基于指數函數的川滇地區余震序列衰減規律研究

徐世達, 段俊康, 何本國, 劉佳奇, 鮑澤銘, 陳天曉

(東北大學 深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室, 遼寧 沈陽 110819)

0 引言

余震是強地震發生后,圍繞強震震源一定范圍內發生的地震。強地震即為通常所說的主震,一次強地震發生后總是伴隨著大量余震的發生,余震序列持續時間通常為幾個月甚至數年。尤其是處于歐亞板塊和印度板塊交界處的川滇地區,地震活動頻度高、強度大、余震持續時間長,是中國大陸最顯著的地震活動區域。2008年5月12日汶川地震發生后,通過固定與流動臺站相結合的方式獲取余震記錄,截至2008年9月12日,共記錄到余震949次[1]。余震發生可能會造成建筑物的進一步破壞,誘發二次災害,嚴重威脅災區居民的生命、財產安全。余震序列活動規律是震后趨勢判定的重要內容,是震后公眾關注的焦點問題。因此,針對地震活動頻繁的川滇地區地震開展余震序列衰減規律研究,有助于強余震預測預報,對于緩解震后群眾恐慌心理與災后救援及重建工作具有重要意義。

針對余震序列衰減規律,國內外學者開展了大量研究并取得了豐碩成果。1894年,Omori[2]研究了日本中部地震、Nobi地區地震以及日本其他地區的多個地震后,得到了余震發生率與地震后的時間成反比的結論,提出了著名的Omori余震衰減模型。隨后Utsu[3]發現累計余震數與lgt的曲線斜率隨時間增大而逐漸減小,因此余震的衰減速度比Omori余震衰減模型預測的更快。針對這一現象,Utsu[4]引入了表征余震衰減速度快慢的參數p,提出了修正Omori余震衰減模型(Modified Omori Model,MOM),有效增強了Omori余震衰減模型對余震衰減規律的擬合能力。Liu等[5]通過監測礦山生產過程中聲發射及微震現象,發現礦山生產過程中產生的微震及聲發射事件的衰減規律同樣符合MOM模型。Kisslinger[6]提出了余震衰減拉伸指數模型。Gross等[7]提出了修正拉伸指數模型(Modified Stretched Exponential model,MSE),并根據是否考慮背景率對比分析了14個余震序列的MOM模型與MSE模型的表現,其中5個余震序列MSE模型的表現最優。Lolli等[8]基于MSE、MOM模型研究了意大利和南加州47個余震序列的衰減規律,基于赤池信息準則(Akaike Information Criterion,AIC)、貝葉斯信息準則(Bayesian Information Criterion,BIC)對不同模型對比分析,發現MSE模型表現不佳,無法替代MOM模型。Mignan[9]采用冪函數模型、拉伸指數模型等多種模型對南加州、北加州以及中國臺灣的多個余震序列進行擬合,得到拉伸指數模型比冪函數模型更適合分析余震序列衰減規律的結論。Barbara等[10]對意大利拉奎拉地震序列的研究中發現了負指數模型的表現優于MOM模型的現象。綜上所述,目前對余震衰減模型未形成統一的認識,且部分參數的物理意義存在爭議。

據此,本文嘗試采用指數函數(Exponential Decay model,ED)描述余震序列衰減規律,討論指數函數中各參數物理意義及其數值分布特征。在此基礎上,借助調整后R2、修正赤池信息準則(corrected Akaike Information Criterion,AICc)與BIC評價指標,對比分析指數模型與傳統余震衰減模型在描述川滇地區余震序列的表現,進一步驗證采用指數模型描述余震序列衰減規律的可靠性。

1 模型介紹與數據獲取

1.1 模型介紹

絕大多數余震序列具有余震數多、持續時間較長的特點[11]。主震發生后,隨著時間的推移,余震事件數越來越少,余震衰減速率也越來越慢。針對這種現象,本文嘗試采用一種指數余震衰減模型擬合余震衰減規律,見式(1)[12]:

N(t)=Ae-t/k+r

(1)

式中:N(t)表示t時刻的余震事件數;參數A、k和r取值與余震序列衰減關系緊密相關,當時間為0時,N(0)等于A+r,代表初始余震數。

由式(1)可知,當t=k時,與初始余震數相比,單位時間余震數減少了A×(e-1)/e,可見t=k可以作為余震衰減過程中的特征點。因此,參數k可以作為整個余震衰減過程中的特征時間,反映余震衰減的快慢。

MOM模型見式(2)[4]:

N(t)=K/(t+c)p

(2)

式中:N(t)表示t時刻的余震發生數;參數K取決于主震后余震總數;t是主震后經歷的時間;c是時間偏移量,用于消除地震初期余震發生率的奇異性。參數p的引入可以表征余震衰減速度的快慢。

MSE模型見式(3)[7]:

(3)

式中:N*(0)是主地震發生后的潛在余震總次數,作用與MOM模型中的K類似;0

1.2 余震序列獲取

余震序列完整程度受地震臺站密度的影響。由于地震頻次較高,川滇地區觀測臺網建設密度大,觀測余震經驗更豐富,因此余震記錄也更完備。考慮到余震序列的完整性與開放性,本文選取了川滇地區的5個余震序列。2017年8月8日,四川省阿壩州九寨溝縣發生MS7.0地震,短短五天造成25人死亡、525人受傷[13-14];2013年4月20日四川省雅安市蘆山縣發生MS7.0地震[15];2014年8月3日,云南省昭通市魯甸縣發生MS6.5地震[16-17];2019年6月17日,四川省宜賓市長寧縣發生MS6.0地震[18-19];2012年9月7日,云南彝良發生MS5.7地震[20]。這5次地震主震發生后,均發生了一定數量的余震。本文余震序列數據下載于中國地震臺網。5個序列的主震震級在5.7～7.0之間,采用序列1～序列5依次將5個余震序列進行編號。依據相關文獻,較多研究中余震序列持續時間選為300～400天,這是由于余震活動在主震發生后的1～2個月快速衰減,中后期余震事件率變化較小[6,8]。本文所采用5次余震序列在主震發生兩個月后,余震事件率比初始余震數下降了94%以上。因此,余震序列持續時間選取為一年,以該時間范圍內最后一個余震事件時間為結束時間。余震序列通常需滿足巴斯定律[21]:

(4)

表1 余震序列詳細信息

2 余震衰減規律研究

2.1 余震衰減曲線擬合

時間間隔對余震序列規律有明顯影響,考慮余震序列持續時間,余震序列采用5天時間間隔統計[10]。圖1是5個余震序列MOM、MSE和ED模型擬合分析結果。序列1主震發生后,余震事件數在第1個統計周期內迅速增大至236個;即初始余震數為236;隨著時間的推移,余震事件率快速衰減,主震發生60天時,單個統計周期內余震事件數降低至5個以下,并且長期穩定在較低的水平。序列2在主震發生后的5天內余震事件數達到了181個,25天后余震事件數降低到5個以下。序列3在主震發生后的5天內余震事件數達到103個,隨后余震活動衰減相對較慢,單個統計周期內的余震事件數降低到5個,耗時190天。序列4初始余震數高達325個,隨后余震活動性快速衰減;至主震發生后75天,余震活動衰減至較低水平;但主震發生80天后,余震事件率維持在10～20個/5天,余震活動相對較活躍。序列5的初始余震數27個,之后迅速衰減,最終穩定在較低的水平。從圖1中發現MOM、MSE和ED模型曲線均能較好地描述5個余震序列衰減規律。

圖1 不同模型的余震衰減曲線

2.2 模型參數特征分析

圖2是5個余震序列ED模型參數A+r的值與實際初始余震數的關系。序列1地震序列初始余震數為237個,A值為233.85,r值為2.95,ED計算初始余震數為236.79,偏差0.01%。序列2地震序列初始余震數為182個,A值為179.99,r值為2.00,ED計算初始余震數為181.99,與實際初始余震數偏差較小。序列3地震序列初始余震數為103個,A值為97.90,r值3.35,ED計算初始余震數為101.25,偏差1.70%。序列4地震序列初始余震數為325個,A值為315.04,r值為9.75,ED計算初始余震數為324.79,偏差0.06%。序列5地震序列初始余震數為27個,A值為25.67,r值為1.24,ED計算初始余震數為26.90,偏差0.04%。5個余震序列A與r之和與初始余震數偏差較小,因此,5個余震序列采用ED模型擬合時,參數A與r的和能夠準確描述余震序列初始余震數。

圖2 實際初始余震數與ED模型計算初始余震數

圖3是5個余震序列采用ED模型擬合得到的k值。余震序列k值的特點類似于原子核的半衰期,可以反映余震序列衰減的快慢。九寨溝MS7.0、四川蘆山MS7.0、云南魯甸MS6.5、四川長寧MS6.0、云南彝良MS5.7地震序列的k值分別為2.72、1.70、4.49、4.52、4.81。四川蘆山MS7.0地震序列k值最小,云南彝良MS5.7地震序列k值最大,說明前者衰減最快,后者衰減最慢,這與圖1所示規律一致。因此,ED模型k值可用于描述余震序列衰減的快慢。

圖3 主震震級與k值關系

模型參數A和r與主震震級無明顯的相關性,但參數k與主震震級具有明顯的負相關關系。云南彝良地震主震震級為5.70級,k值為4.81。四川九寨溝與廬山地震主震震級為7.0級,這兩個地震余震序列的k值分別為2.72和1.70。顯然,隨著主震震級的增大,參數k呈減小的趨勢。

綜上所述,通過擬合結果可以明顯發現MOM模型、MSE模型以及ED模型均能對余震衰減規律進行較好的描述。ED模型的參數A與r之和可以準確描述余震序列的初始余震數,誤差均小于1.7%;模型參數k能夠反映余震衰減速度的快慢,其值與余震序列的主震震級呈負相關。

3 余震衰減模型分析

3.1 評價方法

通過對余震衰減模型的擬合優度進行計算,可以表征不同余震衰減模型對于余震序列的適用性?？紤]余震序列樣本數量與余震衰減模型參數個數,本文采用調整后R2、修正的赤池信息準則[22]和貝葉斯信息準則[23]對模型的擬合能力進行評價。調整后R2、AICc和BIC分別見式(5)～(7)。

(5)

(6)

BIC=n×ln(SSR/n)+(k+1)×ln(n)-n×ln(n)

(7)

式中:R表示相關性系數;k表示模型參數的數量;n表示樣本數量;SSR表示殘差平方和。通過AICc和BIC評價模型表現時,AICc和BIC值越小說明模型擬合數據能力越高。

3.2 余震衰減模型分析

圖4分別是5個余震序列采用不同余震衰減模型擬合分析獲得的AICc與BIC值。序列1～序列3 MOM模型的AICc和BIC最小,序列4與序列5的ED模型的AICc和BIC最小。這說明,九寨溝MS7.0、四川蘆山MS7.0和云南魯甸MS6.5地震序列MOM模型表現好,四川長寧MS6.0、云南彝良MS5.7地震序列ED模型表現好。MSE模型表現與MOM模型較為接近,但均弱于MOM模型。值得注意的是,ED模型在5個余震序列衰減規律擬合中表現較穩定,MOM模型與MSE模型波動相對較大。

圖4 不同模型的BIC以及AICc值

圖5是5個余震序列通過不同模型擬合得到的調整后R2。序列1、序列2三種模型調整后R2的數值較接近,序列3 MOM模型和MSE模型的調整后R2高于ED模型,序列4～序列5 ED模型調整后R2高于MOM模型以及MSE模型。這說明采用調整后R2評價時,三種模型在九寨溝MS7.0地震序列、四川蘆山MS7.0地震序列的擬合分析中差距并不明顯,云南魯甸MS6.5地震序列擬合分析中MOM模型以及MSE模型表現較好,而ED模型在四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震序列擬合分析中表現明顯高于另外兩種模型。

圖5 不同模型在各序列中調整后R2

AICc、BIC和調整后R2評價三種模型在5個余震序列衰減規律擬合分析中表現結果基本一致。MOM模型和MSE模型在地震序列1、序列2中表現相對較好,序列2的MOM模型以及MSE模型對比于ED模型優勢較大,ED模型在序列4、序列5表現最優。在描述九寨溝MS7.0地震、四川蘆山MS7.0地震、云南魯甸MS6.5地震、四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震余震衰減規律時,ED模型表現可與傳統的余震衰減模型相媲美。因此,ED模型能夠較準確地描述強震后余震衰減規律。由圖4可知,ED模型在描述不同余震序列衰減規律時相對更穩健,AICc和BIC波動相對較小。MSE模型采用分段函數,在研究余震序列時,若選取較長的時間窗口,MSE模型的優勢較MOM、ED模型更明顯。MOM和MSE模型描述不同余震序列時表現相對不穩定,更適合分析中后期相對不發育的余震序列,尤其是MSE模型,描述后期規律差異較大的余震序列更具優勢。

4 結論

本文采用ED、MOM與MSE模型對九寨溝MS7.0地震、四川蘆山MS7.0地震、云南魯甸MS6.5地震、四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震余震序列衰減規律進行了擬合分析,并通過AICc、BIC和調整后R2對模型表現進行了評價。

(1) ED模型能較準確地描述五個余震序列衰減規律,其表現比傳統的MOM、MSE余震衰減模型穩定,更適用于中后期余震相對發育的序列。在長寧MS6.0地震和彝良MS5.7地震余震序列衰減規律擬合分析中相比于傳統模型表現更優。

(2) 參數A與r的和代表強震后初始余震數。5個余震序列中,A與r的和能夠較準確描述實際初始余震數,偏差均小于1.70%。

(3) 參數k可作為余震衰減特征時間,能夠反映余震序列衰減的快慢。在本文5個余震序列中,其值與主震震級呈反比。