帶電粒子在勻強電場中的動能最值問題分析

■華中科技大學附屬中學 許 文

帶電粒子在勻強電場中受到恒定的靜電力作用，在不同的初速度的情況下，粒子可能做直線運動，也可能做類拋體曲線運動。在一定區(qū)域內(nèi)，若粒子運動到某處時的動能最大(最小)，根據(jù)動能定理可知，粒子從開始運動到此處合力做的功最大(最小)。下面通過典型實例分析帶電粒子在勻強電場中圓周上的動能最值問題，供同學們參考。

一、問題推論

如圖1 所示，勻強電場中有一個圓周，電場方向平行于圓周平面。從圓周上某點A在圓周平面內(nèi)沿各個方向發(fā)射初動能相同的帶電粒子，其中過圓周上B點時粒子的動能最大。可以得出以下推論:

圖1

推論1:過B點作圓周的切線，過A點作此切線的垂線，則粒子受到恒定合力F的方向與此垂線平行。

推論2:過B點作圓的直徑與圓交于C點，則粒子經(jīng)過圓周上C點時的動能最小。

推論3:若粒子受到的合力等于靜電力，則過B、C點圓的切線即為勻強電場的等勢線。粒子在圓周上B點時的電勢能最小，在圓周上C點時的電勢能最大。

二、實例分析

根據(jù)粒子經(jīng)過圓周上動能最值點的圓的切線方向可判斷粒子受到的合力方向。若粒子受到的合力等于靜電力，則根據(jù)靜電力的方向與粒子的電性可判斷勻強電場的方向;根據(jù)電場方向可判斷圓周上各點電勢的分布情況。

1.粒子受到的合力等于靜電力。

例1如圖2所示，在光滑絕緣水平面上有一半徑為R的圓，AB是它的一條直徑，空間存在勻強電場，場強大小為E，方向與水平面平行。在圓周上A點有一發(fā)射器，以相同的初動能平行于水平面沿不同方向不斷發(fā)射很多帶電荷量均為+q的小球，不考慮小球間的相互作用，這些帶電小球會經(jīng)過圓周上不同的點，在這些點中，經(jīng)過C點的小球動能最大，且∠α=30°，下列說法中正確的是( )。

圖2

A.電場的方向垂直于直徑AB斜向上

B.電場的方向垂直于直徑AB斜向下

C.小球在A點垂直于電場方向發(fā)射，若能經(jīng)過C點，則其初動能為

D.小球在A點垂直于電場方向發(fā)射，若能經(jīng)過C點，則其初動能為

解析:帶電小球在光滑絕緣的水平面上運動，受到的合力等于靜電力。小球以相同的初動能從A點開始運動，經(jīng)過C點時動能最大，說明小球在圓周上C點時的電勢能最小;因為小球帶正電，所以圓周上C點為電勢最低處，電場線方向沿過C點的直徑方向且指向C點，選項A、B錯誤。如果小球在A點垂直于電場方向發(fā)射，則小球做類平拋運動，經(jīng)過時間t到達C點時有，解得，選項C 正確，D錯誤。

答案:C

點評：本題中帶電小球在與電場方向平行的光滑絕緣水平面上運動，小球受到的合力等于靜電力。只有靜電力做功時，小球的動能與電勢能之和為一定值。當小球的動能Ek最大（最小）時，電勢能Ep最小（最大）。

例2如圖3所示，勻強電場與圓心為O、半徑為R的圓面平行，∠aOb=60°。在圓周上a點有一粒子源，能以相同的速率向圓面內(nèi)各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，粒子的初動能為Ek。有些粒子會經(jīng)過圓周上不同的點。已知粒子經(jīng)過圓周上b點時的動能為3Ek，粒子經(jīng)過圓周時的最大動能為4Ek。不計粒子重力及粒子間的相互作用，下列說法中可能正確的是( )。

圖3

C.電場方向從a點指向b點

D.粒子在圓周上a點時的動能最小

解析:設勻強電場方向與ab連線成θ角，過O點作一條與電場方向平行的直線與圓交于c、d兩點，如圖4所示，則粒子經(jīng)過圓周上d點時的動能最大。粒子從a點運動到b點的過程中，根據(jù)動能定理得qERcosθ=3Ek-Ek;粒子從a點運動到d點的過程中，根據(jù)動能定理得。聯(lián)立以上二式解得sinθ=0 或。當sinθ=0，即θ=0°時，電場方向從a點指向b點，電場強度大小，選項A、C正確;當時，電場強度大小，選項B 正確;無論sinθ=0 或，a點均不是圓周上電勢最高的點，粒子在圓周上a點時的動能不是最小值，選項D 錯誤。

圖4

答案:ABC

點評：本題給出粒子的初動能及粒子到達圓周上另兩點的動能，根據(jù)動能定理可求出粒子從初始位置分別運動到圓周上這兩點過程中靜電力做的功；結(jié)合幾何知識可判斷靜電力的方向，根據(jù)粒子的電性可判斷電場的方向，根據(jù)電場方向可判斷圓周上電勢的最值點，進而可判斷粒子在圓周上電勢能與動能的最值點。

2.粒子受到的合力等于靜電力與重力的矢量和。

例3如圖5所示，AB、CD分別為豎直平面內(nèi)圓的水平與豎直直徑，范圍足夠大的勻強電場與該圓面平行，電場強度，將質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球(可視為質(zhì)點)從D點分別以相同的速率沿圓面向各個方向拋出，已知小球經(jīng)過圓周上B點時的動能最大。不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是( )。

圖5

A.電場的方向從A點指向B點

B.小球運動過程中的加速度大小為g

C.圓周上B點的電勢最低

D.小球經(jīng)過C點時的速度與其初速度大小相等

解析:小球受到的靜電力大小F=qE=2mg。小球從D點運動到B點的過程中合力做功最大，可知小球受到的合力F合的方向與過B點圓的切線垂直，即F合的方向水平向右。如圖6 所示，根據(jù)矢量的合成法則可知，小球受到的靜電力F的方向與水平方向間的夾角θ滿足，即θ=30°;小球帶正電，可知電場方向與直徑AB成30°角斜向右上方，選項A 錯誤。小球受到的合力大小，小球的加速度大小，選項B 錯誤。作過圓心的電場線交B、C兩點間的圓周于P點，P點是圓周上電勢最低的點，選項C 錯誤。小球從D點運動到C點合力做功為零，動能不變，則小球經(jīng)過C點時的速度大小與其初速度大小相等，選項D 正確。

圖6

答案:D

點評：本題中帶電小球在與電場方向平行的豎直平面內(nèi)運動，小球受到的合力等于重力與靜電力的矢量和（恒定）。小球經(jīng)過圓周上B點時的動能最大，說明合力做的功最大，從而可判斷出合力的方向，根據(jù)矢量合成法則可判斷出靜電力的方向，結(jié)合帶電小球的電性可判斷出電場的方向，根據(jù)電場方向可判斷圓周上各點電勢的高低情況。

例4如圖7所示，在與勻強電場方向平行的豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓，圓心為O，AD、CF分別為圓的水平與豎直直徑。在圓周上B點有一粒子源，能沿圓面向各個方向射出初速率均為v0，質(zhì)量為m的同種帶電微粒，已知從D點離開圓周的微粒具有最大的機械能，從E點離開圓周的微粒具有最大的動能。∠AOB=∠EOF=30°，重力加速度為g，取過F點的水平面為重力勢能的零勢能面，不計空氣阻力及微粒間的相互作用，下列說法中正確的是( )。

圖7

A.電場的方向一定沿OD方向

B.通過E點的微粒的動能為

C.微粒在圓周上動能最小的點在B、C兩點之間

D.微粒通過圓周上A點時的動能一定小于

解析:微粒通過圓周上D點時的機械能最大，說明微粒從B點運動到D點的過程中靜電力做功最多，因此過D點圓的切線為等勢線，微粒在D點受到的靜電力沿OD方向，但不知微粒的電性，故不能確定電場的方向，選項A 錯誤。微粒通過圓周上E點時的動能最大，說明微粒從B點運動到E點的過程中合力做功最多，因此微粒受到的重力與靜電力的合力沿OE方向，根據(jù)矢量合成法則得，根據(jù)能量守恒定律得，解得，選項B 正確。延長EO與圓交于B、C兩點間某點，微粒通過此點時合力做的負功最多，微粒的動能最小，選項C正確。微粒從B點運動到A點的過程中合力做正功，故微粒通過A點時的動能一定大于，選項D 錯誤。

答案:BC

點評：機械能的增量等于除重力之外其他力做的功，本題中除重力之外的其他力就是靜電力。根據(jù)微粒經(jīng)過圓周上D點時的機械能最大可知，微粒從B點運動到D點的過程中靜電力做功最多，過D點圓的切線為勻強電場中的一條等勢線，進而判斷出微粒受到的靜電力方向；根據(jù)微粒經(jīng)過圓周上E點時的動能最大可知，微粒受到的合力方向與過E點圓的切線垂直。

總之，帶電粒子在勻強電場中做直線運動或類拋體曲線運動，根據(jù)粒子經(jīng)過圓周上某點的動能或機械能或電勢能取最值，可判斷靜電力或合力與圓周上該點的切線垂直，再充分利用圓周的幾何性質(zhì)，并結(jié)合功能關(guān)系、力與運動的關(guān)系、矢量的合成法則、電場線與電勢的關(guān)系、勻強電場的場強與電勢差的關(guān)系等，即可順利完成對相關(guān)問題的分析與判斷。

跟蹤訓練

1.如圖8所示，圓心為O，半徑為R的圓形光滑絕緣水平軌道處在與軌道平面平行的勻強電場中，已知A、O兩點間的電勢差U＞0。一帶正電的小球套在軌道上沿軌道運動，小球經(jīng)過A、B兩點時的速率均為v0，∠AOB= 120°。下列說法中正確的是( )。

圖8

A.小球從A點到B點做勻速圓周運動

B.小球從A點運動到B點的過程中，動能先增大后減小

D.圓周上電勢最高的點與O點的電勢差為2U

2.如圖9所示，在豎直平面內(nèi)存在水平向右的勻強電場，電場強度E=1×104N/C。在勻強電場中有一根長l=2 m 的絕緣細線，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量m=0.08 kg的帶電小球，小球靜止時懸線與豎直方向成α=37°角。若小球獲得一定初速度后恰能繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，取小球靜止時的位置為零電勢能點和零重力勢能點，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6。下列說法中正確的是( )。

圖9

A.小球的電荷量q=6×10-5C

B.小球經(jīng)過c點時的動能最小，且為1 J

C.小球經(jīng)過b點時的機械能最小

D.小球在運動過程中的電勢能和機械能之和保持不變，且為5 J

參考答案:1.CD 2.AD