判斷該物理量是否變化及如何變化，從而選出相應的函數圖像。

例4“ETC”是不停車電子收費系統的簡稱。若某汽車以額定功率P額在平直高速公路上勻速行駛，為合理通過收費處，司機在t1時刻使汽車功率減半，并保持該功率行駛至t2時刻又做勻速運動;通過收費處后，司機逐漸增大汽車功率，使汽車做勻加速運動直到恢復原來的額定功率，以后保持該功率行駛。設汽車所受阻力大小不變，則在該過程中，汽車的速度v隨時間t變化的圖像可能正確的是( )。

解析:0～t1時間內，汽車以額定功率P額勻速行駛，汽車的牽引力等于阻力，則F=f，P額=Fv1，解得，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。t1時刻汽車功率減半，則，f-F1=ma，解得，即t1時刻汽車的牽引力F1減半，汽車做減速運動。t1～t2時間內，汽車的速度v減小，汽車保持減半的功率不變，根據，v減小，可知汽車的牽引力F增大，根據f-F=ma可知，汽車的加速度由逐漸減小，因此汽車做加速度逐漸減小的減速運動，即v-t圖像斜率的絕對值逐漸減小。t2～t3時間內，汽車做勻速運動，速度保持不變，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。t3～t4時間內，汽車先做勻加速運動，根據F-f=ma可知，汽車的牽引力F不變，根據汽車的實際功率P實=Fv，v增大，可知P實增大，當P實增大到P額時，保持P額不變，則汽車繼續做加速運動，根據P額=Fv，v增大，可知汽車的牽引力F減小，根據F-f=ma可知，汽車的加速度逐漸減小至0，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，因此v-t圖像的斜率先保持不變，再逐漸減小。當汽車的加速度減小為0時，汽車做勻速運動，速度達到最大值，且最大值等于v1，以后汽車以速度v1做勻速運動，因此v-t圖像是一條平行于t軸的直線。

答案:C

例5如圖7所示，均勻帶正電的金屬圓環豎直放置，A、B兩點是其軸線上關于圓心對稱的兩點。某時刻一個電子僅在靜電力作用下從A點沿軸線向右運動至B點，在此運動過程中，電子的v-t圖像可能是( )。

圖7

圖8

解析:均勻帶正電的金屬圓環圓心處場強為0，軸線上無窮遠處場強也為0，故在圓心與無窮遠之間軸線上某點的場強存在最大值。若A點在場強最大點左側，根據eE=ma可知，電子僅在靜電力作用下由A點沿軸線運動至B點的過程中，電子的加速度先增大，后減小到0，再反向增大，然后反向減小。根據v-t圖像的斜率表示加速度可知，圖像斜率先正的增大，后正的減小到0，再負的絕對值增大，然后負的絕對值減小，選項A正確。若A點在場強最大點右側，則電子僅在靜電力作用下由A點沿軸線運動至B點的過程中，電子的加速度先減小到0 再反向增大，因此v-t圖像的斜率先正的減小到0，后負的絕對值增大，選項B、C正確，D 錯誤。

答案:ABC

三、通過分析函數圖像特殊點的情況選擇函數圖像

先分析函數圖像上的某些特殊點，再根據這些特殊點的情況可選出符合題意的圖像。例如，選質點做簡諧運動時的圖像，如果能夠判斷出做簡諧運動的質點在t=0時刻的振動情況，那么就能選出該質點的振動圖像。

例6如圖9甲所示，一列簡諧橫波以速度v=1 m/s沿繩子由A點向B點傳播，質點A、B間的水平距離x=3 m。若t=0時刻，質點A正從平衡位置向上振動，其振動圖像如圖9乙所示，規定向上為正方向，則t=0時刻質點B的振動圖像是如圖10所示四個選項中的( )。

圖9

圖10

解析:根據圖9 乙可知，質點A做簡諧運動的周期T=4 s，則波長λ=vT=4 m，A、B兩質點間的水平距離。t=0時刻，質點A正從平衡位置向上振動，波由A點向B點(向右)傳播，因此可畫出如圖11 所示t=0 時刻的波形圖。t=0 時刻，x=3 m 處的質點B正好位于波峰，與圖10中選項D 的圖像相對應。

圖11

答案:D

四、通過定性或半定量分析選擇函數圖像

定性或半定量分析法是一種粗略地確定研究對象是否具有某種性質，或確定某一物理量變化范圍的研究方法。遇到不好找出函數表達式的選函數圖像問題，合理應用這種方法能避免陷入對細枝末節的過度分析。

例7如圖12所示，ACB是一段豎直放置的光滑圓弧軌道，A、B兩點等高，相距為0.62 m，距軌道最低點C的豎直高度為0.01 m。一小滑塊(可視為質點)從A點由靜止釋放并開始計時，其速率v隨時間t變化的圖像可能是如圖13所示四個選項中的( )。

圖12

圖13

解析:設圓弧軌道AC對應的圓心角為θ，圓弧軌道半徑為R，根據幾何關系得，其中h=0.01 m，x=0.62 m，解得R=4.81 m，則。因此圓弧軌道AC(或CB)對應的圓心角很小，小滑塊在圓弧軌道上的往復運動可視為簡諧運動(屬于單擺模型)，其周期，小滑塊從A點由靜止釋放后，在0～2.2 s(前半個周期)內，小滑塊的速率先增大后減小，在2.2 s～4.4 s(后半個周期)內，小滑塊的速率仍然是先增大后減小，與圖13中選項A 的圖像相對應。

答案:A

總之，求解選函數圖像問題，可以根據函數表達式與函數圖像相對應選擇，也可以根據函數圖像斜率表示的物理量，結合圖像斜率的變化選擇，還可以根據函數圖像特殊點的情況或利用定性與半定量分析法選擇。